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1、点集拓扑学期末考试一、单项选择题（每题1分）1、 已知X =a,b,c,d,e,下列集族中，（）是X上的拓扑. T =X,a, a, b, a,c,e T =X,*,a,b, c, a,b,d, a, b,c, e T =X,电a, a,b T = X,8,a, b, c, d, e 答案：2、设X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓扑. T =X,a, a,b, c T =X,0, a, a,b, a,c T =Xg,a, b, a,c T =X,*,a, b, c答案：3、 已知X =a,b,c,d,下列集族中，（）是乂上的拓扑. T =X,©,a, a,b, a,c
2、,d T = X,O,a,b,c, a,b,d T =X,Qa, b, a,c,d T =X ,Q a, b答案：4、设X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓扑. T =X,e,b, c, a,b T =X,e,a, b, a,b,a,c T =X3,a, b, a,c T =X,4,a, b, c答案：5、 已知X =a,b,c,d,下列集族中，（）是X上的拓扑. T =X,Qa,b, a,c,d T =X,4, a,b, a,c,d T =X,4,a, b, a,c,d T = X ,4,a, c, a,c答案：6、设X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓扑. T
3、=X,Qa, b, b,c T =X,P,a,b, b,c T =X,a, a,c T =X,。, a, b, c答案：7、已知 X =a,b,c,d,拓才卜 T =X,9a，则（b=（）4X bb,c,d答案：8、已知 X =a,b,c,d，拓扑 T =X,%a，则（b,c,d=（）162) Xbb,c,d答案：9、已知 X=a,b，拓扑 T =X,O,a，则0=()4Xab10、已知 X =a,b，拓扑 T =X,e,a，则(b=()4Xab11、已知 X =a,b,c,d，拓扑 T =Xg,a，则a=()4Xa,bb,c,d答案：12、已知 X =a,b,c,d，拓扑 T =X,*,a，
4、则6=()4Xa,cb,c,d答案：答案：答案：13、设X =a,b,c,d,拓扑T =X>,a, b,c,d，则X的既开乂闭的非空真子集个数(34 答案：14、设X =a,b,c,拓扑T =X,4,a, b,c，则X的既开乂闭的非空真子集的个数为(34 答案：15、设 X =a,b,c,拓扑T =X>,b, b,c，则X的既开乂闭的非空真子集的个数为0123 答案：16、设 X =a,b，拓扑 T=X,e,b，则X的既开乂闭的子集的个数为(0123 答案：17、设X =a,b，拓扑T =X0,a,b，则X的既开乂闭的子集的个数为(34 答案：18、设X=ab,，拓扑T =X,e,
5、a, b, a,b,b,c , X的既开乂闭的非空真子集个数()34 答案：19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q '是(R -Q R 答案：20、在实数空间中，有理数集Q的边界f(Q)是(R -Q答案：21、在实数空间中，整数集Z的内部Z '是(巾ZR-ZR答案：22、在实数空间中，整数集Z的边界己(Z)是()eZR-ZR答案：23、在实数空间中，区间巾 0,124、在实数空间中，区间e2,325、在实数空间中，区间e0,10,1)的边界是()(0,1)(0,1)2,3)的边界是()(2,3)(2,3)0,1)的内部是()(0,1)(0,1)答案：答案：答案：26、设X是一个
6、拓扑空间，A, B是X的子集，则下列关系中错误的是( d(A B) =d(A) d(B) d(AcB) =d(A)cd(B) A = A答案：27、 设X是一个拓扑空间，A, B是X的子集，则下列关系中正确的是( d(AuB) =d(A)ud(B) A-B 顼-B d(AcB) =d(A)cd(B) A = A答案：28、 设X是一个拓扑空间，A, B是X的子集，则下列关系中正确的是( d(AuB)=Ak/B A-B =A-B d(AcB) =d(A)cd(B) d(d(A) u Au d( A)答案：29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是( d(A)=- d(A)
7、 = X -A d(A) =A d(A) =X答案：30、已知X是一个平庸拓扑空间,若A = %则d(A)="若 A=(x1,x2),则 d(A) = XA是X的子集，则下列结论中不正确的是(若 AH%),则 d(A) = X -A若A#X ,则d(A)#X 答案：31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（若 A = 8,则 d（A）=* 若 A=Xq,则 d（A）=X 若 A= x1, x2,则 d（A） = X - A 若 A=x,x2,则 d（A） = A 答案：32、设 X =a,b,c,d，令 B = a,b,c, c, d，则由 B 产生的 X
8、上的拓扑是（） X J>, c, d, c, d, a, b, c X , *, c, d, c, d X, 8,c, a, b,c X ,。, d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、 设X是至少含有两个元素的集合，pw X , T =GuX | pwGu。是X的拓扑，WJ（ 是T的基. B = p,x）| x.X p B = x）| xX B = p,x）| xwX B =x| xwXp答案：34、设X=a,b,c,则下列X的拓扑中（）以S =X,如a为子基. X ,巾, a, a, c X ,。, a X , *, a, b, a, b X , 8 答案：35、离散
9、空间的任一子集为（）开集闭集即开乂闭非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为（）开集闭集即开乂闭非开非闭答案：37、实数空间R中的任一单点集是（）开集 闭集 既开乂闭 非开非闭 答案：38、实数空间R的子集A =1, - , 1 , 1,则A=（）4I39、在实数空间R AU 0A 答案：（SR中，下列集合是闭集的是（）整数集a,b）有理数集 无理数集40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z 有理数集无理数集整数集Z的补集Z'答案：41、已知X =1,2,3上的拓扑T =X,e,1，则点1的邻域个数是（42、 已知X = a, b,则X上的所有可能的拓扑有（）1个 2
10、个 3个 4个答案：43、已知X =a, b, c,则X上的含有4个元素的拓扑有（）个3579答案：44、设（X,T ）为拓扑空间，则下列叙述正确的为（）X £T, e毛T X毛T,。在T当T 'uT时，UU在T 当TVT时，nUT答案：45、 在实数下限拓扑空间R中，区间a,b）是（）开集 闭集 既是开集乂是闭集非开非闭答案：46、设X是一个拓扑空间，A, BuX ,且满足d（A）u Bu A,则8是（）开集 闭集 既是开集乂是闭集非开非闭答案：47、 设 X =123 , T二仲,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A =1,2,则 X 的子空间 A 的拓扑为（）
11、T =巾,2, 1,2 T =8,X,1,2, 1,2 T =*A,1,2 T =8,X,1,2答案：48、 设 X =123 , T=W,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A =1,3,则 X 的子空间 A 的拓扑为（） T =。1,3,1,3 T =©,A,1 T =0,X,1,3, 1,3 T =0,X,1答案：49、 设 X=®, T=0,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A =2,3，贝U X 的子空间 A 的拓扑为（） T =。,3,2,3 T =0,A,2,3 T =P,X,2,3,2,3 T =*,X,3答案：50、 设X=®, T
12、二仲,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A=1,则X的子空间A的拓扑为（） T =。,1 T =0,A,1,2 T =©,X,1,3, 1,3 T =©,X,1答案：51、 设 X =1,2,3, T=0,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A=2,则 X 的子空间 A 的拓扑为（） T =。,2, 1,2 T =*A T = ,X,1,2答案：52、设 X =1,2,3, T=P,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A=3,则 X 的子空间 A 的拓扑为() T =曹,2, 1,2 T = ,X, 1,3 T =0,X,3 T =曹,3答案：53、 设R是
13、实数空间,Z是整数集，贝U R的子空间Z的拓扑为() T =0,Z T =P(Z) T =Z T =Z答案：54、设X=X1xX2“kX6是拓扑空间X,X2，X6的积空间.P是X到X的投射，则R是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：55、设X=XxX2XxX6是拓扑空间X,X2，X6的积空间.R是X到X?的投射，M B是() 单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：56、设乂=乂1小2牛小6是拓扑空间X,X2，X6的积空间.R是X到X3的投射，则R是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：57、设X=XxX2XxX6是拓扑空间X,X2，X6的积空
14、间.P4是X到X4的投射，M巳是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：58、设X=XkX2KkX6是拓扑空间X,X2，X6的积空间.P5是X到X5的投射，则是是( )单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：59、设乂=乂1以2申小6是拓扑空间X1,X2，X6的积空间.F6是X到X6的投射，则P6是()单射连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：60、 设X1和X2是两个拓扑空间，XX2是它们的积空间,Au X，BUX2,则有() AB 孝 A-B AB =AB (AxBAAb' 时(AX B) = E(A)苗(B)答案：(261、有理数集Q是实数空
15、间R的一个()不连通子集连通子集答案：开集以上都不对62、整数集Z是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：63、无理数集是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集，若Y uz uV , 则Z为（）不连通子集连通子集闭集 开集答案：65、设Xi,X2是平庸空间，则积空间XX2是（）离散空间不一定是平庸空间平庸空间不连通空间答案：66、设Xi,X2是离散空间，则积空间XxX2是（）离散空间不一定是离散空间平庸空间连通空间答案：67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1xX2是（）离散空间不一定是连通空间平庸空间连通
16、空间答案：68、实数空间R中的连通子集E为（）开区间 闭区问 区问 以上都不对 答案：69、实数空间R中的不少丁两点的连通子集 E为（）开区间 闭区问 区问 以上都不对答案：70、 实数空间R中的连通子集E为（）开区间 闭区问 区问 区间或一点答案：71、下列叙述中正确的个数为（）（I ）单位圆周S1是连通的；（皿）R -0是连通的(m) R2 -(0,0)是连通的 (W) R2和R同胚12 34答案：二、填空题(每题1分)1、 设X=a,b,则X的平庸拓扑为 ; 答案：T =X,。2、 设X =a,b，则X的离散拓扑为; 答案：T =X,如a, b3、 同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ； 答案
17、：拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是.答案：R5、Xd(A)当且仅当对丁 x的每一邻域U有 答案：Uc(A x)#。6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)=; 答案：X7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，贝U A=; 答案：X8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)=; 答案：X9、 设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则 A=; 答案：X10、 设 X = 1 , 2 ,3X 的拓扑 T =X ， 2 , 2 ,则 X 的子集 A = 1 , 2的内部 为;答案：211、设X = 1 , 2 ,3X的拓扑T =X。, 1 , 2则X的子集A =
18、1 , 3的内部 为;答案：112、设X =1 , 2, 3X的拓扑T =X S , 1 , 2,则X的子集A = 1 , 2的内部为答案：113、设X = 1 , 2 ,3X的拓扑T =X由， 2 , 2 ,则X的子集A = 1 , 3的内部为;答案：14、 设X=a,b,c,则X的平庸拓扑为 ; 答案：T =X,。15、设X =a,b,c，则 X 的离散拓扑为 答案：T =XRa,b, c, a,b,a,c,b,c16、设 X =1, 2, 3X 的拓扑 T =X 4 ,2 ,3 , ,2 则 X 的子集 A = 1 , 3的内部为;答案：317、设 X =1 , 2, 3X 的拓扑 T
19、=X & , 1 ,3 , 1 则 X 的子集 A=1 , 2的内部为;答案：118、"XtY是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X) 的一个同胚，则称映射f是一个. 答案：嵌入19、"XtY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对丁映射f而言的商拓扑，则称f是一个；答案：商映射20、 设X,Y是两个拓扑空间，"XtY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f (U)是Y 中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射21、 设X,Y是两个拓扑空间，f :Xt Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f (
20、U)是Y 中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B ,使得Ac B=©, Au B = X,则X是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B ,使得Ac B=。Au B = X,则X是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X存在着一个既开乂闭的非空真子集，则 X是一个 答案：不连通空间25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZuX满足YuZuV ,则Z也是X的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是_个 ;答案：在连续映射下
21、保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ;答案：可商性质28、若任意nN1个拓扑空间Xi,X2，Xn,都具有性质 巳则积空间乂1*"% 也具有性质P，则性质P称为； 答案：有限可积性质29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集 A,B,使得AuB = X,则称X是一个 ;答案：不连通空间.三.判断(每题4分，判断1分，理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 () 答案:V理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:XTY是连续映射，因为对任意 AUY，都有f (RUX,由丁 X中
22、的任何一个子集都是开集，从而 L(A)是X中的开集，所以f :Xt Y 是连续的.2、设T1,T2是集合X的两个拓扑，则T1cT2不一定是集合X的拓扑()答案：X理由：因为(1) Ti,T2是X的拓扑，故XS Ti, X,卜T2,从而X,队T1CT2；(2)对任意的 A,Bw T1CT2,则有A,Bw Ti且A,Bw T2,由丁 Ti, T 2是X的拓扑，故AcBw Ti 且 AcBw T2,从而 AcBw T1CT2；(3 )对任意的T，仁cT2,则TT1,T V T2,由丁 T1, T2是X的拓扑，从而U典t，Uw, Uuwt'U 在 T2,故 UuWT'UW T1CT2；
23、综上有T1 CT2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射()答案：/理由：设f:XTY是任一满足条件的映射，由丁 Y是平庸空间，它中的开集只有Y,*,易知它 们在f下的原象分别是X,©,均为X中的开集，从而f：XTY连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，WJ d(A)i ()答案：/理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以 p是X的开子集，且有pq (A-p)=。，即p d( A),从而d(A) = e .5、设A为平庸空间X ( X多丁一点)的一个单点集，WJ d(A)=e()答案：X理由：设A=y,则对丁任意xX,x"
24、;y,x有唯一的一个邻域 X，且有yXc(A-x),从而 Xc(a-x)。，因此x是A的一个凝聚点，但对丁 y的唯一的邻域X,有xc(A-y) = ©,所 以有 d A =X - A=.6、 设A为平庸空间X的任何一个多丁两点的子集，WJ d(A)=X ()答案：V理由：对丁任意xX,因为A包含多丁一点，从而对丁 x的唯一的邻域X，且有XC(A-x)#、 因此x是A的一个凝聚点，即xE(A)，所以有d(A)=X.7、 设X是一个不连通空间，WJ X中存在两个非空的闭子集 A,B，使得Acb=O,AuB = X ()答案：V理由：设X是一个不连通空间，设 A,B是X的两个非空的隔离子集
25、使得AdB=X,显然AB = 0 ,并且这时有：白=百-X =(白-A) (B - B) = B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了 A,B满足A 一 B = , A _ B = X8、若拓扑空间X中存在一个既开乂闭的非空真子集，则 X是一个不连通空间() V 理由：这是因为若设A是X中的一个既开乂闭的非空真子集，令 B = A，贝U A,B都是X中的 非空闭子集，它们满足AuB = X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集，且Au B.试说明d(A)ud(B).答案：对丁任意xd(A),设
26、U是x的任何一个邻域，则有Uc(Ax)=*，由于Au B ,从而 U c(B x) U c(Ax)孝巾，因此 xd(B),故 d(A)ud(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:XTY, g:YTZ都是连续映射，试说明g"f:XTZ也是连 续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由丁 g:YZ是一个连续映射，从而g(W)是Y的一个开 集，由f:XTY是连续映射，故 "(gW(W)是X的一开集，因此(gof疽(W)= "(gM(W) 是X的开集，所以g，f :XT Z是连续映射.3、 设X是一个拓扑空间，AUX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：
27、对丁 WxA',则x宅A ,由丁 A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得Uc(A-x)=6, 因此Uca=1,即U UA',所以对任何x亡A', A是x的一个邻域，这说明 A是一个开集.4、 设X是一个拓扑空间，AUX.试说明：若A的补集A'是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x任A,则xWA',由丁 A'是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足 AcA = e,因此x任A ,从而A A ,即有A = A，这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：x y 仁 x, yW(-°°,1)或者 x,y 1,2)或者 x,
28、 y W2,E)设在这个等价关系下得到的商集 Y = 0,1,2，试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y,0,0,16、 在实数空间R中给定如下等价关系：x y u x, y 亡(°°,1或者 x, yw (1 , 2或者 x, y。(2, +皿)设在这个等价关系下得到的商集 Y = 1,2,3，试写出Y的商拓扑T答案：T = ,Y,3,2,37、在实数空间R中给定如下等价关系：x y = x, y 在(-°°,1)或者 x, y 在1,2)或者 x, y 2,e)设在这个等价关系下得到的商集 Y = -1,1,2，试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y
29、, -1, -1,18、在实数空间R中给定如下等价关系：x y = x, y w (-,1)或者 x, y w 1,2)或者 x, y w 2,e)设在这个等价关系下得到的商集 Y = -2,1,2，试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,Y, -2, -2,19、 在实数空间R中给定如下等价关系：x y仁x,y日(-叫,1或者x,尸(1,2或者x,y (2,+勺设在这个等价关系下得到的商集 Y =。,2,3，试写出Y的商拓扑T .答案：T = ,Y,3,2,310、在实数空间R中给定如下等价关系：x yu x,y W-8,1或者 x, y (1,2或者 x,yw (2,+x)设在这个等价关系下得
30、到的商集 Y =。,2,4，试写出Y的商拓扑T .答案：T = ,Y,4,2,411、在实数空间R中给定如下等价关系：x y= x,yw (-",1或者 x,尸(1,2 或者 x,y (2,+°°)设在这个等价关系下得到的商集 丫= -1,2,4,试写出Y的商拓扑T.答案：T = ,丫,4,2,4六、证明题(每题8分)1、设f ：X tY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.证明：如果f (X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X) =AuB 3分丁是 "(A), "(B)是X的非空子集
31、，并且：(f(A) - f ”(B) _.(f "(B)- f(A)_1_11_1,(f1(A)- f1(B) (f(B) - f(A)=f(A - B) (A - B)=所以 "(A), f(B) 是 X 的非空隔离子集 此外，f(g)f (= B) f ( A 方B,这说卧X0f连通X淅盾.X而f (X)是Y的一个连通子集 8分2、 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得Yu Au B,则或者Yu A,或者YUB.证明：因为A,B是X的开集，从而AcY,BcY是子空间Y的开集.乂因 YuAuB 中，故 Y =(AY)u(BcY) 4分由
32、丁 Y是X的连通子集，则AcY,BcY中必有一个是空集.若BcY=5，则Yu A ;若Acy =中，则 Y u B 8 分3、 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y u Ad B,则或者Yu A,或者Yu B .证明：因为A,B是X的闭集，从而ACY,BCY是子空间Y的闭集.乂因 YUAuB 中，故 Y =(AcY)u(BcY) 4分由丁 Y是X的连通子集，则Acy,BY中必有一个是空集.若BCY=C，则YUA ;若ACY =中，则 Y u B 8 分4、 设Y是拓扑空间X的一个连通子集,ZUX满足YUZU丫，则Z也是X的一个连通子集.证明：若Z是X的一个
33、不连通子集，则在 X中有非空的隔离子集 A,B使得Z = Au B .因此Y u AdB 3 分由丁 Y是连通的，所以Yu A或者Y u B ,如果Y u A ,由丁 Z u Y u A ,所以Zc Bu Ac B = 6 ,因此 B =ZcB=*,同理可证如果Yu B，则A =4均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通 子集. 8分5、设Y§ 简-是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果n 伺Y # 4则U佥Yf是X的 一个连通子集.证明：若U 苗?是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A, B使得U，、辛=2 B 4分任意选取x w n y 不失一般性，设x w a,对丁每一
34、个 整r，由于y连通，从而j，句丫汽a及b =© ,矛盾，所以U 丫寸丫了是连通的 8分6、 设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开乂闭的集合.证明：如果AcB#©, 则A B .证明：若B=X,则结论显然成立.下设B #X ,由于B是X的一个既开乂闭的集合，从而Ac B是X的子空间A的一个既开乂闭 的子集4分由丁 AcB。巾及A连通，所以AcB=A，故AuB. 8分7、设A是连通空间X的非空真子集.证明:A的边界 处)手*.证明：若£(A)=©,由丁己(A)=A-cA-,从而=A - A _ _ (A - A)-(A_. a) =(A- A) (A - A _),故A , Ar是X的隔离子集4分因为a是X的非空真子集，所以A和A均非空，丁是X不连通，与题设矛盾.所以讯A)#e. 8分