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1、学习必备 欢迎下载 第 23 讲最值问题一 内容概述 求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量， 有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形. 和为定值的两数的 乘积随着两数之差的增大而减小. 典型问题 兴趣篇 1. 3 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少 ？ 答案：3 分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。 个位 数字可能是：1、3、5、7、9。通过试验个位是 7、9、1 的三个 连续奇数相乘满足条件，7X 9X仁 63 个位最小是 3. 2. 用 1、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位 数中相差最小的两个数之差是多少 ？ 答案：9
2、分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。 满 足条件的是 412 和 421.差是 421-412=9. 3. 用 24 根长 I 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最 大是多少？如果用 22 根火柴棒呢？ 答案：36 平方厘米；30 平方厘米。 分析：（1）矩形的周长是 24 厘米。长和宽的和：24+ 2=12 （厘 米）学习必备 欢迎下载 和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。和是 12 的两数差为 0 是积最大。这两个数相等都是 6.即长和宽相等面 积是 6X 6=36 (平方厘米)。 (2)周长是 22 厘米。长和宽的和是 22 + 2=11 (厘米)和是 1
3、1 差是 0时，这样的两个数不是整数。差是 1 时两数分别为 6 和 5. 积是 30. 4. 三个自然数的和是 19,它们的乘积最大可能是多少 ？ 答案：252 分析：和一定差越小积越大。 19- 3=61, 6+6+6=18 再加 1 得 19,三个数分别是 6、6、7 时积最大。最大是 6X 6X 7=252. 5. (1)请将 I、2、3、4 填人算式“口口X口口”的方格中.要使 得算式结果最大，应该怎么填？ (2)请将 1、2、3、4、5、6 填人算式“口口口X 口口口”的方格 中.要求 5、6 分别填在百位，4、3 分别填在十位，1、2 分别填 在个位，并使得算式结果最大.应该怎么
4、填 ？ 答案：(1) 41 X 32 (2) 542 X 631 分析：(1)要使积最大，两个数应尽量大所以 4、3 分别在十位， 1、2 在个位。有两种情况 A : 41X 32=1 X 2+2X 40+1 X 30+40X 30=1312 B: 42X 31=1X 2+1 X 40+2X 30+40X 30=1302 比较发现区别在划 横线部分，当一个数十位上的数字与另一个数个位上的数字较大 的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。最大是 41 学习必备 欢迎下载 X 32 （2）与（1）同理当十位上 4 与百位上的 6 相乘，十位上 3 与百 位上 5 相乘；个位 2 与百位上 6
5、 相乘，个位 1 与百位 5 相乘时积 最大。其中一个数百位是 6 十位是 3 个位是 1 即 631。另一个是 542. 6. 在图 23-1 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数 之差（大减小），然后把这 3 个差数相加，所得的和最小是多少 ？ 答案：7 分析：当中间数是 7 时和最小，和最小是 7。 7. 在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差（大减小） 最小的一个是多少？ 答案：1411 分析：与 1389 之差（大减小）尽量与 1389 相近。所以千位是 1， 百位是 3 或 4， 十位和个位是 1.即可能是 1311 或 1411 通过计算 与 1389之
6、差（大减小）差最小的是 1411. 8. 把 1、2、3、4、5、6 填人算式 ”的空格中， 要求前一个三位数比后一个三位数大.这个减法算式的结果最大 可能是多少？最小可能是多少？ 答案：最大：531 最小：47 分析：满足结果最大，被减数应尽量大，减数应尽量小。被减数 最大是 654,减数最小是 123。 结果最小，两数应接近。被减数是 412,减数是 365 时结果最小。 9. 一个自然数是由数字 & 9 组成的，它的任意相邻两位都可以 看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等. 请 学习必备 欢迎下载 问：满足条件的自然数最大是多少 ？ 答案：99889 分析：由 8
7、 和 9 组成的两位数可能是 88、89、99、984 种情况。. 要使数最大数的位数尽量大，相邻数字组成的两位数出现以上 4 种情况。满足条件的数由高位到低位排列可称为第 1 位、第 2 位、 第3 位第 1 位第 2 位组成的数最大是 99，第 2 位第 3 位组成 的数最大是 98 第 3 位第 4 位组成的数是 88，第,4 位第 5 位组成 的数是 89.满足条件的自然数最大是 99889. 10. 有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1, 2, 3，7.每个盘 子中都放有若干玻璃球，一共放了 80个.其中 1 号盘里放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组
8、成的数 之和都相等.请问：第 6 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球 ？ 答案：12 分析： 任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相 等。 1、2、3 号盘与 2、3、4 号盘玻璃球一样多。所以 1 号和 4 号盘都有 18个。依次往后推 7 号盘也有 18 个。 前 6 盘有 80-18=62 个，相邻的 3 盘有 62- 2=31 个。 4、5、6 这 3 个盘，4 号盘有 18 个要使第 6 个盘子中最多 5 号应 最少最少有 1 个，第 6 个盘最多有 31-18-仁 12 个。 拓展篇 1.3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少 ？ 答案：6 学习必备
9、欢迎下载 分析：只需考虑 3 个自然数的个位。个位上有 0-9 十种可能。 通过试验得 3 个连续自然数个位是 1、2、3 满足条件。 2. (1)在五位数 12435 的某一位数字后面再插入一个同样的数字 (例如：可以在 2 的后面插入 2 得到 122435)，这样得到的六位数 最大可能是多少？ (2) 在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字， 这样得到的八位数最小是多少 ？ 答案：最大 124435 最小 98766789 分析：(1)使结果最大所插数字应尽量大且数位尽量靠前。试验 得出最大是 124435. (2)使结果最小，所插数字应尽量小且数位尽量靠后。试验
10、得 出最小是 98766789. 3. 有 9 个同学要进行象棋比赛.他们准备分成两组，不同组的 人相互之间只比赛一场， 同组的人之间不比赛.他们一共最多能 比赛多少场？ 答案：20 分析：两组比赛的场数是两组人数的乘积。 两组人数的和是 9 要 使乘积最大两组人数应相近。 4+5=9，两组人数分别是 4 和 5 时 比赛场数最多，一共比赛 4X 5=20 场。 4. 3 个互不相同的自然数之和是17,它们的乘积最大可能是多 少？学习必备 欢迎下载 答案：168 分析：三个数和一定，差越小积越大。 6+6+5=17 但有相同的数， 再做调整得 7+6+4=17.积是 7X 6X 4=168。
11、5. 请将 2、3、4、5、6、8 填人算式“口口口 X 口口 口”的方格 中.要使得算式结果最大，应该怎么填 ？ 答案：842 X 653 分析：百位最大填 8 和 6，十位填 4 和 5,个位填 2 和 3。当一 个数十位上的 5 与另一个数百位上的 8 相乘，一个数个位上的 3 与另一个数百位上的 8 相乘时积最大。所以两个三位数分别是 842 和 653。 6. 请将 6、7、8、9 填人算式“口 X 口 + 口 口”的方格中.要使 得算式结果最大，应该怎么填？ 答案：7X 8+96 分析:两数乘积与所加的两位数应尽量大。 9X 8+76=148, 8 X 7+96=152 比较发现最
12、大填 7X 8+96。 7. 在图 23-2 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数 之差（大减小），然后把这 5 个差数相加，所得的和最小是多少 ？ 答案：19 分析：当中间数是 19. 19 时和最小，和最小是 10 学习必备 欢迎下载 图 23-2学习必备 欢迎下载 8. 如果 7 个互不相同的自然数之和为 100,那么其中最小的数 最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？ 答案：11； 18 分析：7 个互不相同的自然数最小分别是 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数的和是 21.100-2 仁 79 以上 7 个数分别加上相同的数也得 到 7 个不同的数。79 一 7=11
13、2, 7 个自然数都加上 11,得 11-17 , 7 个数。余数 2 可加到最大的两个数中。所以最小是 11 最大是 18。 9. 一个多位数的各位数字互不相同， 而且各位数字之和为 23.这 样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？ 答案：最小 689 最大 8543210 分析：要使最小，位数应尽量少。 23 可最少拆成 3 个不同的一 位数的和。即 23=6+8+9.所以最小是 689. 要使最大，位数应尽量多。 6 个互不相同的自然数最小是 0+1+2+3+4+5+6=21 , 23-2 仁 2 , 0+1+2+3+4+5+8=23.最大是 8543210。 11. 如图 23-3
14、,这是一个正方体的展开图. 将它折成一个正方体 后，相交于同一顶点的 3 个面上的数之和最大是多少？ 答案：13 6 分析：1-6 个数中 3 个数的和从大到小分析 1 3 4 2 学习必备 欢迎下载 最大的三个数是 6+5+4=15, 5 图 23-3学习必备 欢迎下载 从图中看出 6、5、4 不相交于同一顶点。 再次 6、5、3 也不想交与同一顶点。6、4、3 相交与 同一顶点。6+4+3=13. 12. 如图 23-4，在一个正方体方块的左下角 A 点处有一只蚂蚁， 它要沿着正方体的表面爬行至右上角的 B点，去搬运一块食 物.为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行 它可以选择
15、的最短路线一共有几条 ？ 答案：6 分析:A、B 没在同一平面上，不可以连接，蚂蚁 只能从表面爬过去，A、B 所在的两个面展开就在同 一平面上了。直接连接 A、B 就是最短路线。 F 面和后面、下面和右面、左面和上面、左面和后面) 。所以最 短路线有 6 条 超越篇 1.1. 一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少 ？ 答案：15 1、 分析：首先，由于余数V除数。所以余数要最大，那 么除数就要尽量大。而除数最大是 18。 (1) 除数为 18,这个两位数只能为 99, 99+ 18 余 9; (2) 除数为 17,这个两位数只能为 98、89, 98- 17 余 13, 89- 17
16、 余 4; 正面和右面、 展开 A、B 所在的两个面有 6 种情况(正面和上面、 234234 学习必备 欢迎下载 (3) 除数为 16,这个两位数只能为 97、79、88,97 + 16 余 1,79 + 16 余 15、88 - 16 余 8. (4) 除数W 15 时，余数小于 15. 所以余数最大为 15. 2.2. 4 4 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 3 人体重 之和都大于 9999 千克.这 4 4 个小朋友体重之和最小是多少千克？ 答案：134134 千克。 分析：不妨设这四人的体重为 A A、B C D,B C D,且 A AW B C 34.从而 D
17、C 34.所以 A+B+C+A 100+DA 100+34=134. 3 .将 1 至 30 依次写成一排：1232930,形成一个多位数.从 这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最大是多少？如果要求剩 下的数首位不为0,这个数最小是多少？ 答案：最大 998930 最小 100120 分析：1 至 30 共 51 个字码。所以去掉 45 个还余下 6 个字码。 要最大，则高位尽量大 998930, 要最小，高位尽量小 100120. 4 .用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使 这 2 个数的差最小(大减小)，这个差最小是多少？ 答案：139 分析：如图
18、易知：要让两数之差尽量小， A只能比 E 大 1,且 FGH 要尽量大，最大为 987.而 BCD 要尽量小,学习必备 欢迎下载 且由 6-4=2 知，BCD 为 126.最后得：4126-3987=139. 5.将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口X 口口一口口一口” 的方格中.如果算式的计算结果为整数， 那么这个结果最大是多 少，最小是多少？ 答案：最大 6452 最小 827 3 分析： 要让M 尽量大，易知要 AB X CD尽量大，EF * G 尽量小。且 AB X CD影响更大，应优 先满足。这时他们最大为 85 X 76=6460,这时EF * G 最小为 32* 4=8
19、。6460-8=6452.要让 M 尽量小，易知要 AB X CD 尽量 小，EF * G 尽量大。且 AB X CD 影响更大，优先满足。这时 他们最小为 24 X 35=840 ,这时 EF * G 最大为 78 * 6=13.840-13=827. 6. 如图 23-5, 一只木箱的长、宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、 4 厘米.有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱只允许 爬一次.甲虫最多能爬行多少厘米 点，那么它最多能爬行多少厘米 答案：39 厘米，34 厘米 分析：这是一个一笔画问题，且每个点的度数为 3，都是奇图 23 学习必备 欢迎下载 (1) 8 个点至少要去掉 3 条
20、线。这时候尽量去掉长度短 的线，即去掉 3 条长度为 3 的线。这时去掉 BC FG EH 即可。路线为 A-B-F-E-A-D-H-G-C-D,共 5X 4+4 X 4+3 X仁 39 厘米。 (2) 若而从 A 出发，最后要回到 A 点，那么 8 个点要去 掉 4 条线。这时候尽量去掉长度短的线，很明显去 掉 4 条长度为 3 的线是不行的。假如去掉 3 条长度 为 3 的线，这时从四边形 ABEF 的某个点到 DCHG 后 就没线回来了。所以最多去掉 2 条长度为 3 的线。 去掉 BC、FG、HD、AE 即可。这时的路线为 A-B-F-E-H-G-C-D-A,共 5 X 4+4 X 2
21、+3 X 2=34 厘米。 7 .如图 23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其 中首位已经确定.接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放 入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量 小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少 答案：140 分析：甲要使得 A-C 尽量大，而乙要使得尽量小。所以开始 甲只能报 4 或者 5,若甲第一个数报 6、7、& 9,那么乙只 要把这个数填在 C 出即可，这时 A-CW9-6=3.若甲第一个数 报 0、1、2、3,那么乙只要把这个数填在 A 出即可，这时 2 口 ? ? - I 丄 学习必备 欢迎下载 A-CW 3-0=3.并且
22、，甲报完 4 ( 5)后，只能一直报 0( 9)。 否则，随便你报一个另外的数 m 乙把 m 填到 C( A)，这时 A-C 就小于 4 了。所以这个值最大为 299-159=140，或者 240-100=140.并且，若甲第一个数报 5,而乙填到 B 或 D 处， 这时甲只需继续报 5 即可，直到乙把 C 处填 5 为止。 2 0 3 -10 0 &一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1 层，现在有 32 个人分 别要去第2 层、第 3 层第 33 层，他们可以选择坐电梯 或者走楼梯.有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个 人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯.每个人 上一层
23、楼梯会有 3 份不满意，下一层楼梯会有 1 份不满意.请 问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小 ? 答案：316 份 分析：假设电梯停在了 A 层，那么往上的楼层都要爬。 且不 高于 B 层的人都是从 1 层往上走，此时(B-1) X 3( A-B), 即 4 ( B-1 )( A-1 )。这时，若电梯往下停一楼，则从 A 到 33 楼，会增加 3 (33-A+1 )份不满意度，从 B+1 到 A-1 楼， 会减少 A-B-1 份不满意度。而 A-1 为 4 的倍数时，B 楼也会 由从下往上变成从上往下，从而减少 1 份不满意。所以，若 电梯直接到 33 楼时，这时 2 到 9
24、 楼的往上爬，最少有(1+2+ 学习必备 欢迎下载 +8)X 3+ (1+2+23) =384 份不满意。然后我们再考虑往 下移动。 (3) 停在 32 楼，贝 U B=8,这时 9 楼由 24 份不满变成 23 份，不满意数为 384- (24-23 ) -23+3=363 份 (4) 停在 31 楼，则不满意数为 363-23+6=346 份 (5) 停在 30 楼，则不满意数为 346-22+9=333 份 (6) 停在 29 楼，则不满意数为 333-21+12=324 份 (7) 停在 28 楼，贝 U B=7,这时第 8 楼由 21 份不满意变 成 20 份，不满意数为 324- (21-20 ) -20+15=318 份 (8) 停在 27 楼，则不满意数为 327-20+18=316 份 (9) 当停的楼层不高于 26 层时，不满意度减少的份上将 不大于 19,而增加的不满意份数将不小于 21 份。 所以电梯应停在 27 层，这时不满意度为 316 份.