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1、概率论与数理统计知识在金融学中的应用胡景轩 141090046 商学院2014级金融与保险学系金融学专业摘要:概率论与数理统计是高等数学教育中研究随机性等现象的一门重要基础课程，其能够通过运算技巧对风险控制和风险预算进行分析的特点使之在金融领域的分析中发挥着重要作用。本文力图将当前所学基础概率统计知识与金融界主流的理论或模型进行对应并举例分析，包括但不限于置信区间与VaR风险控制模型、条件期望与ES (expected shortfall )风险度量模型、t分布与厚尾分布数据、期望方差与经典投资组合理论等。篇幅和精力所限， 本文将不对经济学中常用的概率统计知识进行讨论，而将讨论氛围限于应用金融
2、学领域。关键词：概率统计金融学风险控制与管理期望方差置信区间投资组合概率统计在金融中的应用实例：一、资产组合选择的均值方差理论 (mean-variance theory of portfolio selection)在确定的情况下，投资者决策可用确定性结果来描述，在风险条件下，任何行动的结果并不被确知，结果用频率函数来表达。频率函数列示出所有可能结果和每种结果发生的可能性。因此，在风险条件下，描述收益的两个最常用的属性是：期望收益和标准差，前者是描述中心趋向性的指标，后者是描述风险围绕着中心偏离的指标。这一理论的意义在于将投资组合转化为了一个带约束的最优解问题，使得人们明白自己要追求的是给定
3、风险水平下极大化期望收益或者给定收益水平下极小化风险。以下举出一个简单投资组合的分析流程作为示例：某人有一笔资金，可投入三个项目：房产x、地产y和商业乙其收益和市场状态有关，若把 未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1, 根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万兀)，见下表Pi =中 p2 - 0.7差A-0 1房产11a地产64-1商业102-2请问:该投资者如何投资好？解：我们先考察数学期望，可知EX=4.0EY=3.9EZ=3.2根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产。但投资也要考虑风险，我们 再来考虑
4、它们的方差 ：DX=15.4DY=3.29DZ=12.96方差愈大，则收益的波动大，从而风险也大。若收益与风险综合权衡，该投资者应选择投资 地产。虽然平均收益较房产少0.1万元,但风险仅为房产的四分之一以下，可以获得较为稳定的回报。二、Black-Scholes 期权定价模型这一期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model )为包括股票、债券、货 币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠 定了基础，某种意义上来说可视为当代金融衍生品市场的奠基石之一。模型公式：C=S - NKX1) expA(r - T) - N(d
5、2)其中：d1=ln(S/X)+(r+峪2/2)丁/(扑)d2=d1-广 TC一期权初始合理价格X一期权执行价格S一所交易金融资产现价T一期权有效期r连续复利计无风险利率L股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)N(d1) , N(d2 )一正态分布变量的累积概率分布函数需要特别注意的是，该模型的基本假设之一是股票价格随机波动并符合对数正态分布。以下举例阐释该模型的具体应用方法：假设市场上某股票现价S为164，无风险连续复利利率促0.0521,市场方差o2为0.0841 ,那么实施价格 L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下： 求 D1:D1=ln164/16
6、5+(0.052+0.0841/2)X0.0959/ V(0.0841 X0.0959)=0.0327 求 D2:D2=0.0327- v(0.0841 X0.0959)=-0.057 查标准正态分布函数表，得 :N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761 求 C:C=164 乂0.5120-165 乂E-0.0521 乂0.0959 乂0.4761=5.803因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75 ,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。三、经济损失估计保险学作为金融学的分支之一， 发展之初便建立在基于大
7、规模数据分析的概率统计基础 之上。在保险学的财产损失评估领域， 概率统计知识特别是数学期望和参数估计得到了大量 运用。以下举例阐释参数估计在财产损失评估方面的应用：已知某仓库货物在储藏过程中，仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N (也？，)。今随机抽取8次货损资料，得到如下仓库货物损失金额表。根据这些数据估计平均损失。货恂损失金顾(元)1DOO2(X)03000次数2141由矩估计或极大似然估计均可得出:代入表中数据运算得:/ = -(1000x2 +2000x1 + 3000x4 +5000x1) = 2625 8= 1(1000-2625)2x2 +(2000 -+ (3000-262
8、5J2 心 +(5000 -2625 门-1101562.5b = 1049.55从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元，标准差的估计值为1049.55元。保险精算师在设定保费额度和保险费率时即可参考以上数据，以期得到较为合理的保费数据。四、VaR风险控制模型VaR意为“处于风险状态的价值”，即在一定置信水平和一定持有期内，某一金融工具或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。当代经济学者将之定义为“给定置信区间的一个持有期内最坏的预期损失”。VaR不仅指出了市场风险暴露的大小，同时也给出了损失的概率。其与 ES模型并列为两大风控模型，在金融资产定价和管理方面被广泛运用。其定义式为
9、： VaR=E (3) - 3*式中E ( 3)为资产组合的预期价值；3为资产组合的期末价值；3*为置信水平a下投资组合的最低期末价值。又设3 = 3 0 (1+R )式中3 0为持有期初资产组合价值，R为设定持有期内(通常一年)资产组合的收益率。3 *= 3 0 (1+R* )R*为资产组合在置信水平 a下的最低收益率。根据数学期望值的基本性质，将、式代入式，有VaR=E 3 0 (1+R ) - 3 0 (1+R*)=E 3 0+E 3 0 (R) - 3 0- 3 0R*=3 0+ 3 0E ( R) - 3 0- 3 0R*=3 0E (R) - 3 0R*=3 0E (R) -R*
10、3 VaRw 0E (R) -R*上式公式中即为该资产组合的VaR值，根据公式，如果能求出置信水平 a下的R*,即可求出该资产组合的 VaR值。在VaR的计算中，主要采用三种方法：历史估计法、方差-协方差法以及蒙特卡罗模拟法。在此重点介绍与概率统计知识相关度最高的方差-协方差法：首先，利用历史数据计算资产组合的收益的方差、标准差、协方差；其次，假定资产组合收益是正态分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏离均值程度的临界值；第三， 建立与风险损失的联系，推导 VaR值。设某一资产组合在单位时间内的均值为(I,数准差为(T, R*!I (心b),又设a为置信水平a下的临界值，根据正态分布的性质
11、，在a概率水平下，可能发生的偏离均值的最大距离为(1- a g 即 R*= (1- a 06 ER) =根据 VaR= 3 0E (R) -R*有VaR= 3 0成(町 a。= 3 0 a b假设持有期为 t ,则均值和数准差分别为,这时上式则变为：VaR= 3 0" a因此，我们只要能计算出某种组合的数准差b,则可求出其 VaR的值五、Expected Shortfall风险控制模型ES是指在损失超出 VaR时的条件期望值。设随机变量X代表给定组合的损益，VaRa(X) 代表组合在100 (1- a) %置信度下的VaR,则有：E翕(X) = E- X I- X >当损益分布
12、非正态分布时，VaR的计算只能通过模拟的方式求解，此时均值-方差模型不再适用。此时应当将组合优化问题转化为线性规划问题，应用模拟法来估计 ES加以求解。在这一情况下，ES模型可视为对 VaR模型的有效补充。在更复杂的情况下，两者可以产生 不同的互补或替代作用，因笔者能力所限在此无法详细展开论述。六、厚尾分布厚尾分布多出现在金融数据如证券的收益率中。以图形而论，其较正态分布图的尾部要厚，峰处要尖。直观上看，这些数据出现极端值的概率比正态分布数据出现极端值的概率大。因此，不能简单的用正态分布去拟合这些数据的分布。通过实证分析发现，自由度为5或6的t分布拟合较好。厚尾分布图形及理论在金融市场的技术图
13、形分析和基本面分析中应用较为广泛。七、其他金融理论中概率统计知识的应用在金融学的其他领域， 概率统计知识同样得到了广泛运用。例如：正态分布与资本资产定价模型、回归分析与财产保险、对数正态分布与资产收益率之间均存在密切的联系。除此之外，最新的现代金融理论引入了鞅理论、最优停时理论等方法， 与概率统计的联系愈发紧 密。结语金融与数学的结合已经成为业界共识，概率统计知识由于其对不确定性的研究契合了金融市场的特征而赢得了金融人士的青睐。作为金融学专业的学生，笔者认为概率论与数理统计课程是最重要的一门高等数学课程， 应当得到自己充分的重视， 是一门值得好好掌握并终身应用的科学。此外，由于笔者能力和所学知识所限，在本文中部分数学公式(主要是ES模型和VaR模型)及其推导过程直接由所引文献及百科中复制而来，在此表示歉意。参考文献：1. 佚名；论概率论与金融学的结合；百度文库2. 佚名；概率论在金融风险理论中的运用；百度文库3. 狄凯生，郭红强，李田田；浅谈概率论在风险管理理论中的运用J;管理观察，2012(8)4. 张明军；浅谈数学在金融领域的应用及发展；甘肃科技；20095. 佚名；概率统计在数学中的应用；河南某学院；20136. 陈学华，杨辉耀；基于Expected Shortfall的投资组合优化模型；广州大学数量经济学研究所；2003