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方差在解题中的应用初中代数中曾介绍过一组数据的方差,设。记,那么叫做这组数据的方差。运算变形后得:。灵活使用(当且仅当时取“=”号)实行解题,能够收到很好的效果。1. 巧用方差解题例1. 已知,求证:证明:令,则的平均数。方差整理得,即当且仅当,且,即时取“=”号。例2. 已知,求的值。分析:数的平均数方差整理得当且仅当时取“=”号。又知所以求得例3. 求满足方程的一切实数x,y的值。解:设数据的平均数为方差当且仅当时,此时小结:在构造不等式中,要设法使不等号的一边变成常数和注意等号成立的条件。2. 引伸,推广成定理定理:若,则证明:因为n个数的方差,化简得。当且仅当时,取“=”号。该定理反映了“n个数的平方和”与“n个数的和的平方”之间的内在联系。例4. 已知,求证证明:由定理知所以,即。当且仅当时取“=”号。例2. 已知,求证证明:由定理知,所以又知,所以,则所以当且仅当,即时取“=”号。例3. 设,且,求的最大值与最小值。解:由以上定理知(1)令则(2)又知,所以(3)(2),(3)代入(1)式得,所以可知的最大值为4,此时