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1、济宁市高中数学教学能手讲课比赛参评教案双曲线及其标准方程执教人苗培壮济宁市育才中学2006年11月双曲线及其标准方程教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和蔼于寻 找数学规律的能力。德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积 极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。教学过程：一. 复习提问，引入新课。问题1.椭圆的定义是什么？问
2、题2.椭圆的标准方程是怎样的？a、b、c关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和改为“距离的差那么点的轨迹会发生怎样的变化？ 师：多媒体演示动点轨迹。师：同学们观察一下，动点 M所满足的几何条件是什么？ 生：MF1 ,MF2长度在变，但 MF1 MF2 常数。师：这个常数与 F1F2的大小关系如何？为什么？生：小于F1F2，三角形中两边之差小于第三边。师：用同样的方法，使 MF2 MF1 常数，就得到另一条曲线， 这两条曲线合起来叫做双曲线, 每条叫做双曲线的一支。板书课题二. 形成概念，推导方程。师：双曲线上的点应满足的条件是什么？生：|mf1 mf2| 常数小于 f1f2。师：类比椭
3、圆的定义，请同学概括双曲线的定义。1. 双曲线的定义。投影师：定义中的“绝对值三字去掉，能否表示双曲线？生：不能，为双曲线的一支。师：定义中的常数f1f2，轨迹是什么？常数rf2呢？生：以Ft F2为端点的两条射线。常数F1F2无轨迹。2. 标准方程的推导。f1f2的垂直平分线。生：建系。使 x轴经过两定点 FjF? , y轴为线段设点。设 M (x, y)是双曲线上任一点,焦距为2c，那么焦点Fi( c,0), F2(c.0) , MFimf22a。列式。MFimf22a即.(x c)2y2c)2y22a o化简。(c2 a2)x2(ca2)两边同除以a2(c2a2)得2 2xy_i2 2
4、2a c a2c 2a ca2b2(b 0)代入式得Fi( c,0), F2(c0)、y轴上双曲线的标准方程?师：这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在x轴上,c2 a2 b2。类比椭圆焦点在 y轴上的标准方程，如何得到焦点在 生：只要将方程中的 x, y互换即可。师：双曲线的标准方程有两种形式，下面做一下比拟。3. 两种标准方程的比拟。生：方程用“一号连接；分母是a2,b2，( a 0,b0)，但a, b大小不定； c2a2 b2；2 2 如果x的系数是正的，焦点在 x轴上，如果y地系数是正的，焦点在y轴上三. 练习与例题(投影)练习1.判断以下方程是否表示双曲线？假设是，求岀a、
5、b、c及焦点坐标。2222(1)x-1(2)xy_142222222(3)x匚1(4)x1 (m 0,n0)42mn答案:(略)题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在坐标轴;22X1 (mn0是否为双曲线的方程？mnm表示焦点在X轴上的双曲线；n0m表示焦点在y轴上的双曲线。n02 2练习2.假设Xy1表示双曲线，求m的范围2m m 1答1案:m1或 m2.例1.双曲线的两个焦点分别为F1 5,0, F25,0，双曲线上一点P到F2距离的差的绝对值等师：假设第一个条件改为F1F210，答案是否相同?2X生：不同， -92y162X16于6,求双曲线的标准方程。 解：略师：求标准方程要做到先定型，后定量。练习3.求适合以下条件的双曲线的标准方程。1焦点在在x轴上，a 4, b 3 ；152焦点在在x轴上，经过点.；2,叮3,，二2。3师：提示用换元法解方程组。答案：略2 S，且声速为340 m/s，求炮弹例2.A, B两地相距800 m，在 A地听到炮弹爆炸声比在B地晚爆炸点的轨迹方程。340 ；爆炸点的轨迹是靠近 B处分析：爆炸点距 A地比B地远；设爆炸点为 P，那么PA PB 2的双曲线的一支上 解：略四. 归纳小结。五. 布置作业。