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1、抛物线测试题与详解答案A保大分专练1. (2018永州三模）已知抛物线y=px2（其中p为常数）过点A（1,3）,则抛物线的焦点到准线2的距离等于（B- 31D- 6解析：选D由抛物线y=px2（其中p为常数）过点A（1,3）,可得p=3,则抛物线的标准方程1_6.故选D.,2 1一，为x2=3y,则抛物线的焦点到准线的距离等于2.过点P（ 2,3）的抛物线的标准方程是y2= - 2x 或 x2= 3yB.y2=|xx2 = 4yC.y2= 2x 或 x2= 一 3yD.94y= - 2x 或 x= - 3y解析：选A设抛物线的标准方程为 y2=kx 或 x2=my,代入点 R2,3),解得
2、k= -9, m= 4, 23所以 y2= 9x 或 x2 = 4y.3. （2019 龙岩质检）若直线AB与抛物线y2 = 4x交于A, B两点，且 ABL x轴，网=4小,则抛物线的焦点到直线 AB的距离为（）B. 2C. 3D. 5解析：选A由|AB=42及AB,x轴，不妨设点 A的纵坐标为2g2,代入y2= 4x得点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2.又y2=4x的焦点为（1,0）,所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2-1 = 1,故选 A.4.（2018 齐齐哈尔八中三模2 x一一）已知抛物线 C： y=彳的焦点为F, A：xo, yo）是C上一点，且| AF 8=2yo,则
3、 xo=()C. 4标为8.42解析：选D由y = x,得抛物线的准线为 y=2,由抛物线的几何意义可知，|AF|=2y0 = 2 8+ yo,得 yo=2,所以 xo= ± 4,故选 D.25. (2019 湖北五校联考)直线l过抛物线y = 2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A, B两点，若线段 AB的长是8, AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A y2=- 12xB. y2=- 8xC. y2=6xD. y2=4x解析：选B设A(xi, yi), 4x2, y* 根据抛物线的定义可知| AB = (xdx。+ p= 8.又AB xi-l- x2的中点
4、到y轴的距离为2,黄=2,，xi+x2=4,，p = 4, 所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.6 .已知点 A(0,2),抛物线 C： y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M与其准线相交于点 N若| FM ： | MN = 1 ：平，则a的值为()1B2C. 1D. 4解析：选D依题意，点F的坐标为!'a, 0 :,设点M在准线上的K,由抛物线的定义知 | MF=| MK,| KM ： |MN=1 ：。5,则| KN ： |KM.0 2kFN=a408 a,.|KN|八 8kFN一两=2, .a=2,解得 ax射影为=2 ： 1.7 .抛物线x2=10
5、y的焦点在直线 2m肝my+ 1=0上，则 m=解析：抛物线的焦点为0, 2 1代入直线方程 2m杆m什1 = 0,可得m= 1.-2答案：58 . (2019 沈阳质检)已知正三角形 AOBO为坐标原点)的顶点A, B在抛物线2y = 3x上，则4AOB勺边长是解析：如图，设 AOB勺边长为a,则1 一 二2ab点A在抛物3x 上，4a2=3X 乎a, . . a=6/3.线y2=答案：6 329. (2018 广州一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线x y2= 1的右焦点重合,若A为抛物线在第一象限上的一点，且| AF =3,则直线 AF的斜率为 2解析：双曲线xy
6、2= 1的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y2=8x, | AF| =3,，Xa+ 2=3, 3得Xa= 1,代入抛物线方程可得 yA= ±2小.二点A在第一象限，A(1,2 72)，直线AF的斜率为f-4=- 2 2.1 一 21答案：2.210.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于 a B两点，过a B分别作y轴的垂线， 垂足分别为C, D,则| AC + | BD的最小值为 .解析：由题意知 F(1,0) , | AC+| BD =| AF+1 FB 2= |AB 2,即 | AC + | BD 取得最小值 时当且仅当|AB取得最小值.依抛物线定义知当|AB为通径，
7、即| AB =2p=4时为最小值，所以|AC 十 |BD的最小值为2.答案：211.已知抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为 4,且位于x轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B, OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNL FA垂足为 N求点N的坐标.解：(1)抛物线y2= 2px( p> 0)的准线为x= p,一口 , p _-于是 4 + 2 = 5, . p= 2.，抛物线方程为y2= 4x.(2)二点A的坐标是(4,4),由题意得R0,4) , M0,2). 4又 .F(1,0),kFA= &qu
8、ot;,33MNL FAkMN=一手.，FA的方程为y = 4(x- 1),3MN勺方程为y2= 3x,484联立，解得x = -, y=-, 55-8 4.点N的坐标为5)12.已知抛物线 C: y2 = 2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线11: y= x的一个交点的横坐(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线12与11垂直，且与抛物线交于不同的两点A, B若线段AB的中点为P,且| OP= | PB ,求 FAB的面积.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8 , 8),.( 8)2=2pX 8,2P=8,抛物线C的方程为y2=8x.(2)直线12与11垂直，故可设直线
9、 12： x=y + mj A(xi, yi) , Rx2, y2),且直线12与x轴的交 点为M三二 2 一,y=8x，2 _由 i得 y 8y- 8m= 0,ix = y + mj = 64+32mi>0, 1. m> 2.yi+y2=8, yiy2=8mi- xix2 =2 2yiy264=m2.由题意可知 OALOB 即 xix?+yiy2= nm 8m= 0,.m 8 或 n 0(舍去)，.直线 12： x=y + 8, M(8,0)1故 S>A FAB= S>A FMB|- Sk FMA= 2| FM , | yi y2| = 3l yi + y2- 4yi
10、y2 =245.B创高分自选1.设抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1 , MC C,以M为圆心的圆 M与准线1相切于点Q Q点的纵坐标为>/3p, E(5,0)是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则 p=(B. 2C. 3D. 4解析：选B如图，抛物线C： y2= 2px(p>0)的焦点F弓，0 i,由Q坐标为43P知M点的纵坐标为 43p,则 M点的横坐标p=2.故选B.点x=3p,即由题意知点M是线段EF的垂直平分线上的点,解得22. (2018 全国卷出)已知点 M1,1)和抛物线 C： y4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A B两点.若/ AM
11、B= 90° ,则k =解析：法一：设点A(x1, y1) , B(x2, y2),- 2y1=4x1,.22,、则 i 2. yi-y2=4(xi-X2),y2= 4x2,Xi X2 yi + y2设AB中点M (xo, yo),抛物线的焦点为 F,分别过点A, B作准线x=- 1的垂线，垂足为A',B1 一 1 .则 | MM | = 2| AB = 2(| AF + | BF)1= 2(1 AA | + |BB |). M (x。，yo)为AB的中点，.M为A' B'的中点，MM平彳T于x轴,¥+丫2=2,k= 2.R1,0)法二：由题意知，抛
12、物线的焦点坐标为 设直线方程为y=k(x1), 直线方程与y2=4x联立，消去v, 得 k2x2 (2 k2+ 4) x + k2= 0.设 A(x1, y1) , Rx2, y2),2k2+ 4则 x1x2= 1x1 +x2=-2k由 M 1,1),得 AM= ( - 1 - x1,1 -y1),二BM= ( 1 x2,1 y2).由/ AMB= 90 ,得扁 "BM = 0,，(x1 + 1)( x2+ 1) + (y1 1)( y2 1) = 0,，x1x2+(x + x2) +1 + 丫以2(y1 + y2) + 1 = 0.22k +4k21 = 0,妹2+4+ 1 r k
13、k又 yy2= k(x一 1) , k(x21) = k2 xtx2一(x1 +x2) + 1 , y + y2= k(x + x22),2k412d 1 +k2+1 + k 1 一(2)设M为AB的中点，过 M作l的垂线，垂足为 N证明：直线 AN与抛物线相切.解：（1）AB/ l , . | FD| = p, | AB =2p.S>AABD= p?,p= 1 ,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)设直线AB的方程为y=kx + P，8JyTx2= 2py得 x2 2kpx p2= 0.xi + x2= 2kp,.x x2,xiX2= p2.其中 Agi，2pi； B2,2x22p7
14、.Mkp, k2p + p ； Nkp,2xip+ 一2p 2 kAN="xi kp2xip+ 一2p2_p2 .xi+ p22pX1 + x2xi x22xi xix22p xi =xi x2 p2又 x2=2py, y = p抛物线x2 = 2py在点A处的切线斜率k = 3p直线ANUf抛物线相切.B. ±2D. ± 44 4整理得后一1+1 = 0,解得k= 2.答案：23. (2019 洛阳模拟)已知抛物线C: x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A, B两点，D是 抛物线的准线l与y轴的交点.(1)若AB/ l ,且 ABD勺面积为1,求抛物线的方程；