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1、北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,1,第四节 子空间,引例：,集合,是3维向量空间R3 的一个子集，,有,k 是数),W 对向量加法及数量乘法封闭,称W 是R3 的一个线性子空间,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,2, 定义:,设W是n维向量空间Pn的一个非空子,集，若W 对向量加法及数量乘法封闭，则,称W 是n维向量空间Pn 的一个线性子空间。,简称子空间，或称向量空间,(1) 0是Pn的线性子空间,叫零子空间.,说明:,(2) Pn是Pn的线性子空间,以上两个子空间称为Pn的平凡子空间.,北京工业大学线性代数第四章第四节子
2、空间第五节向量内积第六节正交矩阵,3,集合,是3维几何空间R3 的一个子集，,有,例：,V 对向量加法不封闭，则V 不是R3的线性子空间,例：,为R3的一个子空间。,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,4,2. 由向量组生成的向量空间,W =k11+k22+kss|k1,k2, ,ksP 称为由向量组1, 2 , , s生成的向量空间.记作L(1, 2 , s).,定义:,例:,n维实向量空间,定理:,设向量组1,2,s1,2,t,则L(1,2 ,s)=L(1,2 ,t).,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,5,3. 向量空间的
3、基及维数,设 V 是向量空间，若V 中向量组,满足： 线性无关，, V 中任意一个向量都可以由,线性表出,s 称为V 的维数，记作 dimV=s.,V 也称为s维向量空间,定义：,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,6,说明：,一个极大线性无关组,(1) V 可看作一个向量组，V 的基是向量组的,(4) 零子空间0没有基,0的维数为0.,(2)若向量组1, 2, , s是向量空间V,的一个基,V 的维数是向量组的秩.,则V L(1, 2 ,s).,(3) 设V = L(1,2,s) 而i1,i2,ir是向量组1,2,s的一个极大线性无关组 ,则V =L(i1,i
4、2,ir)，向量组i1,i2,ir 就是V 的一个基,dim(V)=r.,=,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,7,例,求向量空间,的基和维数,解：,是一个W 的一个极大线性无关组，,个基，,(5),向量空间的维数并不是空间中向量的维数。,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,8,第五节 向量的内积,一内积二向量的正交化,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,9,一内积, 定义:,设,称,为 与 的内积点积, 或记作,说明：,（1）两向量内积即为它们对应分量乘积之和；,（2）定义中 也可为行向量；,北
5、京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,10,（3）行向量即行矩阵，列向量即列矩阵，内 积可有如下两种表示：,若 均为列向量，则,若 均为行向量，则,（5）,个欧几里得空间。,（4） 维空间内积定义是3维空间中内积定义 推广，但当 时已无直观的几何意义.,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,11, 性质, 向量的长度（范数）,设,称,为向量 的长度或范数.,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,12,向量长度的性质, 非负性, 齐次性,为数,单位向量：,若 ，则称 为单位向量,为单位向量，,称将向量 单位化
6、。,单位化：, 三角不等式,显然，向量 是单位向量,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,13,R4 中的向量 是否是,单位向量, 若不是将 化为单位向量,解：,不是单位向量，,为单位向量,例1,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,14,二向量的正交化, 向量的夹角,非零向量 的夹角 的余弦为，,夹角为,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,15, 正交:, 零向量与任何向量都正交, 正交向量组,记作,注：仅由一个非零向量组成的向量组也是正交,向量组。,显然,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节
7、向量内积第六节正交矩阵,16, 正交单位向量组,量组,正交单位向量组,定理1,是正交向量组,线性无关,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,17,设,是正交向量组，,线性无关,证：,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,18,如：,所以 不正交, 正交基、标准正交基,向量空间中，由正交向量组构成的基,称为正交基,向量空间中，由正交单位向量组,构成的基称为标准正交基（或称规范正交基）,注：,线性无关的向量组不一定正交。,正交基：,标准正交基：,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,19,如：,n 维基本向量
8、组,是向量空间Rn 的一组标准正交基,问题：向量空间的标准正交基是否一定存在？,前面介绍了正交向量组一定是线性无关的,向量组，但线性无关向量组未必是正交向量组，,下面方法可将线性无关向量组化为正交向量组,说明：只要向量空间有基，就一定存在标准正交基。,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,20,观察：,设 是几何空间中线性无关的向,向量组令,其中 是 在 上的投影,从而,向量，即,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,21,令,其中 分别是 在 上的投影，则,从而,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,2
9、2, 施密特(Schimidt)正交化方法,设 为线性无关向量组，, 正交化,组,令,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,23,为正交向量组, 单位化 令,如此类推，,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,24,定理2,设 为线性无关向量组，令,向量组，单位化后得,等价的正交,单位向量组,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,25,利用施密特(Schimidt)正交化方法，,设向量组,求与它等价的正交单位向量组.（书P141-例4.5.2）,解：令,例1,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量
10、内积第六节正交矩阵,26,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,27,则 为与 等价的正交单位向量组,说明：,除了用施密特正交化方法构造标准正交基,我们还可以采用如下扩充的方法。,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,28,定理3,n 维向量空间Rn 中 任意一个正交向量,组都能扩充成一个正交基,例2 设,解：,先求,设,组。,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,29,则,为正交向量组,设,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,30,第六节 正交矩阵,引例：,设实 n 阶方
11、阵A 的列向量组是正交单位,位向量组，求,解：,将方阵A 按列分块，设,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,31,即,A 的列向量组是,正交单位向量组,易知，,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,32,为此，我们引入下述概念：, 定义：,如果实 n 阶方阵A 满足,则称 A 为正交矩阵,说明：, 实 n 阶方阵A 是正交矩阵,A 是正交矩阵 A 的列 (行) 向量组是正,交单位向量组（正交矩阵的特征）,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,33,向量组是Rn 的一组标准正交基, 构造正交矩阵等价于求标
12、准正交基,许多实际问题需要构造正交矩阵,正交矩阵的例子：,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,34,是正交矩阵。,又如,显然，单位矩阵是正交矩阵。,因为,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,35, 性质：,如果A 是正交矩阵, 则A-1(AT)也是正交矩阵,A-1 是正交矩阵,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,36,如果A、B是n阶正交矩阵，,则AB 也是正,所以AB 是正交矩阵,交矩阵,例1 设,是正交矩阵，求,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,37,解：因为A是正交矩阵，所以列向量组正交，故,北京工业大学线性代数第四章第四节子空间第五节向量内积第六节正交矩阵,38,作 业,P15330(2)3233题之前的题都可以做！,