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1、内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中，如右图1所示任取一平面M ,空间中的每一个矢量x必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量耳在平面M上，另一个向量乙与平面M垂直，即x = x0 + z ,“丄z.这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立图三维空间向量的分解，向量x = x0 + z 其中兀丄乙正交分解定义正交设X是内积空间，x, y&X ,如果(x,刃=0,则称x与y正交或垂直，记为x丄)，如果X 的子集A中的每一个向量都与子集B中的每一个向量正交，则称A与B正交，记为A丄3 .特 别记X丄A,即向量x与人中
2、的每一个向量垂直.定理勾股定理设X是内积空间,X,yex,若兀丄，则卜+y=|卜+ |卜证明卜+y=(x+y,x + y)= (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,刃= (x,x)+ (>,>)=II<+II4. 注仁 在内积空间中，是否存在卜+y=|x + |卜=>兀丄y显然由ll-v+yf = (A-, x) + (A-, y) + 059 + (y, y)=卜+ 卜+ 2Re(x,y), 可知在实内积空间中卜+，=卜+|yn X丄y成立.定义 2.4. 2 正交补 Orthogonal comp I ement设X是内积空间，MuX,记M丄=x|x
3、丄M,xeX,则称M丄为子集M的正交补.显 然有 X -=0, 0丄=X 以及 M丄 0 M = 0.性质设X是内积空间，Mu X ,则M-是X的闭线性子空间.证明(1) M丄是X的线性子空间Vx, y e M丄，已 K、g e M ,有(ax+0y, Z)= (ax, z) + (0y, z) = a(A, Z)+0(y, z) = 0 ,于是ax+/3y e M丄，因此M丄是X的线性子空间.(2) M丄是X的闭子空间设x U M丄，且依范数A； T兀(n TOO),于是火G M ,有('o, Z) = (lim a; , z) = lung, Z)= 0 ."Taon&#
4、187;因此丄，即M-是X的闭子空间.口注2：由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间 中(完备的内积空间)，任意子集M的正交补M丄是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补 M丄也是Hi Ibert空间.定义正交分解设M是内积空间X的子空间，xeX,如果存在丄，使得x=x° + z,则称比 为x在M上的正交投影或正交分解.引理设X是内积空间，M是X的线性子空间，xeX,若存在yeM ,使得 = d(x,M),那么 x- y 丄 M 证明 令z = x-y,若？不垂直于M,则存在e M ,使得(乙片)工0,显然儿工0 .因为VaeKt有=|忖一
5、a（i，Z）-圧（ ”）+ a应yj=hl!' 一 &（z，>） a（”,乙）-压（”,儿）特别取& =上上2,贝ij可得CviOjh-if = hlf -叱'刃）=ltf"77 -1灿'=llA->if="少八即知|z-ayj|< J（x,Af）.又由于 ay e M ,所以II2-a”II = |卜一 y一 Sill = |x （>' + a”）| >d（x,M）.产生矛盾，故x-y丄M. 定理投影定理设M是Hilbert空间H的闭线性子空间，则H中的元素x在M中存在唯一的正交投影, 即 Fx
6、 已H、x = x0 + z ,其中丄.（或表示为 H = M ®M'）证明 （1）寻找几进行分解.Px 已 H，设 d（xyM） = inj|卜- >' = a > 0,则存在yn u M ,使得|卜”x|Td （T8）,首先证儿是M中的基本列，因为fm,neN有|儿厂儿=|（几一 Q + （x-儿）=2II 儿 4 + 2 卜-儿-|（vn - x） - （a-儿）=2|儿-第+2卜-儿-彳卜九+儿）-彳因为儿及M是子空间，知*（儿+儿）GM,所以£（儿,+儿）-彳"，于是|卜”,一儿S2|儿7+2|卜一儿4/ tOQmTqc）故儿
7、是旳中的基本列，又因M是闭子空间，即为完备空间，所以儿是"中的收敛列.不 妨设儿T入（“ ->oc）,则有« = |.V-X0| = J(A;W) 令7 = x-A0,因此有X = xo + z t其中Ao e A/ ,且根据前面引理知乙eM丄.(2)分解的唯一性.假设还存在zeM丄使得+ 那么有0 = (xo-x1) + (<-1) , ZZt丄,于是只需0的分解具有唯一性.若0 =丫+疋，y'eM ,丄，则0 = (0$) = (V + zy1) = (>-y1) + (鸣 V) = |y,|2可见"=0及z' = 0,即0的
8、分解具有唯一性.口例证明在内积空间上，x丄，的充要条件是VaeK有卜+巧阻卜|.证明必要性=> 若x丄y,则有(x, y) = 0 > /aeK有(x,ay) = &(x,y) = 0 ,于是由勾股定 理«： |x+ay|= = |M|=+|H|2>H2-充分性U若VaeK有|卜+ ay| > |.v| ,且y工0时，0外+讨-卜=(x+ ayyx+ ay)-(x,x)=(x, x) + Q(” x) + 讯兀刃 + Q 颈” y) - (兀 X)=o(y, x)+可(巧 y)+a(y, y)特别取于是，(>',y)0<|x + &
9、#171; y|： -|.r|=-沁(y, x) = -< 0"-"""(y,>)|y|-故(x,y) = O,即 x丄 y. 2.4. 2标准正交系在三维空间中，任何一向量a可写成a = 冬+6®，其中5= (1,0,0) , e2 = (0,1,0) ,(0,0,1) , q =(羽勺)9 a2 =(0灼),a3 = (a.ej ,显然当心丿时9化丄勺，而(弓,弓)=1可见a = a勺)勺+ (a迢旭+ (a,勺)勺，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢定义标准正交系设X是内积空间，亿是X中的点列，若满足则称仅为乂中的标准
10、正交系.例在"维内积空间川中，向量组 勺= (1,0,(), 6 =(0丄0,.,0),，e” =(0,.,0,1),是卅的一个标准正交系.口例在尸中,向量勺=(0,.,0丄,0,0,. .) (” = 1,2,.),则e”是广的一个标准正交n系例在Z?-龙虫中，对于f.g e Z?-龙，/r,定义内积为则下列三组向量均是芒-兀刃的标准正交系,仇 = 匕|耳=cos/* = l,2,;二匕卜” =sin/u = l,2,;. 1q = q，S，4 5 =厉=cos/u；s =sinm = l,2,注3:如果线性空间上中的点列迢的任意有限个元素线性独立，则称亿为线性独立g,q：,.,e
11、Q是标准正交系叮的一个有限子集，如果存在,如心&K使得那么对于任意的(1<<)kkJ =勺(，气)=(勺心)=另(匕勺心)=(Z叽心)=(0,enf) = °r-l/-I反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系.定理242设叮为内积空间X的标准正交系,0,蛰他 u 叮,记M =，ej 9k那么VxeX ,兀0 =艺（兀叫圮,是丫在M上的正交投影即兀wM , X = x0 + z » （a-x0）丄M i-ik证明 显然x0 eM , Vy eM ,由于存在aaze,ak eK ,使得丫 =乞01仏、于是 j-ikk（x-q,y） = （x-另（
12、x,q 冷迓qeji-ij-i=a，Z 叭）（x，气圮,，Z 叭）/-Ir-1i-1Xk=£爲（x,s）-£q（yq）（sc）=o j-ii-i注4：上述定理中的M为R维闭子空间，作为内积空间M与用同构，M也是完备的子空间，根据投影定理，x在M上的正交投影忑唯一存在.定理设£为内积空间X中任意的一组线性独立系，则可将兀用格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）方法化为标准正交系亿,且对任何自然数“，有噱，阳wKXn =艺冰匕'n =艺血X »&-1 1-1同时spane灼, = spcu,兀,亠 证明令勺二则有甌卜1记M =$/&quo
13、t;/"©,根据上述定理可将"在A/】上做正交分解x2 =（心勺）勺+ v2,即冬丄勺，v2 e ,得v2 = x2 一 （x“勺）弓令"计则有脸卜1,6丄勺，且有七=（吃，勺）勺+11吋I勺.记Mz = spanee2,将x3在上做正交分解“=（坷，勺）勺+（“,勺）勺+岭，则些工0及V3 e M；,得v3 = x3 -（.Xj,ex）e -（x3,e2）e2 ,可令® =行，从而治a3是勺,冬,勺的线性组合，e3是 ApX2V¥3的线性组合.ZI-1以此类推，可令叫=£-£（耳,必，且有勺心41正交，进而令0/-I于是n-1n-1nxn =匕+（£,）©=II 气Is+2L （暫用）勺=r-ii-ii-i同时可得e”是丑,兀,，兀的线性组合.口