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1、凑角虽巧 , 换元更妙湖北省郧县第一中学（442500 ）郑传根在三角公式的应用中，有一类题型是给值求值, 这是三角中的一个重点题型, 其形式多样 ,变化多端 . 学生在解这类题时常常因为找不到恰当的方法而致错, 也因此而烦恼 . 本文旨在通过例题说明给值求值问题的不同解法， 感受凑角法之巧 , 体会换元法之妙 ! 供同学们学习或教师教学参考 .一. 公式法利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角函数值，是一种基础而常规的方法 .例 1 在 ABC 中，已知 cosA =5 ， sinB =3 ，则 cosC 的值为（A ）135A16B56C16或 56D16
2、6565656565解： C=(A+B) cosC =cos(A + B)又 A(0, ) sinA =12而 sinB =13A>B即 B 必为锐角 cosB =3显然 sinA > sinB5451235416cosC = cos(A + B) = sinAsinBcosAcosB =51356513例2已知 ,(0,2),cos4 ,cos()3 ,求 sin .55解 : 由(0,),cos4 得 sin3.255根据两角和的余弦公式与完全平方公式得4cos3sin3,解得 sin7555=,或 sin1.cos2sin21.25Q(0,),sin7 .225二. 凑角法当
3、所给角与待求值的角都较复杂时, 公式法要么很繁, 要么无法解答 , 这时用凑角法显得巧而有效 .精选文库例3已知 ,( 3,),sin()3 ,sin(4)12 .4513求sin( +).4解:Q ,(3,),(3 ,2 ),4( ,3).4224cos()4 ,cos()5 .5413sin()sin44=sin()cos()cos()sin()4435)41233=(513.51365显然 , 此例如果再用常规的方法, 会有不甚其繁的感觉, 因而不再使用常规法,而直接采用凑角法 .例4 已知 cos(- )=-1 ,( ,).sin(-)= 2,(0,).292232求cos( + )
4、的值 .解 :由(,),(0,)得2, -22.2244且 cos(2)1 ,sin()2 .sin()45 , cos(2)5 .923293cos2cos()()22cos() cos()sin()sin()75.222227cos()2 cos221239 .729三. 换元法当待求角与已知角的关系较隐蔽时, 你又会有凑角不便之感. 这时不妨用换元的方法来简化 .-2精选文库例5已知0< <3,cos()3 ,sin( 3)5 .4445413求 sin().解: 设- =, 3= 由条件知44,cos3 ,sin5 ,sin=- 4,cos12 .513513sin()si
5、n(3)cos()44(coscossinsin )56 .65显然，换元之后，凑角中的逆思考变成了顺思考和推理，降低了难度 .例 6 设 sin2=a,cos2=b,0<< , 给出 tan(+ )值的44四个答案 :(1)b;(2)a;(3) 1+b;(4) 1+a . 其中正确的序1a1-bab号是 _.解:令2 =, 则 =.sina,cosb.2sin()btan() tan()tan2221.42 41 cos()a21 cos(2)1 a或 tan() tan()tan22.42 4sin()b2所以答案为（1）（ 4） .-3精选文库例7 已知 tan 2tan26
6、.(1)求证 :5cos(- )7cos20;(2) 若tan=2, 求cos( - ).22解证 : (1)令,则2 ,22 .22tantan6,即 sin sin6coscos0.5cos()7cos225cos() 7cos()12coscos2sinsin0.(2)Q tan2,tan2,tan3.2cos() cos21tan21(3)24 .1tan21(3)25由此可见，虽然凑角可以很巧地解决求值问题，但换元更有化繁为简、化逆为顺的作用 . 在实际解题时采用那种方法要因人而宜、因题而宜 . 同时有两点要注意 :(1) 我们在体会使用凑角法、 换元法的同时 , 也不要忘记常规方法 . 如例 4 中的凑角易错 , 换元又不易想到 , 这时使用常规的方法也不失为一种好方法 .(2) 换元法的要领是 , 将已知条件中的角换元 , 再将待求值的角用新未知元来表示 , 然后用三角公式求解 .-4