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1、课后答案网www. khdaw. com黄昆固体物理习懸解存第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1已知一维单原子链，其中第丿个格波，在第“个格点引起的位移为，如“血（呼叫+ 6）, 6为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。(1)解：任意一个原子的位移是所冇格波引起的位移的舎加，即 "”=工如=S gj 鈕（呼 + na（Jj + S）JJ( / 、 S如S ":= S尤+S如刃; 山丁数口步常人的数届级，而且取正或取负儿率相等，因此上式得第2项与第i项 相比是一小量，可以忽略不计。所以疋二工或J山T如是时间/的周期性函数，其
2、长时间平均尊丁-个周期内的时间平均值为J/ a； sin(© + naq + adt课后答案网www. khdaw. com黄昆固体物理习懸解存课后答案网www. khdaw. com黄昆固体物理习懸解存已知较高温度卜的每个格波的能駅为KT.仏”的动能时间平均值为其中L是原子链的长度，°使质帚密度.为周期。所以每个原子的平均位移为a；4-naq + a.)Jt = pw；La；1° ° 1所以 T=-pwLcr = -KT nj 4 1 1 2 KT因此将此式代入（2）式有“爲二一冷pLo）；3. 2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a）,其2N
3、格波解，当M=m时与一维单原子链的结果对应.解：如上图所示，质量为M的原子位丁2nl,2n+l,2n+3质最为m的原子位于2n+2.2n+4 牛顿运动方程：加 =-0(2冷,-“2,出-“2小)M “2”* = 0(2仏"41 /勺”+2 A?")体系为N个原胞，则有2N个独立的方程 一人。3-<2/w)g_ 加眄(2卄1)唧方程解的形式：% -“3网-恥将冷，=皿畑叽卄=證脚虫”却呦代回到运动方程得到-into2 A = Pe,ai> + e-,a9 )B - 2pA = (20_"砂讪_(2处0$咖=0 | -Mcd2B = 0(严 + e,aQ
4、)A-2pB- (20 cos%) A + (20 - Me )B = 0若A、B有非冬的解，系数行列式满足：2/5-jhar -20cosag- 20 cosag 20-A畑'j q(7 + M) “ rt 4/Af 2 点 "二01±1 -川mmmMin + My两种不同的格波的色散关系：、aO + M) “ " 4uiM .羔 您二 01 + 1 一 -sitr ctq2mM(jn + M)、q (/+ Af) “ ri 4jhM . i 话、 述=0 1-1 -n<snr aqmM(7+MyX .壬一需5-云_第一布里渊区课后答案网www.
5、khdaw. com黄昆固休物理习題解答第-布里渊区允许q的数目亦丽以 对应-个q冇两支格波：一支声学波和支光学波。总的格波数口为2N。、2、丄当 M=m 时 "=0万l±l-snrag2"=(1±COS<7<7) ni两种色散关系如图所示sin上 在长波极限（q-O,入0）情况F：当qT）lJ -维氓原了晶格格波的色散关系-致。3. 3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c£k = l处的吨）大略地画出色散关系.此问题模拟如心这样的双原子分和10C令两种原子质量相同，且最近邻间距为2.求在R = 0和 。课后答案
6、网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答-j&Jt代入上式有10co,2M 器= 10C(©_ 匕)+C(u*_V,),.sKa 亠“一 t zI t isKa将 us =ue e ,VS = VeM 咕=C （10 + 小问）V 1 lCw, -MarV = C（ eika + 10） “ 11CV, 是u, v的线性齐次方程组,存在非零解的条件为 m/ iic,c（io+qm）*,=o,解出C（严+1O）,M”-11C11土J121 20（1 conKd）当K=0时,心 22C/M,宀0,当K=
7、74;血= 20C/M,a）： = 2C/M,M 2y4 一 22MC" + 20C:（l- conKci） = 0课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答”2与K的关系如卜图所示.这是一个双原子（例如品体。22C7M2M2C7M课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答zr<334考虑一个全同原子组成的平面方格子，用 知记第1行，第m列 的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为M,最近邻原子的力 常数为CocP JU m（a）证明运动方程为：M（乔"）=水叫+&quo
8、t;% %）+（/九却 + "g 一 2如”）（b）设解的形式为“5="（0）呵卩（心+ 心-曲）,这里a是最近邻原子间距，证明运动方程是可以满足的，如果 /M=242-cos（W）yos（RQ这就是色散关 ° 二戶 °lfm+l系。2龙(C)证明独立解存在的k空间区域是一个边长为万的正方形，这就是平方格子的第一布里渊区，构出"，而忍时，和h = 时的(d )对于 ka «1,证明=(肿/M)叫证明：(a)左方原子与它的相对位移为“s-他”I，右方匪子与它的相对位移为 "/,心一“5,上方原子与它的相对位移为%-叽卜方原子与
9、它的相对位移为 耳卄一"s，并考虑到力的方向性，得到上面平而格子的每个原子的力学方程为：(F比mM。(如却 - %) - 心-如)+c(“* - "a ) - cgm - g)所以原命题的证。=4亦 + 均5 一 2“/") + (/九却 +一 2“s)(b)根据题意，% = (0)expU(g +叫辺为平面格子原子的运动方程d讪mM ( d2 ) - 4("/伸 +2/ ”J 的解+(As*一 2仏)因为"s = “(°)exp佻 a + mkya - cot)所以可以得到“* 二"(°)exp/(/ +1)/
10、+ mkya- cot=“(°)exp/(/ - i)kxa + mkya -如* “I = "(°) expj(/&d + (m+l)kya -cot)= "(°)expj(/% + (m - l)kya - cot)将©®式代入¥i何格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系(这里代入过程从 略，请自己代入计算)：arM = 2c2 一 cos(kxa) 一 cos 伙、a)a a(«")和周期性边界条件4以得到JIvg(C)由色散关系劲“心cos伙Q-cos所以独立解存在的k a a
11、竺空间区域是一个边长为d的正方形。 当"且© = °时的血-R图，和 当k、= ky时的co-k 如右图所示。3.5已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为U(r) =_吻+ "其中 r r马德隆常数q=175, n=9,平均离子间距，o = 2.82 A e(1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率(2) 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与Nad红外吸收频率的测量 值61“进行比较。3.6计算一维单原子链的频率分布函数卩)解：设单原了链长度L=Na2兀.2;rNaq =xhq = 波欠取值Na 每个波矢的宽度状态密度2兀Na .dqdq间隔内的状态数
12、2龙，对应土q, 3収相同值p(co)dq - 2x 因此2龙课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答"二丝曲（竺）-维单原子锻色散关系，加 2e 二列 sin(半)课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答cost)=2 将ds（2汀J昨)依据 J 央f) = -2AqJ3 =,并带入上边结果冇J/(->)= V V 1(2町忆做q)| (2/r)32屮"®"）说严二启f（dco- ok cos()Jf7两边微分得到22'da)= ajjco
13、s( 代入到22. at .2 dcoda)=-Ja) - "dq.dq =f 2" JdT - ara Na 】f Na 2 dco 2xdq = 2x/2龙2” a J才 一 eo2/、2N 1频率分布两数g3. 7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有哄沪-術求证：八丽石T禅他-沙讼列；/（吩0如 解：co > o(jU j, 69-ojj = Aq2 >0/(&) = 0、0-0)= Aq2 => q = A3.8有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与尸。证明：在R到kdk间的独立振动
14、模式对应丁平面屮半径昇到“ +如间圆环的面积Inndn，且Inndn = kdk = kdk即p（0 = "de则In InInvj35 轴 hardco°活J。严订I+E。3s (你T)切 jcdx2龙叮方2 h ex-1tto时，Er,.-.cv =（）tr3. 9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F三久+«工«证明漏子谐振子的口由能为F = U + k辽1 hcof(-他J + Cn1-e切2 “X丿课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答经典极限意
15、味着（温度较高）k”g应用 e' =1- x+ x2 +.所以亠罟+因此尸三t/+工如叫+工5”q Z1一1+也7)申+5”M7 tlCD3.10设晶体中每个振子的零点振动能为2，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据最子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E。就是各振31r动模零点能Z和。Eo= n E0（G）g（co）d（E0（a）=-ti（o和&（劲二丄=妙代入积 Jo22;r 匕分有2VQ9Eq -3=亍収,由J力二R何得化=NkBOD16龙 88股品体徳井温度为10?K町见零点振动能是和当人的，苴最值町与温升数白度所需热能相比拟3. 11 一
16、维复式格子m = 5xl.67xl0-34,= 4,/? = 1.5xl01?/w (U|J1.51xmlQ4dyn/cm)9 求：00A(1) 光学波"w%®,声学波q®1.(2) 相应声子能量是多少电子伏。(3) 在300k时的平均声子数.(4) 与血相对应的电磁波波长在什么波段。ofmAX解(1),心20(M + m)Mm2x1.5x10*(4x5 + 5)x167xE如/叫6环0 导4x5x1.67 xl024x5xl.67xl0242fl_(2xl.5xl04如/如vV_ V5xl.67xl0245.99xl013r1课后答案网www. khdaw. c
17、om黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答方必e = 6.58x10'16x5.99x10135"1 =1.97 xlOeVmax(2)方=6.58xl0"16x6.70xl0135 = 4.41xlO"2eVmaxhaiL. = 6.58 xl0*16x 3.00 xlO13*1 = 3.95 xlOeV(3)= 0.873,唸二 0.221课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答卅口"276课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答课后答案网www. khdaw. com黄昆固休物理习題解答(4)A = $兀"=28.1/z/z?CO