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1、概率论与数理统计第六、七章(点估计)复习题解答1.设来自总体X的一个样本为(X1,X2，为。)=(2,1,2,3,1,4,4,1,3,4), 求x, s2 , B2 ; (2)求经验2 分布函数Fio(x)并作图； 求总体期望E(X) = H,方差D(X)=cr的矩估计值.-1 10(1) x = ' Xi =3(|)10i日解：来自总体 X 的一个样本为(Xi，X2，xio)=(2,1,2,3,1,4,4,1,3,4),故1 一10- 21 10- 2=云(Xi x) =4.6B2 =£ (Xi x) =4.2(2)样本的频数分布为样本值1234频数3223经验分布函数及其
2、图形为频率分布为样本值1234频率0.30.20.20.3y 411(3)当=E(X)=E , A1=X，令料=&，即得？ = X = 3 ；0,X < 10.70.3,1 < x <295,2 玄 x <30.50.7,3<x <40.31,x >4* .F10(x)-第8页共5页令2=A2 ,即 b2 +虾=3 Xi2 ,n i% = E(X2) = D(X)+E2(X) =s2 +邮 A2 =乏 X2,n i=1解得 * =寸 Xi2 -？2Xi2 _X2 =B2 =4.2niniY(若记得教材第179页例3的结论，也可以利用来直接求 E
3、(X) = P , D(X) =。2的矩估计值.)2.设X1,X2是总体X N(1, 2)的样本，求概率 P(X X2)20408).解：X1,X2是总体X N(1, 2)的样本，故X1,X2 N(1, 2),且相互独立.所以X X 2Xi'X2、22”、Xi X2 N(0,4).从而一2N(0,1), (2)E (i)2_ Xi - X 2 2_ Xi - XXi 乂 2P( 2)2. 0.i02) =i - :P(Xi X2)2 £0.408) =P( 2 2)2 3.i02)- P( i 2 2)2 0.i02)=：22于是 ZitGf(i0.i02,查表知 z0.75
4、(1) = 0.102,2ia =0.75, a =0.25.即 P(X一 X2)壬 0.408) = 0.252(考虑一下：此题如果不用 Z分布，而利用标准正态分布函数表，该怎么求解?)2、3.设Xi,X2，X5是总体X N(Q。)的样本，证明2 Xi X2 X3X4 - Xst(i).证明：Xi,X2，X5是总体X N(0,。2)的样本，故Xi,X2，X5 N(0,。2),且相互独立.所以2 Xi X2 X3Xi X2 X3N(0, 3。2), iM3 N(0,i)(X：2.,3。2X4 -X5X4X5 N(0, 2u ) .从而一= N(0,i) V2crX/X；+X3与(牛由)2相互独
5、立.'3。, 2 -由(i) (2) (3)及t分布定义知4.设随机变量F F(m, n)Xi X2 X3、.3。(X4=X5)2/i- 2-t(i)即 丫=13Xi X2 X3X4 -X5 t(i).证毕. 求 F0.0i(10,12) ,F 0.99 (10, 12) ； (2)当 m=n=10 时，求常数c,使概率n = 20 时，求概率 P(F >1.84).P(Fc)=0.05,并把c用上a分位点记号表示出来； 当m = 15,11解：(1)查教材第 452 页附表得：F0.0i(10,12) = 4.30 , F0.99 (10,12) - 0.21；F0.01(i2
6、, i0)4.71查教材第449页附表得：c = F。.。5(10, 10)=2.98当 m=15, n=20 时，查教材第 448 页附表得：F0.i0(15, 20) = 1.84 ,二 P(F1.84) = 0.10.2、5.设总体X N(5, 2 ) , (1)从中随机抽取谷量为25的样本，求样本均值 X洛在4.2到5.8之间的概率； 样本容量n取多大时，可使P（X <5.8） >0.95?4、解：由题意及抽样分布定理知，故X N（5, 一） nX2N(0,1)、.n这里n=25,从而*25N（0,1）5于是4.2 -5 X -5P(4.2 £ X < 5.
7、8) = P(0.40.45.8 - 5_-) ： ：，(2) 一巾(一2) =2：，(2)一1 = 2 0.954 1 =0.908（2）要使X55.85P(X <5.8P(-<-8)(0.4、n) _ 0.95 =，(1.645)由分布函数的单调不降性知 ，只需0.4如N 1.645，即只要n 216.91,故取n = 17即可.6.设X，X2,，X10是总体X NW,42 ）的样本，S2是样本方差，且P（S2a）=0.1,求常数a._2（n -1）S解：由题意及抽样分布定理知 2一a29S22、(n -* 1).这里 n =10, b = 4 ,故 6 f (9).于o9S2
8、9aP(S2a)=P(9S >9a)=0.1,从而16169a1620.1(9) =14.684, a = 26.17.设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布,即-EXP（。），6 > 0，未知.现从中随机抽取5只进行测试,得到它们的寿命（单位：小时）如下： 518612713388434.试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估讨1-X0解：晶体管寿命1 eX的分布密度为f (x) i0.0,似然函数L（。n=Hi日1XiI -i ie6Xi0, i =1,2, ,n1-/i,nln L(p =' -Ini廿d 口： 1 . 1令履"。二=顼为1 nn(-n，二Xj)
9、= 0i=12x0 _ x,参数e0,未elsed no 11则?=一£ xi =(518+612 +713+388+434) =533 (小时)为所求最大似然估计值n*52 , 8.设总体X的一个样本为(X1 , X2,Xn), X的分布密度为f (x)=他0,知.(1)求8的矩估计量；(2)求矩估计量的方差；(3)求8的最大似然估计量. 2x2x解：1 =E(X) = .®xf(x)dx = .0xu,22 . dx =日，A=X,令卜1=丹，即一e = X3 33 得矩估计重：？ X ；2?3 板 99 D(X)(2) D(。= D(;X) =了 D(X)=-244
10、n2_'2 ,口而 E(X2) = x2f(x)dx =-=ox2 g dx = 1J1 . 2192.920,D(X) = E(x2) e2(X)=V"(/8n£Xi.弓= 1,2, ,nn 2xi似然函数L(H)=口京，0 i日。ln L(8) =，ln 2+lnxi 21" , 土 ln L(8) =，0§=穹0, in L(6)单调递减.故-心j当8取其最小可能值时，ln L(8)有最大值,从而L(6)有最大值.注意到0壬为8, i=1,2，n.等价于喈xi芝0,如图于是知8的最大似然估计值为彳=醪 xi,最大似然估计量为彳=忌擎Xi.9
11、.设总体2X有期望E(X)=P，方差D(X)=b ,但均未知.X1,X2L,Xn是取自总体X的样本,B2 圭(Xi -X)2, n imS2巳£ (Xi -X)2 .试验证：又是卜的无偏估计，B2是b 2的渐近 n T 一无偏估计，而S2是0'2的无偏估计.1_、1证明：(1) E(x)=n£ E(Xi)=n£ £以)=£以)=卜，故x是*的无偏估计；1.、.、21. 、.2、,2(2) b2 =打二(Xi -X)=打二 xi _x ,从而12_21 ''2_2E(B2) = '、 E(Xi ) E(X ) =
12、、 E(X ) E(X n n i j2 222 )=E(X2) E(X ) =D(X) E2(X) _D(X) E2(X)2,2CT + R_2、-,2 n -122/山、-；"、：(吉 n. -)n故b2是。2的渐近无偏估计._2S12 n-(Xi -X)=B n -1 jn -12,. E(S2)土顷"一1 nn n -1 22cr =a第5页共5页证毕.故S2是。2的无偏估计.10 .设Xi,X2，Xn是总体X的一个子样，E(X)K , D(X)=b2存在且未知，任意正的常数ai (i =1, 2,，n)满足£ ai =1.试证：(i)估计量合=£
13、; aiX i总是卜的无偏估计；(2)在上述无偏估计中i =1i=1证明：Xi, X2，Xn是总体X的一个子样，故X Xi最有效，并写出此时的最小方差 n i4Xi , X2，Xn相互独立，且与总体X有相同分布，于是E(Xj)=E(X)K, D(Xi) =D(X)=。2.从而 E(?) =E(' aiXi)=', aiE(Xi)=(' aDK,故估计量a Xi总是H的无偏估计.i=1 D(勺=D(' aXi) = L a2D(Xi)2 aii =1当且仅当a =a2= an时,n£ ai2取得最小值，即ai=【(i =1, 2,n)时，D (?)取得最小值, n故在形如怜=£ aiXi的无偏估计中,12此时，最小万差为D(冷)=一 b n2、(-,为) u .i =10 ma *xi1苛二n