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1、1 2016 年高中数学学业水平测试知识点 【必修一】 一、 集合与函数概念 并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。 记作：A U B 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A A B 补集：就是作差。 1、集合 缶，a2,，an詁勺子集个数共有2n个；真子集有2n - 1 个；非空子集有2n - 1 个； 非空的真子有2n - 2个. 2、求y = f (x)的反函数：解出x=f(y) , x, y互换，写出y = f(x)的定义域; 函数图象关于 y=x 对称。 3、( 1)函数定义域：使得函数解析式
2、有意义的 x 的集合分母不为 0;开偶次方被开方数 -0 ； 指数的真数属于 R、对数的真数 0. 4、函数的单调性：如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 X1, X2，当 X1X2时, 都有 f(x 1) 0 , a丰1 , M 0 , N 0，那么： log a MN =log a M log a N ； log a M = log a M - log a N ； N log a M nloga M (n R)。 (4)换底公式： log a b - g (a - 0 且 a =1,c 0 且 c = 1,b 0) log a 对数函数的图象和性质 a A1 0 c a
3、 c1 图 象 25 1 1 LLLJ44 亠 1 5 IT J- k 1 105 工 - n 005 十 亠 ry J H M U - - JI 1 1 1 1 - * -IT I = 性 质 (1)定义域：(0, +8) (2)值域：R (3)过定点(1, 0),即 x=1 时，y=0 (4)在 (0, +8)上是增函数 (4)在(0, +8)上是减函数 (5) 0 x c1, log a X 0 X A1,log a X A0 ； (5) X A1, log a X C 0 0 c x c1,log a X A 0 ； 8、幕函数： 函数y二 x叫做幕函数(只考虑=1,2,3,-1,丄的
4、图象)。 2 9、方程的根与函数的零点： 如果函数y = f(x)在区间a , b上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有 f(a) f(b) 0, ax 1; (5) x 0,0 ax v 1 ； x X V0,0 a 1 性 质 3 个c就是方程f(x)=0的根。4 【必修二】 一、直线平面简单的几何体 1 长方体的对角线长I? = a2 b2 c2；正方体的对角线长l *3 2、 球的体积公式： v=4兀R 3 ；球的表面积公式： S=4兀R 2 3 3、 柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh （S为底面积，h为柱体高）；V锥体=sh （S为底面积，h为柱体高） 3 V台体= 1（S
5、 - SS + S）h （S , S分别为上、下底面积，h为台体高） 3 4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1） 四公理三推论： 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是 一条过这个公共点的直线。 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 （2） 空间线线
6、，线面，面面的位置关系 ： 空间两条直线的位置关系 ： 相交直线一一有且仅有一个公共点； 平行直线一一在同一平面内，没有公共点； 异面直线 不同在任何一个平面内， 没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系： （1） 直线在平面内（无数个公共点）； （2） 直线和平面相交（有且只有一个公共点） ； （3） 直线和平面平行 （没有公共点） 它们的图形分别可表示为如下， 符号分别可表示为 a :-，a A， a/ ：。 空间平面和平面的位置关系： （1） 两个平面平行没有公共点； （2） 两个平面相交一一有一条公共直线。 5、 直线与平面平行的判定定理： 这个平面平行
7、。 a 二: 符号表示：b =a。 I a/b 6、两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 个平面平行。 a bU B 符号表示：ab=P =-：。图形表示: 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与 图形表那么这两 5 a/a b/6 7、.直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已 知平面相交，那么交线与这条直线平行。 all I = a /b。 图形表示： 符号表示： a 二 b :-T : =b 8 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平 行。 :/ , a, b
8、= allb 符号表示： 9、直线与平面垂直的判定定理: 这条直线垂直于这个平面。 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 符号表示: a 二：jb 二：ja b P,l a,l b= l 10、 .两个平面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：丨 ，1 11、 直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 付号表示： 日=allb。 b -:- 12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面。符号表示二m =丨_ 1. 13、 异面直线所成角：平移到一起
9、求平移后的夹角。 直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。 14、 异面直线所成角的取值范围是 0 ,90 1； 直线与平面所成角的取值范围是 0 ,90 1； 二面角的取值范围是 0 ,180 ； 两个向量所成角的取值范围是 0 ,180 1 （如右图） P 二、直线和圆的方程 w w y? 一 丫1 1、 斜率：k =tan （-：）；直线上两点 P1（x1, y1）, P2（x2, y2），则斜率为 k 二 - 2、 直线的五种方程 ： X? - X1 （1） 点斜式y y1 =k（x xj（直线l过点R（x1,yJ，且斜率为k）. （2） 斜截式 y = kx b （b 为直
10、线l在 y 轴上的截距）. y y x x (3) 两点式 1 -( ( R(X1,yJ、P2&2, y2);(为沁2)、( y y2). y2 一 X2 - x, (4) 截距式 x y =1 ( a b分别为直线的横、纵截距， a、b = 0) a b (5) 一般式 Ax By C =0(其中 A、B 不同时为 0). 3、两条直线的平行、重合和垂直： (1) 若 h : y = b ,丨2: y = k2x b h II 丨2 二 & = k2且 b-i 工 b2; 与l2重合时 k1 k2且 b二b2 ； h _ 丨2 = k1k -1. (2) 若 l1 : A1x
11、 B1y G =0, l2： A2X B2y C2 =0,且 A、2、B1、B2都不为零， l1 |l2 = A1 _ B1 二 C1 A2 B2 C2 A1A2 B1B2 = 0 7 4、两点 Pi (xi, 5、两点 Pi (xi, yi)、F2 (X2, y2)的距离公式 丨 PiP2 I = . (x2 - xj2 - (y2 - yi)2 Xi +X2 yi +y2 ) yi)、P2 (X2, y2 )的中点坐标公式 M( 2 6、点 P (xo, yo) 到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0 的距离公式 苗卜焉+By +C| JA2 +B2 7、平行直线 Ax+By+
12、G=0、Ax+By+G=0 的距离公式 d= IC2列 二r2，圆心a,b，半径为r ； D 2 E 2 D (x y)2 (y y)2 2 2 8 圆的方程： 标准方程 x - a y - b 一般方程x2 y2 Dx Ey F =0,(配方： D2 E2 -4F 0时，表示一个以(_D E)为圆心，半径为 V D2 . 2 2 2 E 2 一 4F ) 4 E2 _4F 的圆; 9、点与圆的位置关系: 占 八、 2 2 2 P(x0,y)与圆(x-a) ，(y-b)二r的位置关系有三种: d f (a -冷)2 (b-y。)2，则 r =点P在圆外；d = r =点P在圆上；d ： r =
13、点P在圆内. d i0、直线与圆的位置关系： 直线 Ax - By C = 0 与圆(x a)2 d r 相离=厶：0 ; d = r d : r二相交 u ： 0 .其中d = 2 2 (y-b)二r的位置关系有三种： 相切 0; Aa + Bb +C 、A2 B2 ii、弦长公式： 若直线 y=kx+b 与二次曲线(圆、椭圆、 两点，则由 二次曲线方程 、 -f -y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为： AB = ：(X2 -Xi)2 -yj2 双曲线、抛物线)相交于 2 ax +bx+c=0(a 工 0) A(Xi , B (X2, y2) Xjx2 =(1 k2)(Xi X
14、2)2 - 4XiX2 1 1 ki2 yi y2 =(i ：2)(yi y2)2 -4小2 2 b2 -4ac a i3、空间直角坐标系，两点之间的距离公式: xoy 平面上的点的坐标的特征 xoz 平面上的点的坐标的特征 yoz 平面上的点的坐标的特征 x 轴上的点的坐标的特征 D y 轴上的点的坐标的特征 E A B C (x, (0, (x, y, 0):竖坐标 (x, 0, z):纵坐标 (0, y, z):横坐标 0, 0):纵、竖坐标 y, 0):横、竖坐标 z=0 y=0 x=0 y=z=0 x=z=0 8 z 轴上的点的坐标的特征 E （0, 0, z）:横、纵坐标 x=y=
15、O 丨时2 丨=.(X2-XJ2 (y2-yj2 (Z2-ZJ2 【必修三】 算法初步与统计: 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 图形符号 名称 功能 f - bl _ 终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束 / 7 输入、输出框 表示个算法输入输出的信息 处理框（执行框） 赋值、计算（语句、结果的传送） 判断框 判断某一条件是否成立时，在出口处 标明“是”或“ Y ”，不成立时标明 “否”或“ N” 1 ; 流程线 连接程序框（流程进行的方向） 0 连接点 连接程序框图的两部分 注释框 帮助注解流程图 循环框 程序做重复运算 、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）
16、循环结构 、算法基本语句：1、输入语句：输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量。2、输出语 句:输出语句的一般格式： PRINT “提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式： 变量=表达式。4、条件语句（1）“IF THEN ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构 “DO-LOOP UNTIL语句 和当型循环结构“ WHILE-WEN” 三. 三种常用抽样方法： （一） 1、简单随机抽样；2.系统抽样；3.分层抽样。4 .统计图表：包括条形图，折线图， 饼图，茎叶图。 （二）.系统抽样 1. 概念：将总体平均分成几部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个 个体作为
17、样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。 2. 步骤 从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,用系统抽样的一般步骤为： （1）.将总体中的 N 个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学 号、9 准考证号、门牌号等；（2）.将编号按间隔 k 分段（k N ,其中n 为整数 N N k = - - 时，取 n ;若 n 不是整数，则可以先从总体中随机地 剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除 （3）.确定第一个编号：在第 1 段用简单随机抽确定第一个个体编号 1（1 k）； （4） .成样： 按照一定的规则抽取样本.通常是将 I 加上间隔得到第 2 个个体编号 （I + k
18、） ，再加得到第 3 个个体编号（I + 2k），依次进行下去，直到获取整个样本. （三）.分层抽样步骤： 根据已有信息，将总体分成互不相交的层； （2） 根据总体中的个体数 N 与样本容量 n 确定抽样比:k=n/N. （3） 确定各层应该抽取的个体数。各层的抽取数之和应等于样本容量。对于 不能取整的数，求其近似值。 （4） 按 中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为 n 的样 本. 四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ；（2） 决定组距与组数； （3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正
19、 方形的面积=组距X频率。 2、频率分布直方图： 频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 频数 计算公式：频率= 样本容量 频数=样本容量 频率 频率 频率=小矩形面积=组距上二 组距 各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1 =各小长方形的面积总和 3. 众数：一组数据中出现 次数最多的数。 中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数 4. 直方图中众数、中位数、平均数 1） 众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是数据的众数. 2） 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等 3） 平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形
20、的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和. 5. 该组样本容量=该组频数/该组频率 6.茎叶图： 10 茎叶图的定义：茎表示高位，叶表示低位当数据是两位有效数字时， 用中间的数字表示十位数， 即第一个有效数字，两边的数字表示个位数 .11 折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。 7、 刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数； 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在中间位置上的一个数据(或中间两位 数据的平均数)叫做这组数据的 中位数； 8、 刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。
21、 (1) 极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。 (2) 方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均 数的程度越高。 (3) 计算公式： | 2 2 2 标准差：ShjnKXtX) +(x2 X)+il|+(XnX) 方差：S2 n【(Xi - X) 2 (X2 - X)2 川(Xn - X) 2 9直线回归方程的斜率为b?，截距为?，即回归方程为y? = b?X+ ?(此直线必过点(X，y ) ，其中系数 a, b 由下式确定： 五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B,C表示. 随机事件的 概率：在大量重复
22、进行同一试验时，事件A发生的频率 总接近于某个常数， 在 它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记作P( A)。由定义可知 0 P( A) w 1, 显然必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0。 1、 事件间的关系： (1) 互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； (2) 对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； (3) 包含：事件 A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B (或事件 B 包含事件 A)； (4) 对立一定互斥，互斥不一定对立。 2、 概率的加法公式： (1 )当A和B互斥时，事件 A+B的概率满足加法公式： P(
23、A+B) =P (A +P ( B) (A B互斥) (2)若事件 A 与 B 为对立事件，则 AU B 为必然事件，所以 P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是 有 P(A)=1 P(B). 3、 古典概型： (1)正确理解古典概型的两大特点： 1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2)每 个基本事件出现的可能性相等；(2 )掌握古典概型的概率计算公式： 4、几何概型： (1) 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。 (2) 几何概型的特点：1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
24、 2)每个基 本事件出P(A)二 事件 A 包含的基本事件个数 实验中基本事件的总数 12 现的可能性相等.13 诱导公式五 : 6 sin cos-, 2 cos 一 一 a I = sin。. 、2 丿 、诱导公式六: sin | = cos , 2 丿 cos + a i= -sin. 0）或向右（ y = sin(x ) 横坐标变为原来的_倍 纵坐标变为原来的 A 倍 - : v =si n（ x ） - 纵坐标不变 y v 横坐标不变 y = A sin( x ) 15 法二：先伸缩后平移 函数 y 二 As in (x )( A0 , 0 , x 0, :：)的值域-A,A，周期
25、T = 11、三角函数的图象与性质: 函数 y=s inx y=cosx y=ta nx :I； r1 1 图象 J . d . 戸 ty 0 =0 心 0) 的图象 一兀二次方程 2 ax +bx+c=0（a0）的根 2 ax +bx+c0(a0)的解集 2 ax +bx+c c0(a 0)的解集 法二：序轴标根法 1） 分解因式（各因式未知数 x 的系数须先化为正数） 2） 将因式的跟（按大小顺序）在数轴上标出（原点不是根时不需标出） 3） 画线：以数轴为标准，从 最大根”的右上方向左画线，“奇穿偶切”即遇重根点时，奇次 穿过数轴，偶次根不穿过而是反切回来，另外带等号零点画实心，否则空心点。 4） 取值：大于号取上方，小于号取下方。