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1、一设/； g为连续可微函数，du dvu=g(x + v),求乔鬲解.，铁必"铁恥所以du dv “ v , , = Cy)s (X+jS 7) Ox ovdz（rX2 +才-y（p 丿，其中（P为可微函数解.原式两边对y求导.所以" = /（心”2）, X/二旗心0，1 =屮匕岔、求= 三设办.解.山上述表达式可知X, 2为自变量，所以四求下列方程所确定函数的全微分:1. f(x + yfy + zfz + x) = 0,求血2. 2 = f(xz9 2-说求血解.钦肌+害）“所汕WQ磴+川+訐。，所皿叶空如匕"-（齐+齐加+（人+办妙 所以卞 和dz2,铁川十
2、令"當所汕IFF|=z，vz，（|- 所以斜口所以討討警册d2z五.设？ = /（以九，,，+才），其中f具冇二阶连续偏导数，求去勿.解.式从皿灯+宀“ + 2曲03宀h）=/ sin y场】,H cosy + 2琥2“）+$" gs妙42x（&2七了 c°V + 2切2”）&匕"sin jccos x + 2eM（jrsin / + x cos）1 lrAxyf11+齐占 cos尹六.已知z =于（尤比”怎_尹），求Z和'，zj',z” 解.zj=ln 场'（xln”x-y）+ j7Oln”x-y）,= lnX/
3、u，hiy + /12，） + /12，ln+/22,二 01TrAyA皿"+丄2九rr+丄斤=y y72； = -A'y-y)-ny9x-y) y心沙如LpVS7xX八r 11z ii丄才丨i八 r i Jll 12 +，22 丿 1=7 yy亍2y = z = zg 七.设x + y + z +z = 0,由|电空卫+ b+z+/ = D确定，求旅血dy dz解.以上两式对x求导，得到关于必'靳的方程组1+空+空+ 22空=0dx dx dx_dy dzdz 八1 + 2y1-+ 3z =0u dx dxdx山克莱姆法则解得dy _ 2z - 3z2dz2y -1
4、dx14- 3z2 - 2/- Ayz dx 1 + 3z4 - 2/- 4yzZ = () + 八设XXd2z+ 2卩+/解.m昭申和評於护ZZ XX 7i XZ X Z XZ二 0二 0dxdy x x x x x xx x x x二 0二 0务八马+打ady xxx乱 _ 1 .1 mF = 7y 尹于是dx2+y2二 0二 0一工厂-_算矿二 0二 0A二 0二 0二 0九 设"/*-必卩（秒）,其中f（u, V）具有二阶连续偏导数，卩仗）二阶可导，求d2z解.矿询1”®+醐宀"（咖3）黄=2斑-/+就 2”0 + 用0+»"-齐 2+
5、吃 29+毗'讨 dxtfy=+矽0）尙一 2祐+（加一刃卩丁/+"（小仏z = z(u)9 且“ =0仗)+ I p(t)dt 十.已知°Z（U）可微，0（"）连续，且 0（U）H1=0=08x砂=0=08x砂去0）? +煎）害Q连续，试求9X 和5u |7 x 5u z v解.衬叫g巫-去(X) dx 1 - '(口)密=0 )密-刀0)和oy巫- pO) dy 1 一 0(口)=0=08x砂=0=08x砂刃O) ¥ + 去0)刍=PM2u)密 +p0)，血)字 oxdeqy1一0'(”)况眇©)p(y)1一0 (u
6、)2 = U（X J）产切空一空竺+2 = 0试确定常数使去和dx砂=0=08x砂解.空"严” +叫严V +吋捫P dxdy °尸+ aue+纵+ auectKyd2z dz dz+ Z所以族砂去 dyI G* .+ wv e + sue-zzftQUy£zX4V e于是a = 1.n-西+空=0十二若"g +y)满足去，其中f(u)冇连续的二阶导数，求Z-（/+畀）丿所以押対何了 .令X JX+b,得常微分方程/w+£±2 = oU于是（训=0"6）=5,八"）一匸，/（对二“血口 + 勺即 z = Cln Jf
7、 +y2 十巾的切半面方程所以12十三.求曲面工+2歹2 +=12的平行于平面x + 4y+ 3z = 02心_快_ 6% nr 一 r解.设切点为心，九，引.所求切面的法矢量为2勺，4九,6引. + 2? +3= 12代入曲面方程得：44 ，所y = ±2解得Xq = 1= 2,% = 1所求切面方程为 0-1) + 43-2) + 3(" 1) = 0,即工+ 4尹+ 3z-12 = 0 ；解得所求切面方程为(x + l)+4(y + 2) + 3(2 + l) = 0, gp x + 4y + 3z+12 = 0.十四.求圆周+於+' _3x = °
8、云- 3y +晁-4 = 0在处的切线与法平面方程.(G)在 Mgl)处|x2+z2 -3x= 0解.圆周- 3” +攵-4 = 030, &)3(Az) M2z5 |M = 16=m2z-32 M=98(F0_ 2x-38(2)2所以在丄1处圆周的方向矢量为16, 9, -1.所求切线:X-1 卩一1 21W = 9 = 9所求法平面：16(x-l) + 9O-l)_("l)= 0,艮卩 16x +V-z-24= 0十五.试求最小值.2 = x2一天y + x +尹在闭域0: x <0, <0及x+y N-3上的最大值与解.1-+X-2y-&一ax&am
9、p;¥ I= 2x-y + l = 0X x 二 0 时，z +» 3, 0,解得于（0厂3） = 6为最大-1 14为最小当 y二 o 时，"X +" 3, 0,解得/（-3,0）二6为最大z = 3x? +9x + 6 0, 一311""2233X = 2 = 当 2时z有最小值 4当入=0时n有最大值2 = 6卩/（。，一3） = 6当 = -3时N有垠大值2 = 6.即/（-加）=6综上所述：/（0厂3）二/（一30） = 6为最大值，/（一1,一1） = 一 1为最小值.十六.在椭球面/ 耳内作内接直角半行六面体，求其最大体
10、积.解.设直角半行六面体在第一卦限的顶点为（匚”刃.该题为V二8心z在条件（+ 匕| I）下的最大住值.令*（心儿乙刃“严+2卫h2 c2 .解方程组=XZ + 2A-=0=xy 4-2/1-刍-=0当XTa-OjTAO/T O任意一个成立时，都有/TO.所以，当边长为2z =r=有最大体枳Zabc十七 求原点到曲面刃2 -Z2 = 1的最短距离.解.设曲面上达到最短距离的点为（x, y, z）,则，二工+尸+,在条件d-莎-八1达到最小值.=2x + 22(x-/)= 0dxdF¥二 2-21(x-7)= 0= 2z = 0.dzill (3)若入二 1(1)(3)x + x-y
11、= U代入，得b x+y = O,解得"Oj=C.代入曲面方程0-刃2_”=1,得到ill (3)若几罡1由解得2 = 0由，得到"一儿代入曲面方程O-刃得到x2 = l72d22d = 所以所求的最短距离为722十八.当忆0时，求函数"二lnx+21ny + 31nz在球面 朮+/ +? = 6厂$上的垠大值，并证明对任意的成立不等式解.构造函数尸(心W久)x + 21ny + 31n2-；l(H +2 4-2 -6r2)F；=-2 = 0X=-2Ay=0/3=-22 = 0zt? +y2 +2 = 6尸$,解得 x =腐'y 亠乐 z = V3r因为在球面上当h +/趋于6乂兀趋于CT时，“趋于- co所以当x =賦卩=莎 z =岳时，"达到故大值.u = In r + 2In y(2r + 31n -J3r = In 6羽对于任意正实数o，E，c,令X二需J =侖,Z二広原题条件极值问题转化为肚=#(ln a + 21n+31n <r) 条件 a +6 + e = 6r2注总到a+b + g%6丿.于是w =ln yfahc3 <= Ina +6+&Y6丿66abc3 <l0a + b + c6