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1、灰色预测模型Giyn,i)§ i预备知识平面上有数据序列 设回归直线为：n差平方和J = iyi i M的二元函数。由J=，2a i xI nj=、2 yi -aiXi -b L，b i ±奴i，Vi )(X2, V2广，(Xn，Vn 9，大致分布在一条直线上y=aX+b ,要使所有点到直线的距离之和最小(最小二乘)，即使误-aXi -b ) 最小。J是关丁 a, b yi -'ai Xi 'b Xi = 03.T =01- nZ (Xi V aXi2 bXi卜.y ai b =0则得使J取极小的必要条件为：=0n2A Xi . b' Xi - &#
2、39;i兰a、 X nb = VxiYi*)n'、Xi yi L Xi Va =2XiU Xi2 - '、V、 x： _、 b =-C以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际 观测数据Xi、yi去表示a与b,使得误差平方和J取最小值，即从近似方程2XiU X2Xi2XiViXiV2X2中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。ViXiV2X2Xn-Lb JiX1X2Xn则丫 = B左乘B T得注意到B B是二阶方阵，且其行歹0式不为零，故其逆阵 (B B)存在，所以上式左乘1(btb )得(2)式完全相同，下面把两种算法统=BT B 1一 BTY
3、可以具体验算按最小二乘法求得的结果(1)与(2)T：由最小二乘得结果：方程(*)a、X* 2 b t Xi = Xi Via' Xinb = V方程组改写为:V1X1令：BX2勾 Xi W Xi )广 YV' a BV 、X1X2Xn& XinJ<111 ,V】V2V2c?二bt ba?=所以a? = b以后,只要数据列= 1,2L,n伏致成直线，既有近似表达式y i = ax i bi =1,2，n当令:>11V 2X21a,B =-<VnXn1Y，a =<b J则有Y = B£(2)BT y（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求
4、出的回归直线y=ax+b的回归系数a与bo推广：多元线性回归设有m个变量xi,x2，xm ,每个自变量有n个值，因变量y有n个值如n个人,女生:1y1 =a + "1 +/21+ +bmxm12y2 = a * b1 x12 + b2 x22七、+bmxm2：J-nJn =a +bx1n + b2x2n+bmxmn、有m个指标。k x1 (体重)x2 （胸围）x3 （呼吸差）yk（肺活量）X- 公斤厘米厘米1x11 =35x21 =69x31 =0.716002x12 =40x22 =74x32 =2.526003x13 =40x23 =64x33 =2.021004x14 =42x
5、24 =74x34 =326505x15 =37x25 =72x35 =10124006x16 =45x26 =68x36 =10522007x17 =43x27 =78x37 =40327508x18 =37x28 =66x38 =216009x9 =44x29 =70x 39 =302275010x10 =42x20 =65x30 =32500(1)方程组（1）是n个方程m个数据xnx12xm1X12x 22xm2b1b2x1nx2nxmnqbm用X表示增广矩阵:n 行，m+1b2aTT,X Y = X Xab,t?,t?; JX JY =XJb1bm其中X T X为（m +1卜何+1 ）
6、阶矩阵。 由此可解出:a, b1, b2,bm意思是:如果线性关系成立注意:方程组中a, b1 , b2,，bm不知,y = a bx b?x2 , bmxm当a, b1 , b2，bm为多少时,y i到a +b1x1 +b2x2 + bm xm的距离之和为最小。或说，当所有yi到(a +b1x1 +b2x2 +bm xm )距离之和为最小时的a,b1,b2,，bm就是 我们要求的最佳系数。§ 2 GM模型前言为什么要讲GM1,1)模型？80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰 色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的
7、产生、理 论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统 理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理 论方面的供献，获得国家科技进步一等奖。什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作 黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。所以，“灰”的内涵不是很活楚。举个例子讲，已知某量的真值 x在闭 区问a, b上，不可能落在a, b之外，但具体落到区间a, b的什么位置则是完全不知 道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为 a, b,称其为区间灰
8、数。显然，区间灰数 是客观实际中存在的，除了知道真值 x在a, b上，而术在a, bZ外，不再有任何已知 信息，这就是灰量的最基本原型。由丁灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数 学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决 策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言,还在丁GM(1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM(1, 1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：原始数 据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用丁原始观测数据较少的预测问题， 由丁数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM
9、(1, 1)模型恰恰弥补了这个空白，由丁 GM(1, 1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM(1, 1) 仍然是决策者乐丁选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间 的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合 GM(1, 1)模型预测。§ 3 GM1, 1)预备知识3.1回忆一阶线性常系数微分方程dx ax = u dt其解为:u 顼 ux(0) -一 e -a其中a, u为给定的常数3.2在预备知识中，讲述了最小二乘法：若数据点
10、（Xi, y） i =1,2，n近似落在一条直线上，设这条直线为y= ax+b, a, b为参数。理想的直线要求：每个数据点（xi5 yi） i =1,2，n ,到该直线的距离平方和最小即最小二乘。用最小二乘法求出参数 a与b,这相当丁形式上的解线性方程组：yi = axi b i =1,2, , n当令%、父1、Vzx21，a'y =-，B =aa，a =lb Jn 1J则（3）化为Y = B9 , BTY =（BT B 罪_T J T,、. £ =（B B ） B Y（4）由此求出a'=3 ,可得回归直线<b Jy = ax + b（5）上述形式上的求解结果
11、，本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程，故有下面结论。结论：一组数据点（n个），且近似线性关系y i : ax i b则下述表达式可求出回归系数a与boP勺/ 、a丁-1t=(Bt B ) BtY : B =x21,Y =)2a3<xnbOn上述形式上的计算，本质是使点(Xi, yi)到直线y= ax+ b的距离平方和最小，即是最小 二乘法得来的结果。§ 4GM1 , 1)模型G表小Grey(灰),M表小Model。莫型)，前一个“ 1”表小一阶，后一个“1”表小一个 变量，GM(1, 1)则是一阶，一个变量的微分方程模型。给定等时间间隔的数据列，且设数据列单调：k, x(k
12、) = (1,X1), (2, X2) (n,Xn)k表示时刻，x(k)=Xk表示t= k时刻某量的观测值，不妨设Xk < Xy , k=1,2L,n-1, 将数据列记成：(0)/ 0000 ;X = X1, X2, X3 Xn /xU . atX (1)ea表示原始数据序列。比如:x(0) = 2.874 , 3.278 , 3.337 , 3.390 , 3.697 。对原始数据作一次累加生成：即令x" =£ x；0)(k =1,2，n)i注得一次累加生成数序列为：(1)/ (1)(1)(1);x = X , X2 , Xn ,在此，乂1)'=2.874,
13、 6.152, 9.489, 12.879, 16.558给定的原始数据序列«件已经是单增序列，经一次累加后生成的累加数序列具有更强 烈的单调性。我们知道指数序列是单调的，但是，单调序列却不一定是指数型的，不过强 烈的单调序列可近似看做是指数的，即可用指数型曲线进行弥合。如果用指数曲线来弥合 一次累加生成序列，那么，这条指数曲线一定是某个一阶线性常系数微分方程.(6)dx ax = udt的满足某个初始条件的一条积分曲线:(1)XX(1)(1)u_atx (1) 一一 e a其中a, u是待确定的未知参数，该微分方程中的导数.(1)J可用差商近似表示。dt(1)(1)(1)dxx k
14、 ： _t "jx k=lim dtJ0.: tAt为时间间隔，将时间间隔At看做是单位时间间隔，并且认为时间被充分细化 (秒, 毫秒。微秒,，事实上只要单位时间内函数的增量相对很小，这个单位时间间隔也可以是日，月，年等。)此时有.-x(1) k - 1 -x(1) kdt注意到一次累加生成数x(t)在时刻t= k+1与t= k时的差为:x k - 1 - x k )=x(0) k - 1而竺 是在k, k+1上某一点取值，既然是近似，索性将 虹的值取在点k+1,即 dtdt.(1)dx: x k 1 -x(1) k =x(0) k 1dt tn丁是，一阶线性常系数微分方程.(1)d
15、x(1) ax = udt可近似化为:x(0) k - 1 - ax(1) t :- u k 三t £k . 1注意到函数x(t)在区间k, k+1上取值，当以中值近似时有：x(1) t x(1) k l x(1) k -1 i2则微分方程近似转化为：x(0) k 1 :. a x(1) k - x(1) k 1- u这是一个关丁参数a与u的线性近似表达式。与数据点(xi, y )近似满足y i : ax i b比较知，按最小二乘原理，线性回归系数 a, b满足:其中B(1)1x2-1 x(1)2 x具体到上面给定的数据且用Xn= ：BTB 1 B替代Yn ,则上式化作:稻2)、&l
16、t;xHn V-1”)")21 /(1). j (1)j -(x2 十x 3 )2-(x (n 一1 )+ x(n )< 2一 4.5131-7.820-11 .184,-14 .71851 气1(03.278X Nx(0t3)3.33733.390(°b >(3.679111b由此看出，若原始数据有n个，则一次累加生成的数据有 n1个1计算B B4.5131、TJ 4.513-7.82-11.184-14 .7185 )-7.8201B B =!< 1111 J-11 .184114 .7181>/曰btb423 .243-38.236.T%013
17、417340.16553652=，(B B )=38.2364165536521.03296/曰N侍计算bt,T 工 T-0.03720(B B ) B X n = p.06536即 a= - 0.03720, u=3.06536这样，所求的微分方程模型为:(1)(10)dx(1)0.03720 x =3.06536dt其解为：x(1) k = x(0) 1圣e目凹- a a即解可表示为：x(1)(k +1 )=85.2665 e°'0372 k _ 82 .392535( 11)(11)式就是最后得到的预测模型，该模型称作GM(1,1)预测模型。由(11)式可求x(1)(6
18、),即为t = 6时的预测值，也可求x(7) , x(1)(8)等等。即用观测值x(虫检验由模型(11)算出的模型值N)。§ 5精度检验对丁任何预测模型，都要对模型的预测结果进行精度检验。GM(1, 1)有三种精度检验方式。1. 残差检验；2. 关联度检验(略)；3. 后验差检验。残差检验方法：1、 由预测模型计算x?(1)(k)k= 2,3,4,52、设实际数据为x(1) (k) k= 2,3,4,5注意到，模型是对一次累加数求的预测值，故还应该将一次累加的模型值演(k)还原成要求的数据。将模型计算数据？(1)(k)和实际数据x(1)(k)还原得(0) (1) (1) (1)? (
19、k) =xr (k) - ? (k -1) x (k) , k=2,3,4,5q(k) =实际值-模型值,误差，相对误差3、计算残差实际值-模型值 e k 实际值若max |e(k)£则认为预测模型good, 8为相对误差限是决策者按精度需求预先确定 k的阈值。后验差检验方法后验差检验是一种常用的基丁概率统计的基本检验方法。它以预测误差8为基础，根据31的大小，考察预测误差较小的点出现的概率，以及与预测误差的方差有关指标的大 小。第i级预测误差耳被定义为:其中mi为第i种观测数据，0为第i级预测值后验差检验所依据的数据有：(1).观测数据均值而与均方差&(标准差)1 N1 N
20、2m = £ mk , Si = JS (mk -mk )(1)N j. N ka其中N为观测数据的个数。(2).预测误差均值£与预测误差的均方差& (标准差)& = £ &k , S2 =(&k 一亏)(2)n n j其中n为预测数据的个数，一般n<N。(3).后验差比值C与小误差频率P定义为:C=里，p=P*k 一公 <0.6745 S1 S1对丁外推性好的预测来说，比值C必须小。因为C小说明S2小S1大，即预测误差离散 性小，而观测数据摆动幅值大即原始数据规律性差，而预测数据规律性较好。因此，一个 好的预测要求在&
21、#167;较大情况下S2尽可能的小。作为预测指标来说C越小越好，一般要求C<0.35,最大时 C< 0.65外推性好的预测的另一个指标是：“小误差频率P大”。小误差是指偏差| ；k 一 二 |： 0.6745 S1这是一个相对偏差，一般要求小误差频率 P>0.95,不得小丁 0.75,如下所示：P.C值表预测精度等级PC好>0.95<0.35合格>0.8<0.5勉强合格>0.7<0.65不合格< 0.7> 0.65练习算例例.某压力容器，因受腐蚀器壁变薄泄漏而失效。已知10台压力器器壁腐蚀量数据为:表210台容器壁腐蚀量被测器号
22、12345678910t=12.3382.2612.2862.3372.1842.2612.2862.3112.3112.235t=2(100h)2.3352.2112.2802.2772.1192.2232.2462.2802.2512.181t=3(200h)2.2822.1612.2342.2172.0532.1822.2022.2542.1912.127t=4(300h)2.2262.1112.2082.1591.9832.1442.1842.2362.1312.085t=5(400h)2.1842.0072.1842.1081.9302.1082.1342.2102.0832.032求工作1000h各容器器壁的可能厚度（最小壁厚为 1.322mm） 试用GM（1, 1）建模并做后验差检验（每人选一个容器）。Xn