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1、2018-2019 学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10小题，每小题4 分，共40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1x 12+y2=2，则其圆心和半径分别为（）已知圆（+ ）A （ 1， 0），2B（ 1， 0）， 2 CD2）2抛物线 x =4y 的焦点到准线的距离为（AB1C 2D 43双曲线4x2 y2=1 的一条渐近线的方程为（）A2x y=0B2x+y=1Cx 2y=0Dx2y=1+ +4在空间中， “直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a，b 互为异面直线 ”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分
2、必要条件D 既不充分也不必要条件2 y25A B为圆x+=2ax上的两点， 若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=）已知，（A B 0CD 16l的方程为xmy2=0，则直线l（）已知直线+A 恒过点（2， 0）且不垂直 x轴 B 恒过点（ 2，0）且不垂直 y 轴C恒过点（ 2， 0）且不垂直 x 轴D恒过点（2， 0）且不垂直y 轴7xay1=0和直线ax4y2=0互相平行，则a的取值是（）已知直线+A 2B± 2 C 2 D08已知两直线a， b 和两平面 ， ，下列命题中正确的为（）A 若 a b 且 b，则 aB 若 a b 且 b ，则 a C若 a且 b，则 a
3、bD 若 a 且 ，则 a 9已知点 A （ 5，0），过抛物线y2=4x 上一点 P 的直线与直线 x= 1 垂直且交于点B ，若| PB| =| PA| ，则 cos APB= （）A0BCD10如图， 在边长为 2 的正方体ABCD A1B 1C1D1 中，E 为 BC 的中点， 点 P 在底面 ABCD上移动，且满足B1P D1E，则线段 B1P 的长度的最大值为（）AB2CD3二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分 .把答案填在题中横线上.第1页（共 14页）11p“ x R2 0”，则 p：，x已知命题： ?12椭圆 x2+9y2=9 的长轴长为22m y2x 轴
4、上的双曲线， 则 m 的取值范围为13若曲线 C：mx+（） =1 是焦点在14如图，在四棱锥P ABCD 中，底面四边形 ABCD的两组对边均不平行在平面 PAB 内不存在直线与 DC 平行；在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；平面 PAB 与平面 PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为15已知向量，则与平面 BCD 所成角的正弦值为16若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为三、解答题：本大题共3 小题，共36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知 ABC 的三个顶点坐标为A （ 0，0）， B（ 8， 4），C（
5、2， 4）（1）求证： ABC 是直角三角形；（2）若 ABC 的外接圆截直线 4x+3y+m=0 所得弦的弦长为 6，求 m 的值18如图所示的几何体中，2CC1=3AA 1=6，CC1平面 ABCD ，且 AA 1平面 ABCD ，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为棱 A 1D 中点，平面 ABE 分别与棱 C1D， C1C 交于点 F， G（）求证： AE 平面 BCC 1；（）求证： A 1D 平面 ABE ；（）求二面角 D EF B 的大小，并求 CG 的长第2页（共 14页）19已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（ 1， 0）的直线l 与椭圆 G 相交于 A， B 两点
6、，与y 轴相交于C 点，且点 C 在线段 AB 上（）求椭圆G 的方程；（）若 | AF 1| =| CB | ，求直线l 的方程第3页（共 14页）2018-2019 学年北京市海淀区高二 （上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1已知圆（ x+1） 2+y2=2 ，则其圆心和半径分别为（）A（1，0），2B（ 1， 0）， 2 CD【考点】 圆的标准方程【分析】 利用圆的标准方程的性质求解22【解答】 解：圆（ x+1） +y =2 的圆心为（1， 0），故选： D2
7、2抛物线x =4y 的焦点到准线的距离为（）AB1C2D4【考点】 抛物线的简单性质【分析】 直接利用抛物线方程求解即可【解答】 解：抛物线x2=4y 的焦点到准线的距离为：P=2故选： C3双曲线4x2 y2=1的一条渐近线的方程为（）A2x y=0B2x+y=1 Cx 2y=0Dx2y=1+ + +【考点】 双曲线的简单性质【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=± x，即可得到所求结论【解答】 解：双曲线4x2 y2=1 即为2， b=1， y =1，可得 a=由双曲线的渐近线方程y= ±x，可得所求渐近线方程为y= ± 2
8、x故选： A4在空间中，“直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a，b 互为异面直线”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系第4页（共 14页）【分析】 利用空间中两直线的位置关系直接求解“a b” “a b互为异面直线或直线a b”【解答】 解： 直线，没有公共点 ? 直线，为平行线 ，“直线 a，b 互为异面直线 ”? “直线 a， b 没有公共点 ”，“直线 a， b 没有公共点 ”是 “直线 a， b 互为异面直线 ”的必要不充分条件故选： B5已知 A ，B 为圆 x2+y2=2ax 上的两点，
9、 若 A ，B 关于直线 y=2x +1 对称，则实数 a=（）A B0CD1【考点】 直线与圆的位置关系【分析】 根据题意，圆心C（ a，0）在直线 y=2x +1 上， C 的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于 a 的方程，即可得到实数a 的值【解答】 解： A ， B 为圆 x2+y2=2ax 上的两点， A ， B 关于直线 y=2x +1对称，圆心Ca 0y=2x+1上，（ ， ）在直线 2a+1=0 ，解之得 a=故选： A6l的方程为xmy 2=0，则直线l（）已知直线+A 恒过点（2， 0）且不垂直 x 轴 B 恒过点（2，0）且不垂直 y 轴C恒过点（ 2， 0）且不垂
10、直 x 轴D恒过点（ 2， 0）且不垂直y 轴【考点】 直线的一般式方程【分析】 由直线 l 的方程为 x my+2=0 ，令 y=0，解得 x 即可得出定点，再利用斜率即可判断出与 y 轴位置关系【解答】 解：由直线l的方程为xmy2=0，令y=0，解得x=2于是化为：y=x1+ ，恒过点（ 2， 0）且不垂直y 轴，故选： B7已知直线 x+ay 1=0 和直线 ax+4y+2=0 互相平行，则 a 的取值是（）A2B± 2 C 2 D0【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】 由直线的平行关系可得1× 4 a?a=0，解得 a 值排除重合可得【解答】 解：直
11、线xay1=0和直线ax 4y2=0互相平行，+ 1× 4 a?a=0，解得 a=2 或 a= 2，经验证当 a=2 时两直线重合，应舍去故选： A8已知两直线a， b 和两平面， ，下列命题中正确的为（）A 若 a b 且 b，则 aB 若 a b 且 b ，则 a C若 a且 b，则 a bD 若 a 且 ，则 a 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系【分析】 利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择第5页（共 14页）B 1P 的长度的最大值【解答】 解：对于 A ，若 a b 且 b，则 a 与 位置关系不确定；故A 错误；对于 B，若
12、 ab 且 b ，则 a 与 位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故 B 错误；对于 C，若 a 且 b ，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a b；故 C 正确；对于 D ，若 a 且 ，则 a 或者 a 在平面 内，故 D 错误；故选： C9已知点A （5，0），过抛物线 y2=4x 上一点 P 的直线与直线x= 1 垂直且交于点B ，若|PB=PAcosAPB=（）| ，则A0BCD【考点】 抛物线的简单性质【分析】求出 P 的坐标，设 P 在 x 轴上的射影为 C，则 tan APC=，可得 APB=120 °，即可求出 cosAPB 【解答】 解：由
13、题意，|PB= PF =PA| ，P的横坐标为3，不妨取点P 32），|（ ，设 P 在 x 轴上的射影为C，则tan APC=， APC=30 °， APB=120 °，cos APB= 故选： C10如图， 在边长为 2 的正方体ABCD A1B 1C1D1 中，E 为 BC 的中点， 点 P 在底面 ABCD上移动，且满足B1P D1E，则线段 B1P 的长度的最大值为（）AB2CD3【考点】 点、线、面间的距离计算【分析】 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段【解答】 解：以 D 为
14、原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 P（ a， b， 0），则 D1（ 0， 0， 2），E（ 1， 2， 0），B 1（ 2， 2， 2），=（ a 2， b 2， 2），=（ 1， 2， 2），第6页（共 14页）B 1PD 1E，=a 2+2（ b 2） +4=0， a+2b 2=0，点 P 的轨迹是一条线段，当 a=0 时， b=1 ；当 b=0 时， a=2，设 CD 中点 F，则点 P 在线段 AF 上，当 A 与 P 重合时，线段B1P 的长度为： | AB 1| =2；当 P 与 F 重合时， P（ 0，1，0），=（
15、2，1， 2），线段 B1P 的长度 | =3，当P 在线段 AF 的中点时， P（ 1，0），=（ 1，2），线段 B1P 的长度 | =线段 B1P 的长度的最大值为3故选： D二、填空题：本大题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分 .把答案填在题中横线上 .11已知命题 p： “?x R，x2 0”，则 p： ?x R， x2 0 【考点】 命题的否定【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可p：“? x R， x2 0”，则 p：【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题? x R，x2 0故答案为： ? x R， x2 012椭圆 x2+9y2=9 的长轴长
16、为6【考点】 椭圆的简单性质【分析】 将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a【解答】 解：椭圆x29y22+=9即为y =1，+即有 a=3， b=1，第7页（共 14页）则长轴长为 2a=6故答案为：62 2m y213C mx+（）=1是焦点在x轴上的双曲线， 则m的取值范围为2若曲线：（ ，+） 【考点】 双曲线的简单性质【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m 0 且 m 20，解不等式即可得到所求范围22【解答】 解：曲线 C： mx +（ 2m） y =1 是焦点在 x 轴上的双曲线，可得=1，即有 m 0，且 m 2 0，解得 m 2故答案为：（ 2， +）
17、14如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD的两组对边均不平行在平面 PAB 内不存在直线与DC 平行；在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；平面 PAB 与平面 PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为【考点】 棱锥的结构特征【分析】 用反证法利用线面平行的性质即可证明 设平面 PAB平面 PDC=l ，则 l? 平面 PAB ，且在平面 PAB 中有无数无数多条直线与 l 平行，即可判断； 用反证法利用线面平行的性质即可证明【解答】 解： 用反证法设在平面 PAB 内存在直线与DC 平行，则 CD平面 PAB ，又平面 ABCD 平面
18、PAB=AB ，平面 ABCD 平面 PCD=CD ，故 CD AB ，与已知矛盾，故原命题正确； 设平面 PAB平面 PDC=l ，则 l ? 平面 PAB，且在平面PAB 中有无数无数多条直线与l 平行，故在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行，命题正确； 用反证法第8页（共 14页）设平面 PAB 与平面 PDC 的交线 l 与底面 ABCD 平行，则 l AB ， l CD ，可得： AB CD ，与已知矛盾，故原命题正确故答案为： 15已知向量，则与平面 BCD 所成角的正弦值为【考点】 直线与平面所成的角【分析】 求出平面 BCD 的法向量，利用向量法能求出与平面 B
19、CD 所成角的正弦值【解答】 解：向量，=（ 1，2， 0），=（ 1， 0，3），设平面 BCD 的法向量为=（ x， y， z），则，取 x=6 ，得=（ 6， 3，2），设与平面 BCD 所成角为，则 sin=与平面 BCD 所成角的正弦值为故答案为：16若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为 2，底边的高为 1，棱锥的高为棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点第9页（共 14页）【解答】 解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形
20、的底边为2，底边的高为1，底面三角形的腰为，棱锥的高为V=，S=+××2+=3故答案为，三、解答题：本大题共3 小题，共36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知 ABC 的三个顶点坐标为A （ 0，0）， B（ 8， 4），C（2， 4）（1）求证： ABC 是直角三角形；（2）若ABC的外接圆截直线4x 3ym=0所得弦的弦长为6m的值+ +，求【考点】 直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程【分析】（ 1）证明? = 16+16=0 ，可得 ，即可证明 ABC 是直角三角形；（2）求出ABC的外接圆的方程，利用ABC的外接圆截直线4x+3y m=
21、0所得弦的弦长+为 6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求 m 的值【解答】（ 1）证明： A （ 0，0），B （ 8，4）， C（2， 4）， =（8， 4）， =（ 2， 4）， ? = 16+16=0 ， ，ABC 是直角三角形；x 3） 2+（ y 4） 2=25，（2）解： ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（ ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0 所得弦的弦长为6，圆心到直线的距离d=4=，m= 4 或 4418如图所示的几何体中，2CC1=3AA 1=6，CC1平面 ABCD ，且 AA 1平面 ABCD ，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为棱 A 1D 中
22、点，平面 ABE 分别与棱 C1D， C1C 交于点 F， G（）求证： AE 平面 BCC 1；（）求证： A 1D 平面 ABE ；（）求二面角D EF B 的大小，并求CG 的长【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定第 10 页（共 14 页）【分析】（）推导出 CC1 AA 1， AD BC ，从而平面 AA 1D平面 CC1B ，由此能证明 AE 平面 CC1B（）法1：推导出AA 1 AB ， AA 1 AD ，AB AD ，以 AB ， AD ，AA 1 分别 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D 平面 ABE 法 2
23、：推导出 AA 1AB ， AB AD ，从而 AB A 1D，再由 AE A 1D，能证明 A 1D 平面 ABE （）推导出平面EFD 平面 ABE ，从而二面角D EF B 为 90°，设，且 0， 1 ，则 G（2， 2， 3），再由 A 1D BG，能求出 CG 的长【解答】 证明：（）因为 CC1平面 ABCD ，且 AA 1平面 ABCD ，所以 CC1 AA 1，因为 ABCD 是正方形，所以 AD BC，因为 AA 1AD=A ， CC1BC=C ，所以平面 AA 1D 平面 CC1B因为 AE ? 平面 AA 1D，所以 AE 平面 CC1B （）法1：因为 AA
24、 1平面 ABCD ，所以 AA 1AB ， AA 1 AD ，因为 ABCD 是正方形，所以AB AD ，以 AB ， AD ，AA 1 分别 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B （2， 0， 0）， D（ 0， 2，0）， A 1（ 0， 0，2）， E（0， 1， 1），因为，所以，所以 A 1D 平面 ABE 法 2：因为 AA 1平面 ABCD ，所以 AA 1AB 因为 ABCD 是正方形，所以 ABAD，所以 AB 平面 AA 1D，所以 AB A1D因为 E 为棱 A1D 中点，且，所以 AE A1D，所以 A 1D 平面 ABE （）因为A 1D平面 ABE
25、 ，且 A 1D? 平面 EFD ，所以平面 EFD 平面 ABE 因为平面 ABE 即平面 BEF ，所以二面角D EF B 为 90°设，且 0，1 ，则 G（ 2， 2， 3），第 11 页（共 14 页）因为A D平面ABE，BG? 平面ABE，1所以 A1DBG，所以，即，所以19已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（ 1， 0）的直线l 与椭圆 G 相交于 A， B 两点，与y 轴相交于C 点，且点 C 在线段 AB 上（）求椭圆G 的方程；（）若 | AF 1| =| CB | ，求直线l 的方程【考点】 椭圆的简单性质【分析】（）设椭圆焦距为 2c，运用离心率公式和
26、 a， b，c 的关系，即可得到椭圆方程；（）由题意可知直线 l 斜率存在，可设直线 l： y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程【解答】 解：（）设椭圆焦距为 2c，由已知可得，且 c=1，所以 a=2，即有 b2=a2 c2=3，则椭圆 G 的方程为；（）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=kx 1（+），由消 y，并化简整理得（4k2+3） x2+8k2x+4k2 12=0，由题意可知0，设 A （x1， y1），B （ x2，y2），则，第 12 页（共 14 页）因为点 C， F1 都在线段AB 上，且 | AF1| =| CB| ，所以，即（ 1 x1， y1） =（x2， y2 yC），1x1=x 2，即xx所以 1+2= 1，所以，解得，即所以直线l 的方程为或第 13 页（共 14 页）2019年7月31日第 14 页（共 14 页）