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1、第三章连续型随机变虽3.1设随机变数E的分布函数为 F(x),试以F(x)表示下列概率：(1) P(E=a) ； (2) P心a) ； (3) P(，芝 a) ； (4) P(E>a)解：(1)P(£ = a) = F(a +0) F(a);(2)P(E a) =F(a +0)；(3)P(E >a)=1- F(a)；P(& >a) =1 F(a +0)。3.2函数L，、1一，4、一，EF(x)=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果1 x(1 ) 8 <x(2) 0<x<°°,在其它场合适当定义；<x <0
2、,在其它场合适当定义。解：(1)F(x)在(-",")内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数;(2)F(x)在(0, °°)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;(3)F(x)在(-«,0)内单调上升、连续且F(q,0),若定义F(x"'F(x)1-二：x ： 0x _0 、 、 则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。3.3 函数sin x是不是某个随机变数 £的分布密度？如果 己的取值范围为(1) 0, ; (2) 0,兀;23 一(3) 0,兀。2解：(1)冗当x气0,云时,sin x芝0且2 sin
3、 xdx=1，所以sin x可以是某个随机变量的分布密度;兀(2)因为0 sinxdx=2"1,所以sin x不是随机变量的分布密度;(3)3 .当x = f兀时， sinxo 所以sin x不是随机变量的分布密度。 23.4 设随机变数 土具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)=p(-x),证明：对任意的a>0,有(1) F(a) =1 F(a) = ； . p(x)dx ；(2) P ( E <a) =2F(a) 1；(3) P(| a)=2lF(a)l。.a证：(1) F(a) = J p(x)dx=1- p(x)dx-:-a -二a=1 a p(-x)dx =
4、1-匕p(x)dx0=1-F(a)=1 - p(x)dxa1 a-|0 p(x)dx - 0 p(x)dx ；aa(2) P(彳 <a = L p(x)dx = 2 0 p(x)dx,由(1)知1- F(a) = ； - 0 p(x)dx故上式右端=2F(a) -1 ；(3) P(,a) =1 -P(耳 <a) =1 -2F(a) -1 =21 - F(a)。3.5 设F(x)与 F2(x都是分布函数，又 a>0,bA0是两个常数，且a+b = 1。证明F(x) =aF1(x) bF2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(
5、x)与F2 (x都是分布函数，当x1 < x2时，F1(x1) < F1 (x2),F2(x1F2(x2),于是F(x) =aF(x) bF2(x)土 aF(x2) bF?(x?) = F(x2)lim F(x) = lim aF1(x) bF2(x) =0lim F(x) =limaF1(x) bF2(x) =a b =1x K ：x .F(x -0) =aF(x -0) bF2(x -0) =aF(x) bF2(x) =F(x)所以，F (x)也是分布函数。_1 一取a = b = ，又令2这时F1(x) =«0F2(x) = < x 0101 x21F(x)不
6、是离散型的，而显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数匚的分布函数为1-(1 x)e项 x _0求相应的密度函数，并求P(，壬1)。d. vv解： 1 一(1+x)e =xe ,所以相应的笞度函数为 dxP(x)= <-xxex _0x ： 0P( 5 = F(1)3.7设随机变数匚的分布函数为F*"' 1x ： 00 _ x ： 1x _ 1求常数A及密度函数。解:因为F (1 0) = F (1),所以A = 1,密度函数为2x 0J<1 p(x) = J.0 其它3.8随机变数土的分
7、布函数为 F (x) = A + Barctgx ,求常数A与B及相应的密度函解:因为m_F(x) = A B( j) = 0兀 <Jim F(x) = A B? =1所以因而ji1 1.1F(x)=二-arctgx, p(x) = F (x) =2 (1 x )3.9已知随机变数t的分布函数为x 0 ： x 壬 1p(x) = 2x 1 ： x £ 2"其它(1)求相应的分布函数 F(x)；(2) 求 P(M<0.5), P仁 >1.3), P(0.2 < E <1.2)。解:F(x)=x _00"1 20 ydy "x1
8、 X1 20ydy 1 (2-y)dy =2x-§x -11*21P( ： 0.5) = F(0.5) =18P( 1.3) =1 -P(壬 1.3) =1 -F(1.3) =0.245P(0.2 ： 1.2) =F(1.2) - F(0.2) M.663.10确定下列函数中的常数 A,使该函数成为一元分布的密度函数。(1) p(x)=Ae+x；JTJTAcosx -x s (2) p(x)=220其它Ax21 三 x £ 2(3) p(x) = < Ax 2 <x <30 其它JJ二 x1解：(1) f Ae "dx = 2A e dx = 2
9、A =1所以 A = -； 02(2)f2 Acosxdx = 2A 2 cosxdx = 2A = 1，所以 A=;-.0Q22 f Ax2dx + f Axdx = 9A = 1,所以 A = -6。126293.12 在半径为R,球心为。的球内任取一点 P,求 =oP的分布函数。解：当0、x三R时43-xF(x) =P( ：x)=(三)3二 R3 R3所以0F(x)=e|)3R13.13某城市每天用电量不超过一百万度，以匚表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为p(x)=12x(1x)2 0<x<10 其它若该城市每天的供电量仅有 万度又是怎样呢？80万度，求
10、供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90解： P( 0.8)=P( 0.9)=120812x(1 -x) dx =0.0272120912x(1 -x)2dx = 0.0037因此，若该城市每天的供电量为 80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每大的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。3.14设随机变数 芸服从（0, 5）上的均匀分布，求方程4x2 4 x 2=0有实根的概率。解：当且仅当(4 )2 -16(2) _0(1)成立时，方程4x2+4Z + £+2=0有实根。不等式（1）的解为：>2或：M 1。因此，该方程有实根的概率p = P（
11、E 芝 2） + P（匚壬一1） = P（匚芝 2） = "dx =。2 553.17某种电池的寿命E服从正态N（a,。2）分布，其中a =300 （小时），。=35 （小时）（1）求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x ,使寿命在a-x与a + x之间的概率不小于 0.9。.-300,解：（1） P（，>250）=P（> -1.43）35= P（* -300 <1.43）=中（1.43） & 0.9236 ；35x-300x（2） P（a - x ：: a x） = P（-353535xxx_ _=（）-'（- ）=2（ ）一1 .二 0.9
12、353535即,x'>（） - 0.9535所以x -1.65 35即x _ 57.753.18设中（x）为N（0,1）分布的分布函数，证明当 x>0时，有ffi:1 一 X-X _-2en12rlpf1 - X/V2e22V1 - Xdy-y_2e1 - X/V2X 2eJr2X.73X-1dy13.21证明：二元函数F（x,y）=<10对每个变元单调非降，左连续，且F(q, y)= F(x,-) = 0, F(qo,*c) = 0，但是F(x, y)并不是一个分布函数。证：(1 )设 Ax a 0 ,若 x+y0，由于 x+Ax + y0，所以 F (x, y)
13、= F (x + Ax, y) = 1 ,若 x+y0，贝U F(x, y)=0。当 x+Ax + y0 时，F(x+Ax, y) = 0；当 x+Ax + y> 0 时，F(x+Ax, y) = 1。所以 F (x, y)壬 F (x 十 Ax, y)。可见，F (x, y)对x非降。同理，F (x, y)对y非降。(2) x + y0时liRF (x - . x, y) = lim0 F (x, y - . y) = 0 = F (x, y), x + y a0时, 1叽 F (x f .x, y)=叽 F (x, y f , y) = 1 = F (x, y),所以F(x, y)对
14、x、y左连续。(3) F(-«,y) = F(x,-«) =0 , F(危,危)= 0。(4) P(0 或 <2,0G <2)=F(2,2) F(2,0) F(0,2) + F(0,0)=1 ,所以F(x, y)不是一个分布函数。jiji0_x_,0_y_ 一22其它3.23设二维随机变数(E,H)的密度/、sin(x + y)P(x, y) = <20求(疽)的分布函数。一 ，. 一 .n 一 . n解：当0 < , 0勺三一时，22F(x, y) = P( : x, : y)y 1 -sin(t s)dsdt1 x=2 cot cos(t + y
15、)dt1=sin x +sin y sin(x 十 y),所以2F (x, y)=01 一 -sin x + sin y 一 sin(x + y)1 ， .、§(sinx +1 - cosx)1 _ .(1 +sin y-cosy)(x ： 0) (y ： 0)jiji0 £ x _ ，0 三 y 三一22jiji0 £ x _ ，y22it - jrx ,0三y三_22TtJTx-, y223.24设二维随机变数代,n）的联合密度为p(x, y)=<3x-4yke0x 0, y 0其它2求常数k ；求相应的分布函数;(3)求 P(0<1,0<2
16、)。qQ oQ解：(1)( I ke所以k =12 ；5dxdy =. ；e-3xk dx =,12(2) x a 0, y a 0 时,dtds=12( 0 e，dt)( je顼8ds)(1-e6)(1-e-),所以F(x, y)=；(1e6)(1Ly)0x 0, y 0其它(3) P(0匚 <1,0<2)F(1,2) -F(0,2) -F(1,0) F(0,0)-3-811 -e -e 十 e 。3. 25设二维随机变数（总）有密度函数PMLgxA y2)求常数A及(，,听)的密度函数。0 oQp(x,y)dxdyA.解:=2 dxdyy，仕况 2(16 x2)(25 y2)4
17、A 二 dx : dy A-0 16 x2 0 25 y2 项一所以，A =20；x yF(x, y) = p(t,s)dtdsN-jDQ20 x y dtds29二- - (16 t )(25 s )202 JIx dt(="(y ds- =25 s2)JI1 , xy 、-(arCtg； 2)(arCtg5 i)3.26设二维随机变数(&/)的密度函数为p(x,y)=，4xy 0<x<1,0<y<10其它11求(1) P(0<E <，<n <1);(2)P(E=n);(3)P(E <听);(4)P仁 尸)。2 4 解：
18、1 1二1二115(1) P(0 ：:-，1) = 2 14xydxdy = 4 2 xdx 1 ydy ;2 40 40；64(2) P( = ) ii4xydxdy=0;x =y(3)1 11P( ： ) = 4xydxdy = o x4xydyd °2(x x :y-x2)dx =12;(4) P(写)二123.28设()的密度函数为1 p(x, y)= 2 .°0三x三1,0三y三2其它 1求，与n中至少有一个小于 1的概率。解:1 1.11P( :=) 一.( ：:=) =1-P( 一；，一；)2 222,、，11 1 , ,5= 1-11p(x, y)dxdy=
19、1-11 -dxdy=-2 222283.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以£和州表示这两个组件的寿命(以小时计) 设(£,>!)的分布函数为仁_0.01x_Q.01y 二-0.01(x*y)F (x, y)1 -e -e +ex 兰 0, y 芝 0其它求两个组件的寿命都超过 解：120的概率。P( 120,120) =1 P( £120) _. ( <120)=1 -P( £120) -P( < 120) Pf <120, < 120)=1 -F(120 0,二)-F(二,120 0) F(120 0,120 0
20、).2、A.21.2_2.4=1 _(1 -e ) _(1 -e ) (1 -2e e )=e* ： 0.093.31设p1 (x), p2(x)都是一维分布的密度函数，为使p(x, y) = p(x)p2(y) h(x, y)成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x, y)必需且只需满足什么条件？解：若p(x, y)为二维分布的密度函数，则qQ qQp(x,y) 一0, ! . ：p(x,y)dxdy = 1所以条件(1)h(x, y)至pi (x) p2 (y); 乙亡h(x, y)dxdy = 0得到满足。反之，若条件(1), (2)满足，贝Up(x,y) 一0, i：p(x,y)dx
21、dy = 1p( x, y)为二维分布的密度函数。因此，为使p(x, y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件(1)和(2)。3.32设二维随机变数 昌)具有下列密度函数，求边际分布。(1)p(x, y)=x . 1, y . 1其它(2)p(x, y)=Wg(x2 书2)"e0x 0, y _ 0或x _ 0, y 0其它(3 )p(x, y)=解：(1) p；(x)(2)x0时,p (x)二p (x)所以,p (x)(3 )p (x)3.34证:x 1 (y -x) 2 e迪*)化)0二 2ey 1 |*dyp (x)=ex0 ： x ： y其它=M,(x 1)
22、x"(y 1)p 3 =o,(y 三 1)0 1_1-(x2 y2)-e 2 dyx2一221 Ae 22dyX2eO同理,p (y)=y2 切。k1 Jx：(k)(k2)p (x) =0"0)oO1(y -x)2 edy =x(k1)p(y""(k2)p (y) =0,(y £。)xk1 (y _ x)k2 】dx =1e、x 0)k1 k2=1y - , (y 0) (k1 k2)y ,(y )证明：若随机变数 £只取一个值a,则总与任意的随机变数独立。-的分布函数为F (x)1 x >a k.0 xW设听的分布函数、(七“
23、)的联合分布函数分别为 F1(y),F(x,y)o当 xa 时，F(x,y) = P(： <x,n <y) = 0= F"x)Fu(y)。当 xa 时，F(x, y) = P(£ <x,n < y) = Pp < y)=能(*)上3)。所以，对任意实数 x, y ,都有F (x, y) = F Xx) W y),故£与听相互独立。3.35证明：若随机变数 土与自己独立，则必有常数C,使P(M = c) = 1。证：由于 P仁 <x)= P(& <x, <x) = P(E <x)P<x),所以 F(
24、x) =F(x)2 , F(x)=0或1。由于F(*) = 0, F(E) =1 , F(x)非降、左连续，所以必有常数 c,使得F(x)=故 P(£ =c) =1。3.36设二维随机变量(电明)的密度函数为x2y2 _ 1其它1p(x, y)=二0问匚与11是否独立？是否不相关？解：p Mx) =二也=2山妒，(| x|< 1); p"x) = 0,(| x|A 1)。J同理，pn(y) = 2"y ,(|y1);pn(y)=0,(|y|>1)。31由于p(x,y) # pHx)Pn(y),所以土与叮不相互独立。又因p(x, y), p«x
25、), py)关于x或关于y都是偶函数，因而E% = En = e(的)= 0,故cov(注)=0 , 土与叽不相关。3.41设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度:100厂 x 100 p(x) = x20x 100台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少?三个这类管子全部要替换的概率又是多少？(假设这三个管子的寿命分布是相互独立的) 解：设这类电子管的寿命为 t ,则所以三个这类管子没有一个要替换的概率为:1002P(15°)= i50dx = 3=827 ；三个这类管子全部要替换的概率是(1-广我7。3.44对球的直径作近似测量，设其
26、值均匀分布在区间a,b内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为匚，则其体积为1. 313n =忒 。y= nx 的反函数66x = %6y O1, dx = 2/打36兀y2 dy。由'的密度函数ps(x) = 1/(ba) , axb，得n 的密度函数为P =(b - a) 3 36 y20 、二 3三 y ,6其它。3.45设随机变数匚服从N(0,1)分布，求卜的分布密度。解：在x芝0时，P(FI < x) = P(-x < 土 < x) = J e 2 dt。口. 2-所以q的分布密度 2/ 2P|£(x)=*'2/兀 e" ,(x
27、占 0); p|4(x) = 0,(x<0)。3.46设随机变数服从N(a,。2)分布，求e %勺分布密度。解： y =ex的反函数x = ln y,dx =1/ y，dy。由服从N(a,。2)分布，推得n =e的分 布密度为1I 1 "I8J oxp一(lny a) r y>0,Pn(y) = P'2gy. 2j0y 三 0.3.47随机变数土在任一有限区间 a,b】上的概率均大于0 (例如正态分布等)，其分布函数 为"(x)，又明服从b,1】上的均匀分布。证明；=Fc1)的分布函数与匕的分布函数相同。 解：因为£在任一有限区间 a,b上的概
28、率均大于0，所以FJx)是严格上升函数。由于10,1】 上 的 均 匀 分 布， 所 以 。的 分 布 函 数 Fx) =P(： <x) =P(FC1) < x) = P(n < F(x) = F«x)，对任意的 x都成立。所以匚 与土的分布函数相同。3.48设随机变量匚与n独立，求 5 的分布密度。若(1) &与听分布服从(a,b)及(a,E)上的均匀分布，且 a<a<b<E ； (2) E与听分别服从(-a,0)及(0,a)上的均匀分布， a0。解(1) p以x) =1/(b -a), a < x < b; p"x
29、) = 0,其它。px) =1/(E -口),口 <x < E; p听(y) =0 ,其它。qQp . (x"i二p (x- y) p (y)dymin( x-a, |.)=. dyman(x -b,(力 (b-a)(")=kin(x a, E) -max(x -b,a) 】/b a)(E -a),a +a < x < b + P; p*x) = 0 ,其 它。(2) p*x) =1/a,a < x < 0; p«x) =0 ,其它，pn(x) =1/a,0 < x < a; pWx)=0,其它。min(x-a,-)
30、2p . (x) = p (x-y) p (y)dy =1/a dymax(x,0)= min(x a,a) - max(x,0) / a2a 一 x.,、八=，一a <x < a, pt(x) =0，其匕a3.49设随机变量，与n独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为p(x) =； e+x"a, (a 0)2a求，+听的密度函数。解:P (x)P (x)qQ匚p&(x y) Pn(y)dy,p (x)gexp 一 Jdy c x_y_yx_y：y y _x y10 x := e a dy0e a dyxe a dy当x <0时,p (x)所以1 x、=
31、 4a(1 a)e14a2-ax-y-y汽y-x-yx . .0-e a dyi e a二：xdy一y-xy/g 1xxe a dy =；(1)e a04aa1_|x|p (x)2 (a |x|)ea4a3.50设随机变量，与n独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为p(x)=12 二(1 x )证明:1 ,.、匚=_仁十 )也服从同一分布。2证:Q0 (,0: 1 x2 1 (y x)2 dx:>2x y 2(yydv二2y(y2 4)x2 1 (x y)2 122ln(x2 1) yarctgx -ln(x - y)2 1) yarctg(x - y)仁二 y(y 4)2二(y2 4)
32、p (y)二所以p1()=222=122二(2z)2 4 二(1 z2)一 1，、即' =(£ +")也服从相同的柯西分布。23.51设随机变量匚与"独立，分别具有密度函数1 i x / a=p“(x) = e2ap«x)=Pu(x)=0(其中舄0,H >0 )，求5的分布密度。解：x0时,xp "(x) = (Leydy=，e=x :e"'ydyx <0时,P (x) = 03.53设随机变量，与n独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|&听|的分布。解:'x+1 -1<x<0
33、1-x 0<x<1Ml服从(-1,0)上的均匀分布，据 3.48 (2)知,P5(x) =min(x+1,1)-max(x,0)=在0 <x < 1时，| £ 一叮|的分布函数F(x) = P(| - 卜：x) = P(-x x)0 x 2=口(t 1)dt o (1t)dt =2x x2所以|匚-听|的分布密度为PE(x)=2(1-x)0 公 <10其它3.54设随机变量，与门独立，分别服从参数为A与卜的指数分布，求-度。解:U -. U由 pn(x) = % 以,x a 0得 pjn(x) = e欧,x <0,所以QOp _(x)=目(y)p_
34、(x-y)dy在X >0时,所以?项为=0§祟呻口协=独%+3P _（X）=e-""% = *（.）PE21(X) = *B*.(.),e'X(')3.56设随机变量E与独立，且分别具有密度函数为_1 P (X)=二 1x20|X|：1|X|-1P(y)=<0xe 顼22x_ 0证明此服从N（0,1）分布。证：由 pn(x) =xe 2 ,x0得 p *(x) = x*e 2" ,x a0。故p (y)=cdP i(y)= i|x| p (yx)p (x)dx,则令 12X2 =Up (y)= 21-y2 2e兀:-11_y2
35、u 2e-udue 202所以 此服从N（0,1）分布。3.58设随机变量匕与独立，都服从（0, a）上的均匀分布，求 祐 的密度函数。1 二 一解：p (X) = .i-p (XZ)P (z)| z|dz =; 0 zp (xz)dz当0 <x M1时,/、1P (X) = 2 a:zdz =当x.1时zdzT所以y的密度函数为3.59设随机变量，与独立，都服从参数为 人的指数分布，求 新 的密度函数。 解：在x芝0时，O0p (x) T jp (xy)p (y)| y |dyI 'lx - y(x 1)2=0 e e ydy在x <0时， p(x)=0。/l3.60设二
36、维随机变量(匚)的联合分布密度为|x|：1,| y|：1其它1 + xy p(x, y) = < 40证明：&与听不独立，但匕2与*!2独立。证：由于p(x,y)。p匚(x)pn(y)，所以W与不独立。由于E2L"+ty L 3P(- <x) =，JHL 4dy)dt = Jx 0<x12 j 11+tx 厂 EPf <yWI -( dx)d/y 0<y壬 1y t 40y01x, y >1Jx0 < x 9, y > 1P(t2 <x,。2 < y) =<y x1,0 < y 9 y xy 0 <
37、 x, y < 1 0其它与n2相互独立。所以对一切的x, y，都有P（匚2 <x2 < y） = P（£2 < x）P©2 < y），故V3.61设随机变量具有密度函数22二.二cosx 一一_ x _ p(x) =-：220其它求E栏,D &。-.222解：E = 2x cos2xdx=0-2-：_2. 2'<2 2 22：:.1D = E = x cos xdx =- -：2 二1223.62设随机变量巴具有密度函数x0 x < 1p(x)=2 x1 < x < 20其它求eE及dE。1c2解 EE
38、 = (x2dx + x(2-x)dx = 1 ,-21322 一 一E = 0 x dx，i x (2 -x)dx = 7/6 ,D& = E：2 (E%)2 =1/6。3.63设随机变量匕的分布函数为0x：-1F (x) = < a+barcsin x1<x<1试确定常数(a,b)，并求E&与D 解：由分布函数的左连续性，a + b arcsin1 =1,、a + b arcsin0 = 0,故 a =1/2,b =1/二。111E = x d( arcsin x)2-：1 x=r dx=0,2二、1 一 x况=EE =, dx"1-x2x2dx
39、7Cx22 二/2 . 2 .=sin tdt = 1 /2。"03.64随机变量，具有密度函数P(x)=Ax：_x/ e0,其中a >1,P :>0,求常数A, E&及DW。解：1 = j A x： e顼'dx = A,F主1 yedy=aE 口扣口 +1),故A =1。1 Tr 1)E = o A x： 1 e"，dx = A "： ： 2 T(:2) = (：1)：,E = o A x： 2 e* :dx = A ： ： 3 T(:3)(：1)(：2)：2D" =E 2 -(E )2 =(：1)"11、.3.6
40、6设随机变量匚服从（-一一）上的均匀分布，求 n=sinE的数学期望与方差。2,21解：E = isinxdx=0,21时=E" = Esin2 兀xdx=1/2。 23.67地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间 的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为 & （秒），则，服从0,300】上的均匀分布，则300 1rEE = x dx = 150（秒）， 0 300300 1 E= x2 dx = 30000（秒2）, 0 300DE=30000-1502 =7500（秒2）。3.71设,乌,匕n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离
41、散型），证明：对n证：，/£ 同分布（j =1,n）,i =4（j = 1, , n） °仕+"-1十 十%M + +'1- nnS ,所以 EUj/Z j芦1.乌都存在且相等由于 1 = E k。/£ q 1= n E K /£ £，所以IL.i 日 i . IL id皿十廿knEL"J n°3.72设上是非负连续型随机变量，证明：对 x A 0，有P（ ：: x） _1 - 旦。x证:xP（ ： x） = 0 p （t）二 t-1 -1x x4 E=1 x=1 -p （t）dt1 二p （t）dt -1
42、0 t p （t）dtx 03.73若对连续型随机变量土，有E平<°o（r <0），证明有P（E a耳）证:P（H&） = J p（x）dx< fXxrw,rp （x）dx.1 Ul M r r Lx pgx） = e - g。d的相关系数，其S-3.75已知随机变量-与n的相关系数为P,求匕= a+b与ncn +中a, b, c, d均为常数，a, c皆不为零。EE Q ( 1 E 1)1E(1 E 2)1 /( 1 E 1)2ac cov(,)a|相ac " P ac > 0=i1，P =|aq - P ac < 013.81设随机
43、变量 乌上2,上n中任意两个的相关系数都是P,试证：P芝-n -1证：。箜烦；小i -E )2=；盘弓+2P £勾M %，可1 J： :j <nL nD im (D i D j)hid<n=£ ；旦D 1 + P(n-1)1, 一一 1故 1： (n -1) _0,：-n -13.84证明下述不等式(设 tn都是连续型或离散型随机变量)(1)若'与n都有P占1阶矩，则有LAP 4 / CP*1/cE|E +邛P ME? 1/p +E P1/PE 匚 +n p <2P_1(E 匚 P +E» p)若，与n都具有p0阶矩，贝UE|5|p M 2P(E|.P + E|P).P/c"Pl/c.P证：(1) pV时，E+叫 1/p习E£| 1/p+E叫1/p即所谓的明可夫斯基不等式,证明略。，.p在P 21时，x是x的下凸函数，故x + yPx|P+|y|P2 一 2即|x y|2p4(|x|p |y|pP HpJ1(E . P E(2)在 p>0 时,|x+y|PM(|x|+|y|)P <|2x|p +| 2y|p = 2P(| x |p + |