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1、第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注(3)证明：若limcxn=a,对任何自然数 k,有lxn+k=a.证：由lim Xn =a，知* 0 ,三Ni，当nN 1时，有 n-取N =Ni k，有寸0 , 3N，设nN时(此时n +k a Ni )有由数列极限的定义得Xim ：Xn k172. 试利用不等式| A B。& A B说明：若li mXn=a,贝U lim I Xn I =|a|.考察数列Xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证： lim Xn = a x_ .二 /EA0,三N,使当 n A N 时，有 Xna而|xn - a 4xn -a于是X/品0 , BN,
2、使当nN时，有Xn a|M Xn a| < 8 即 |xn a| < &由数列极限的定义得lim xn = anC考察数列xn = ( - 1 )，知lim xn不存在，而 xn =1 , lim xn =1 ,n所以前面所证结论反之不成立。3. 利用夹逼定理证明：(1) lim I 二 + + =0 ；(2) lim =0.J. n (n 1)(2 n)J -，n!证：(1)因为11 < +2 一 2n n1+2(n 1 )12(2n )n 1<2一 n而且2 lim = 0 , -'n所以由夹逼定理，得(2)因为0所以，由夹逼定理得4而且 lim =
3、 0 ,n- ' n111lim + + =0.十侦(n +1)(2 n) j一 n一 一 一一一22 2 22 2 4< =一窖-g一窖窖g- < ,n!1 2 3 n 1 n nn2lim = 0 n_'' n !4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.1(1) Xn= -n，n1,2， ;e -1(2) X1=V2,Xn+1= J2Xn ,n=1,2, 证：(1)略。(2) 因为X1 = J2 <2 ,不妨设Xk <2 ,贝Uxk 1 = 诳：，2 2 =2故有对于任意正整数 n,有Xn <2 ,即数列、有上界，又Xn中
4、 Xn =/X7(72/X7),而 Xn A0,Xn <2 ,所以Xn* Xn A0即Xf AXn ,即数列是单调递增数列。综上所述，数列Xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。习题2-21、证明：lim f(X)= a的充要条件是f(X)在X0处的左、右极限均存在且都等于a.X /0证：先证充分性：即证若 lim f (x) = lim f (x) = a，贝U lim f (x) = a . X 贸0 X JX0X 、X0由 lim f (x ) = a 及 lim +f ( x) = a 知：/>0 ,m§ A 0当 0 < x0 x < 61 时，
5、有 f (x) a' < 8 ,620 当 0 <x-x0 <62时，有 f(x) -a <6。取 6 = min § , 52 ，则当 0 < x0 - x < 6 或 0 < x x0 < 8 时，有 f (x) a < & ,而 0 <x° x < 5 或 0 Cxx。<6 就是 0 <|x x°| <5 ,是 Vs >0 >0，当 0< 5 时，有 f (x) a < & ,所以lim f (x) = a .x0再证必要性：即
6、若 lim f (x) = a，贝U lim f (x) = lim *f (x) = a ,由limx_x(0f (x) =a知，寸鼻 >0,>0，当 0 < x x0时，有 f (x) a < 6 ,由 0<x x0 <6 就是 0<x0-x<8或0<x-x0<8 ,于是寸&。350 ,当0 <x° x < &或 0 <xx°< 5 时，有 f (x) a < a .所以lim f (x) = lim f (x) = aX"Xx。综上所述，lim f(x)
7、=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.xx。2. (1)利用极限的几何意义确定1lim(x2+a),和 lim ex ；x ftx )0 -1设 f(x)= K X <0,2x a , x 二 0,问常数a为何值时，lim f(x)存在.x 0解：(1)因为x无限接近于0时,2x+a的值无限接近于当x从小于0的方向无限接近于 0时,1ex的值无限接近于0,2a,故 lim (x a) = a .x.01lim ex = 0 .x.0 -(2)若lim f (x)存在，则J0lim f (x) = lim f (x), x0 .x.0 -由(1)知_2lim f (
8、x) = lim (xx.0x.0 _2+ a) = lim (x +a) = a , x 0 _1lim f (x) = lim ex = 0x_0 -x_0 一所以，当a =0时，lim f (x)存在。J03.利用极限的几何意义说明Jisinx不存在.解：因为当xt 危时，sin x的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x不无限接近某一定直线y = A，亦即y = f (x)不以直线y = A为渐近线，所以lim sin x不存在。x ):习题2-31.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与 无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量解：例1:
9、当xt 0时，tan x,sin x都是无穷小量，但由sin x=cos x (当 xt 0 时,tan xcos XT 1 )不是无穷大量，也不是无穷小量。例2:当XT *时，2X与X都是无穷大量，但 空=2不是无穷大量，也不是无穷X 小量。例3:当xt 0*时，tan x是无穷小量，而cot x是无穷大量，但tan X害ot X =1不是无穷大量，也不是无穷小量。2. 判断下列命题是否正确：(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；(5) 有限个无穷大量之和为无穷大
10、量；(6) y=xsinx 在(-+8内无界，但 lim xsinx乒0pX_：:(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解：(1)错误，如第1题例1;(2) 正确，见教材 §2.3定理3;(3) 错误，例当xt 0时，cot x为无穷大量，sin x是有界函数，cot x咨in x = cos x 不是无穷大量；(4) 正确，见教材 §2.3定理2;(5) 错误，例如当xt0时， sinx,xroo ；与-1都是无穷大量，但它们之和1+(-1)=。不X XX X是无穷大量；一"一. 兀 .一.(6 )正确，因为VM >0 ,
11、 正整数 k ,使2k兀+ 一M ,从而2_.丸一一 一丸一 一 一-丸一一丸_ _II一，一 ，一一f (2 k Tt +)=(2k Tt +) sin(2 k 兀 +)=2k 兀 +M,即 y=xsinx 在(, E )内无界，2222即XT E时,又VM >0 ,无论X多么大，总存在正整数 k,使kjt > X，使f(2k Tt)=k兀sin( k兀)=0 < M ,x sin x不无限增大，即 limxsin x #* ；(7) 正确，见教材§2.3定理5;(8) 错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意 义。3. 指出下列函数
12、哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量(2) f(x)=lnx, Xf+, X” 1,xr +OO； f(x)=2X 必 2;X -4 f(x)=1eX ,xf +, xf-;(4) f(x)= -arctanx,xr +oo ；2 f(x)=1(6) f(x)= XV 2 , xr oo.解：(1)因为lim (x2 4) =0，即xt 2时，x2 4是无穷小量，所以 、一是无穷x2x - 43小量，因而也是无分大量。(2)从f(x)=ln x的图像可以看出,x2 -4lim ln x - _：: ,lim ln x = 0, lim In x = ：:x )ix )：所
13、以，当x t 0 +时，x T 土时,f (x) =ln x是无穷大量;当xt1时，f(x)=lnx是无穷小量。111(3)从 f (x) =ex 的图可以看出，lim f、= E, lim ex = 0 , x , 0 'x ,01所以，当xt 0 +时，f(x)=ex是无穷大量；1当x > 0 一时，f (x) =ex是无穷小量。,. 兀一(4) - lim (-arctan x) = 0 , J2.兀二当xt E 时，f (x) =-arctan x 是无分小重。2(5)二,当XT 2时，1是无穷小量，sin x是有界函数, x1 sinxx是无穷小量。(6) 二"
14、;当x T 8时，一是无穷小量， J1十 是有界变量,112 X+ 是无穷小量。习题2-41.若 lim f(x)存在,XX0lim g(x)不存在，问X 0limx Jx0f(x)为(x): , lim f(x)g(x)是否存在,X 、X0为什么？解：若lim f(x)存在，lim g(x)不存在, xt。x 'X0)lim : f(x) =g(x)不存在xx0为若lim : f(x) =g(x):存在，贝u由xx0g(x) = f(x) - f (x) -g (x)或g(x) = f (x) + g (x) - f (x)以及极限的运算法则可得X顼g(x)，与题设矛盾。(2) li
15、mxT0f(x) g(x)可能存在，也可能不存在，如:，、1一f (x) = sin x , g(x)=，则 xlim sin x = 0 , x )px = 0存在。1 I lim 不存在，但 lim x_0 xx_x01 f(x)g(x) = lim sin x0 x又如：f(x)1= sin x , g (x)=cos则 l i m sxi :n冗x >21- 4 -十ilim 不存在，而x cos xlimf(x)g(x) =lim tan x 不存在。x_0冗x >22.若 lim f(x)和 lim g(x)均存在,且 f(x)用(x)，证明 lim f(x)xx0涓i
16、m g(x).x /0证：设 lim f(x)=A,jxclim g(x)=B，贝U Vs >0 ,分别存在 xT0&0 , >0 ,使得当-s < f (x)，当 0 < x xo < & 时，有 g (x) < B + a则当0 < x x0 < &时，有A - ； ： f (x) _ g (x) ： B ；从而A < B +2 &，由谷的任意性推出A壬B即lim f (x) _ lim g (x).xToX /03.利用夹逼定理证明：若ai,a2,，am为m个正常数,则lim n a；a； -a： =A
17、,n_其中 A=maxa1,a2,，am.n ： n .' n n A < n, a1 a2证：因为 1 n nnA_ a1 a2 一 -am_m:A而 lim An：.二=A ,由夹逼定理得lim n a； a； a； = A.n_一4 .利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1= 42 ,x2= J2 + M，,xn+1= 2xn(n=1,2, ，则lim xn存在，并求该极限.n I _证：因为x1 = J2, x2 = J2 J2,有 x2x1今设x>xk，贝U xj = J2 +xk A J2 +xj =xk ,由数学归纳法知，对于任意正整数n有xn+&
18、gt;xn，即数列单调递增。又因为* = J2< 2 ,今设Xk < 2 ,则Xk上=J2+Xk<+2，,由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有Xn <2，即数列Xn有上界，由极限收敛准则知lim Xn存在。n）：:设lim Xn =b，对等式Xn+ = J2 +Xn两边取极限得 n-2即 b =2 +b ,解得b = 2 , b = 1 （由极限的保号性，舍去）所以lim Xnn5.求下列极限:limn :33n 2n 4325 n - n - n 1limn二limn :._、 n _ n(一2)3 limn .1 n 1，nT (_2)3limn :1+ n2解:
19、(1)原式=limn2+2n4+3n1+3n3;5时,1(2)因为 lim (1 -) =0，即当 nT 8 nn.211 -= 是无分小重，而 cos n是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得:limi(1*cosnl = 0；(3) lim ('. n?，nnn ：二_ n 20 ,2 nm 、n2 n n而 lim 2n ： nlim ( n 之, n - '、n )n_ .二=lim -n 二.n、. n ) = lim f-；n2 n 、；n n .川n n(4) lim 上21i (一2)n 12 n 1(T) -一 ()'333二 limnrn
20、F 2 n 1 (-1)1311 -(一)2(5)1 11 - - -2 2nlim 22n. j11 _31 121+ 3n=lim41 一(1广 1.2=lim F _(写 1311 一一36.求下列极限：x _ 3(1) lim ;Jx 一 5x 42x 3 二 lim = 0,即 lim = °° J12x 3x 1 x 5x 一 4 x - 936x 4lim2；x， 2x 3x2x3lim x # x - 5 x 4sin x - cos x(4) lim x_"cos 2 x2limh033(x h) -x ;hlim J2x +3 3 ()J3 、
21、x 122nx x x - nlim ;xix -1x，sin x(8) lim x-.f x - sin x(9) lim . x2 xl x - x ;x_J ：13(10) 吧 (二=)；(11)2lim (x sin ).解:x 3吗=x 3=lim x3 (x 3)( x - 3)11=lim =J3 x 36(2)lim (x2 -5x4) x_1=0, lim (2x 3)x_1(3)36x 4lim 一42J，2x 3x=lim 'x_2±4L =0 ;旦2x(4)(5)兀Ttsin - cossin x- cos x22lim = 一 1 ；x七 cos2x
22、cosTt(x - h)3 -x3L(x , h) x l|(x h)2 (x h)x x2lim= limh 10hh ：0h2=lim (x h)J° -22+ (x +h)x +x = 3x ；/、.、.2x 3 _3.1(2 x 3) _9 (.厂7 2)(6) lim = lim x)3 .'x 1 _2 x >3 |(x 1) _4 (., 2x 3 3).lim 2(x 3)亍 2) x-3 (x -3)( . 2x 33)lim 2(二 2) x >3 . 2x 33(7)x . x -x -n (x1) (x 1) . _(x 1) lim =
23、lim x1x -1x-1x -1=lim 1 十(x+1)十(x +x+1)+ 十(xn _2(8) - lim x''xsin x01=12 . 3 - - -n = n(n . 1)；21 .（无穷小量一与有界函数sin x之积为无分小量） xJ =1x sin x .lim J x sin xsin x1 =lim x sin x1 x(9)lim ( , x2 xx > :：'寸 x 2 一 x ) = lxx2 x 、 x2 x,2 、 ， 2 、(x - x) _(x x)2x=1 ；=limx 二(10)=lim x E . x x 、x2 _ x
24、(11) 丫当 xt 0 时,2_ _x x 2(x 2)( x -1)=lim -1 - x x W (1 - x)(1 x x )-(x 2),=T1 x x1 一x是无穷小量，sin 一是有界函数，x二 limx_1=limx1J)- lim x sin 1=0。 T I x J21 -,二它们之积x sin 一是无分小重，即x习题2-5求下列极限（其中a > 0云乒1为常数）：sin 5 x1. lim x03xtan 2 x-1 . cos x4. lim xx2. lim ；xp sin 5x 'cos 5x - cos 2x5. lim 2XPx3. lim xco
25、tx;x px x6. lim |x)二 1 x7.limcot x1 3 sin x ;8. lim xpxx_xa a -9. lim xrpx1P.ln(1 - x) ln x limxr'，x11.lim iWWj x_ ' .2 _2x1914.arctan x lim x Jparcsin x13. lim xpx解:1.sin 5 x lim x p 3x5 sin 5x =lim jx P 3 5x5 sin 5x= lim3 x ' 5x2.tan 2 xsin 2xlim =lim xp sin 5xxp cos 2x sin 5x21 sin 2x
26、 5x=lim jjjxP 5 cos 2x 2x sin 5x21sin 2x 5x 2= limimJim=5 xp cos 2x 2jp 2x5xpsin 5x 5xx3. lim x cot x = lim cos x = lim 审m cos x = 1 x cos p =1 ；xpxp sin xxp sin x x 日4.limx_px sin2limx_p7x3x广-2 sinsincos 5x cos 2 x225. lim2- lim2x7xxTx一lim(2)x_孚x sin -2x273sin x sin x2 2!73xx22一21-一 lim2 xT7 sin x2
27、7 _x23sin x221limx)C32_ x 26.=lim x ；二 1 x (1 .)cos xcot X7. lim (1 3 sin x)x 0= lim (1 3 sin x)sinx = lim (1 - 3 sinX 0X j0 |3sin x x), lim (1，3 sinX03 sin x x)=e, lim 3 cos x = 3X0.lim (1，3sin x pcot xx)8.令ux = log a (1 + u )，当 x T 0 时，u T 09.limX010.11.12.X a -1 lim x-0x_xa a -（利用了第=lim u0 log a
28、(1 - u)=lim u_0 1-log a (1 u) u=In a .lim log a (1，u)uU_0limX_0=limJ0log, XX(a 1) (a1)8题结论ln(1 -x) -ln x limx_ )二limx -fl-limlimx.0_x aX-0-x-1=ln a ln axa -1=ln a1=lim J ， x）；In1=lim ln(1x )二x11lim lim ln(1 + )=0;x >: x x 二、x(1飞X171厂x23-lim 11 +1 =lim 11 + 1)xl2 -2x)xL，2 -2x J_2x_2x3 -2x lim I xr
29、，2 2x1-lim 11 X-'' .2 - 2 x3 -2x lim I x' 2 -2x=e,lim x：2 2xlim (1 -X.二Inx2.2limx:-lim lln(1：R)x2 _ e2 xlim lim ln (1 = e-'xx -=x'lne0/=e =1 ；2813.令 arcsin x=u，贝U x=sinu，当 xt0,arcsin xlimx )0u =limuP sinU r 0 , 1 cc =1 ； sin u14.令 arctan x =u ,则 arctan lim xPx=tan=limu -01.证明:若当x
30、r x0时,要条件是limxt。:(x)证:先证充分性.若眺。、-俱艾=。也即 lim (X)=1 ,x 片-(x)再证必要性:若当x T x0时,所以limxx°:- (x)lim J0u0 , u T 0u =lim tan uJ0 sin uu cos1=lim Jim cos u = 1 .up sin u u 尹习题2-6a (x) 0,昭)0且 (x)乒 Q 贝U当xr xo 时，aRx)的充=。，贝U lim (1 一也 = 0, -(x)xt。*1.所以当xr x°口(x) g E(x),时,则limx .x(x)(x)."'(x) = l
31、im (1_2)= 1lim 冬x_x0:- (x)x_*0： (x)=1:(x)lim :x 凶-(x)=0 .综上所述，当xr x0时，ot (x)区x)的充要条件是limx ',x0：(x) - ！(x):(x)2.若 «x)乒p lim 区x)=0 且 limx 兴0x #0：(x)-(x)存在，证明lim :x Jx0(x)=0.证：lim 艺(x) =limx / 0W-x) x (x)(x)=limXT。:(x).Wx°:(x)-(x) = lim R = 0xf ：(x)lim 二(x) = 0 .xX0g(x)=o(xb)g (x)lim = B
32、( B = 0) xP x是：limx '-0f(x) g(x) =limx '-0f (x)axg(x)bxf (x)=lim limx0 xa x0g (x)= ab = 0x3.证明： 若当 xO 时，f(x)=o(xa), g(x)=o(xb),则 f(x) g(x)= o(xa*),其中 a,b都大于 0,并由此判断当 xo时，tanx sinx是x的几阶无穷小量.证：,当 xO 时，f(x)=o(xa), f (x)- lim = A(A =0), xP x而当xO时，tan x由前面所证的结论知.,当 xO 时，f(x)，g(x)=O(xa*),tan x -si
33、n x 二 tan x(1 _cos x)2=O (x),1 -cos x = O (x ),3,tan x(1 cos x) = O (x ),所以，当xO时，tan4.利用等价无穷小量求下列极限:sin ax（b 丰 0） tan bxlimx 0x sin x是x的3阶无穷小量.1 cos kxlimx 0ln(1 +x)； .1 x -1(4)limx )0,2 - -1 - cos x.1 - x2 -1limx0arctan x；arcsin xlimx )0ax bx e eW)；sin ax sin bxlimx0解limJ0 tan bxln cos 2 x；ln cos 3
34、 xsin ax=limx_0axbx(2)1 cos limx_0kx2x二 limx_012-(kx)22xk2.(8)设limx )0f (x) -3100，求 lim f(x).x0limJ0ln(1 x)limX w“2 -、1 cos x一 1 x21=limx0(1 -cos x) 一 1 x2 1x2.2." cos x=limx )0'1 . x2 1arctan x(5) lim xp arcsin xx=lim = 1.x孕xaxebxe(6) lim xp sin ax -sin bx, ax 一 bx 、(e 1)(e-1)=lim xpa - b
35、a - b2 cos x sin x22=limx Jpax e -1bx e -1a - b a _ b2 cosx sin x22-lim x >pa - b a _ b2 cosxsin x22ax=lim x_pa，b a b2 cosx x22bx lim x)pa，b a b2 cos x x22ab=lim - lim x_pa，bxpa，b(a - b) cos x (a - b) cos x22二1.ln cos 2x ln 1 (cos 2 x -1) | cos 2x -1(7) lim = lim 1 = lim Jp ln cos 3xJp ln h - (co
36、s 3x -1) Jp cos 3x -11 cos 2 x =lim Jp 1 - cos 3 x1-(2 x).2=lim x ” 1 s、2 (3x)24x=lim Jp 9x(8)由 limx_pf (x) -32x= 1。，及 lim xx_p=。知必有 lim f (x)3=。,x W所以limx_pf (x) -3习题2-71 .研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：'3-_Lx , 1,。_ x ：: 1,2 fx, -1 % x : 1,、3-x,1 4x<2;J,x<-1 或 x 芝 1.3_解：(1) lim f(x)=lim(x 1)=1=f(。)
37、 xp'p f(x)在x=p处右连续，又-lim f (x)x1 = lim (3 x) =2 x1 3lim f (x) =lim (x 1) =2x1 -xT lim f (x) = lim f (x) = 2 = f (1)x1 1 -f(x)在x=1处连续.lim f (x) = lim (3 _ x) =1 = f (2)x R x F -f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续，综上所述，f(x)在0,2上连续.图形如下：(2) '' lim f (x) = lim x x1 x1 lim f (x) = lim 1 = 1 x_1
38、 x_1, ,lim f (x) = lim f (x) = 1 = f (1) x 1 'x 1 - r又 lim f ( x)=x 一lim 1 =1 一，1'f(x)在x=1处连续.lim f (x) = lim x - -1xx -,_L 故 lim f (x) = lim f (x) x 1_1 x -,_! f(x)在x=-1处间断，x=-1是跳跃间断点.又 f(x)在(q, 1), (1,1), (1，危)显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处间断，在(-O0, 1), ( 一1，七C)上连续.图形如下：2. 说明函数f(x)在点xo处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同 ？又有什么联系？ 略.3. 函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在x=0处左极限存在，而lim f (x)x )0 i，即在X = 0处右极限不