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1、复变函数第一章复数乘幂与方根,1.2 复数的乘幂与方根,注:,1.2.1 复数的乘幂,复变函数第一章复数乘幂与方根,解:,解:,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算),复变函数第一章复数乘幂与方根,复变函数第一章复数乘幂与方根,注:,解:,因为,所以,复变函数第一章复数乘幂与方根,即,四个根是内接于中心在原点,半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.3 平面点集,平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域.,1
2、.3.1 区域,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.,复变函数第一章复数乘幂与方根,例4:,区域,不是区域(不是开集),不是区域(不连通),复变函数第一章复数乘幂与方根,如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的.,0,M,|
3、z|M,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.3.2 曲线,在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.,1.简单曲线,简单闭曲线,复变函数第一章复数乘幂与方根,设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 时,
4、 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线.,简单,闭,简单,不闭,非简单,不闭,非简单,闭,复变函数第一章复数乘幂与方根,2.光滑曲线,逐段光滑曲线,由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.3.3 单连通区域,多连通区域,单连通域,多连通域,(一个整体),(带有裂痕,漏洞),复变函数第一章复数乘幂与方根,1.4 复变函数,1.4.1复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广),单值函数,多值函数,
5、定义在整个复平面上的多值函数,定义在除原点外整个复平面上的单值函数,复变函数第一章复数乘幂与方根,则,两类常见的复变函数,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.4.2 复变函数的几何解释映照,几何意义:,D,G,复变函数第一章复数乘幂与方根,设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.5 初等函数,介绍几种常见的复变函数指数函数,对数函数,幂函数,三角函数,1.5.1 指数函数,复变函数第一章复数乘幂与方根,则,复变函数第一章复数乘幂与方根,求得,(欧拉公式),复指数函数,性质:,复变函数第一章
6、复数乘幂与方根,复变函数第一章复数乘幂与方根,电源,复变函数第一章复数乘幂与方根,此电路系统满足叠加原则.,电源,电流,当电路系统稳定后,电路中的电压,电流变化的频率,最终与电源频率相一致.,复变函数第一章复数乘幂与方根,电容:,对应的等效电阻为,电感:,对应的等效电阻为,整个电路的总电阻为:,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.5.2 对数函数,定义：,记：,多值性,-主值,例如：,复变函数第一章复数乘幂与方根,性质:,证明:,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.5.3 幂函数,定义:,为z的幂函数.,单值函数,.n值函数,.n值函数,.无穷值函数,复变函数第一章复数乘幂与方根,1.5.4 三角函数,定义:,(1)各种三角恒等式仍然成立,性质:,例如:,(3)类似地,可以定义其他三角函数及它们的反函数.,复变函数第一章复数乘幂与方根,复变函数第一章复数乘幂与方根,复变函数第一章复数乘幂与方根,