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1、,第14章 整式的乘法与因式分解,14.3.1 提公因式法,1了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系 2理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式 3通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.,问题：630可以被哪些整数整除？,解决这个问题，需要对630进行分解质因数,630 = 23257,类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题,新课引入,整式的乘法,计算下列各式:x(x+1)= (x+1)(x1)=,x2 + x,x21,请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x
2、=_;(2)x21=_.,x(x+1),(x+1)(x-1),上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.,整式的乘法与因式分解有什么关系？,由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?,答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程.,上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘
3、法,因式分解与整式乘法是逆变形,想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?,a3-a=a(a+1)(a-1),a(a+1)(a-1),a3-a,判断是否是因式分解 要看等式的左边是否是一个多项式，右边是否是几个整式的积的形式。,试一试：下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？（1） （ ）（2）(x+2)(x-2）= x2-4（ ）（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（ ）（4）ax2+ay2=a(x2+y2) （ ）,m ( a + b + c ) = ma + mb + mc,下面两个式子中哪个是因式分解？,在式子ma + mb + mc中，像m这样每一个项都含有的因式，
4、叫做 。,公因式,ma + mb + mc = m ( a + b + c ),例: 找 3 x 2 6 x 的公因式。,系数：最大公约数,3,字母：相同字母,x,所以，公因式是,指数：最低次幂,1,3x,解：,3x2-6x,=3xx-3x2,=3x(x-2),ax+ay+a 3mx-6nx2 4a2b+10ab2 x4y3+x3y3 12x2yz-9x3y2 2a(y-z)-3b(z-y),找公因式的方法：系数取各系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式。,指出下列各多项式中各项的公因式,课堂练习一,
5、ma + mb + mc = m ( a + b + c ),在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。这种方法叫做提公因式法。,提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。,例1、,例2：把2a(b+c)-5(b+c)分解因式,(b+c,(b+c,练习二、把下列各式分解因式：（1）x(a+b)+y(a+b)（2）3a(x-y)-(x-y)（3）6(p+q)2-12(p+q),(1)2-a=_(a-2)(2)y-x=_(x-y)(3)b+a=
6、_(a+b)(4)-m-n=_(m+n)(5)(b-a)2= (a-b)2(6)-s2+t2= (s2-t2)(7)(x-y)3= (y-x)3,-,-,+,-,+,-,-,这些在分解因式时，符号都可当做公因式，但要注意符号.,填空：（填入“+”或“-”）,快速计算：（1）,已知a+b=5，ab=4， 求ab2+a2b-a-b的值.,拓展应用,例3、用提公因式法分解因式 5a(x-y)-10b(y-x),先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；（1）1+a+a（1+a）；（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2；（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3问题：a先探索上述分解因式的规律，然后写出：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）2007分解因式的结果是_b请按上述方法分解因式：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）n（n为正整数）,1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.,提公因式法,2.分解因式的方法：,注意符号变化,通过本课时的学习，需要我们掌握：,用提公因式法分解因式应注意的问题：,