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1、精品资料欢迎下载一、坐标系1、数轴它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定2、平面直角坐标系在平面上 ，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了 平面直角坐标系 。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对（ x,y）确定。3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了 空间直角坐标系 。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（ x,y,z）确定。二、平面直角坐标系的伸缩变换x'x, (0)定义：设 P（ x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变
2、换:的作用下，y'y(0).点 P（ x， y）对应到点 P（ x，y），称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三例题讲解例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1） 2x+3y=0 ；（2） x2+y 2=1三、极坐标系1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个 极坐标系。（其中 O称为极点，射线OX称为极轴。）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用表示线段OM 的长度，用表示从OX 到OM的角度，叫做
3、点M 的极径，叫做点M 的极角，有序数对（， ）就叫做 M 的极坐标。特别强调：由极径的意义可知 0; 当极角的取值范围是0,2)时 ,平面上的点 ( 除去极点 )就与极坐标（ ， ）建立一一对应的关系.们约定 ,极点的极坐标是极径=0, 极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当 0 时，点 M（ ， ）位于极角终边的反向延长线上，且 OM=。M（ ， ）也可以表示为(,2k)或 (,(2k1)(kz)4、数学应用例 1 写出下图中各点的极坐标A（ 4，0） B（ 2）C（） D（）E（）F（）G（）规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。变式
4、训练精品资料欢迎下载在极坐标系里描出下列各点A（3，0） B （6，2 ）C（3， ）D（5， 4）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5）2363例 2 在极坐标系中，（1）已知两点 P（ 5， 5）， Q) ，求线段 PQ的长度；4(1,4（2）已知 M的极坐标为（，）且=，R ，说明满足上述条件的点M 的位置。3变式训练1、若 ABC 的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5), C (3, 7 ), 判断三角形的形状 .2662、若 A 、 B 两点的极坐标为( 1 , 1 ), (2 , 2 ) 求 AB 的长以及AOB 的面积。（O 为极点）例 3 已知 Q（ ， ），分
5、别按下列条件求出点P 的极坐标。（ 1）P 是点 Q 关于极点 O 的对称点；（ 2）P 是点 Q 关于直线的对称点；2（ 3）P 是点 Q 关于极轴的对称点。变式训练1.在极坐标系中 ,与点 ( 8,) 关于极点对称的点的一个坐标是( )6A(8,), B (8,5),C( 8,5), D( 8,)66662 在极坐标系中，如果等边ABC 的两个顶点是 A(2,), B(2, 5), 求第三个顶点C 的坐标。44精品资料欢迎下载四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为( x, y)
6、 和(,) ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：xcos2x2y2yysint a n( x 0)x说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 0， 0 2。3 化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合 ;2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ;3. 两种坐标系的单位长度相同 .三、数学应用例 1（1）把点 M 的极坐标 (8, 2) 化成直角坐标；（2）把点 P 的直角坐标(6,2) 化成极坐标。3变式训练在极坐标系中, 已知 A( 2,), B(2,), 求 A,B 两点的距离66例 2 若以极点为原点 , 极轴
7、为 x 轴正半轴 , 建立直角坐标系 .(1)已知 A 的极坐标 (4, 5 ), 求它的直角坐标 ,3(2)已知点 B 和点 C的直角坐标为 ( 2, 2)和(0,15) 求它们的极坐标 . (0,0 2 )变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标( 限定 0,0 2) A(1,1), B(0, 2), C (3,4), D( 3, 4)精品资料欢迎下载例 3 在极坐标系中 , 已知两点A(6,), B(6, 2) . 求 A,B 中点的极坐标 .63变式训练在极坐标系中, 已知三点M (2,), N ( 2,0), P(2 3,) . 判断 M , N , P 三点是否在一条直线上.36五、
8、常用曲线的极坐标方程1、若直线 l 经过 M (0 , 0) 且极轴到此直线的角为，求直线 l 的极坐标方程。变式训练：直线l 经过 M (3,) 且该直线到极轴所成角为，求此直线 l 的极坐标方程。242、若圆心的坐标为M (0 , 0 ) ，圆的半径为 r ，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。3、 在圆心的极坐标为A( 4,0) ，半径为 4 的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。三、巩固与练习精品资料欢迎下载在极坐标系中，已知圆C 的圆心C(3,) ，半径r3 ，6（ 1）求圆 C的极坐标方程。（ 2）若 Q 点在圆 C上运动，P 在 OQ 的延长线上，且OQ
9、: OP3 : 2 ，求动点 P 的轨迹方程。1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为分析：建系P ，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数设点 列出等式e 的点的轨迹的极坐标方程。用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。 e 表示离心率，P 表示焦点到准线距离。2、例题讲解例 12003 年 10 月 15 17 日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为 200km 和 3
10、50km，然后进入距地面约 343km 的圆形轨道。若地球半径取 6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。例 2求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。变式训练设 P、 Q 是双曲线 x 2y21(0 a b) 上的两点，若OP OQ。a 2b 2求证：11为定值；22|OP | |OQ |精品资料欢迎下载三、巩固与练习已知抛物线 y24x 的焦点为 F 。1F为极点， x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；（ ）以（2）过取 F 作直线 l 交抛物线于A、 B 两点，若 |AB|16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角。基础
11、训练1直线cos()m(kz) 的斜率是k22极坐标方程162表示的曲线是sin3曲线sin2 和4 sin(0,02 ) 的交点坐标4在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线方程为（）A 、sin295椭圆54 cosB 、cos2C、cos4D 、cos4的长轴长二、讲解新课：例 1求曲线cos10 关于直线对称的曲线方程。4例 2求下列两曲线的交点坐标。1cos和12(1cos )例 3已知圆2 ，直线cos4 ，过极点作射线交圆于点A ，交直线于点B ，当射线以极点为中精品资料欢迎下载心转动时，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程。x 2y 21(a b 0) 上两点，若OAOB 。（ O 为原点）例 4已知 A、 B 为椭圆b2a 2（ 1）求证11为定值；22|OA|OB |（ 2）求AOB 面积的最值。