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1、第九节 自然数的性质教学目的：1、掌握第一、第二数学归纳法；2、掌握最小自然数原理；3、掌握并会应用抽屉原理.教学重点：应用最小自然数原理以及抽屉原理.教学课时：2课时教学过程1、归纳原理 设是的一个子集，满足条件：(1) ; (2) 如果，则. 那么.2、数学归纳法 设是关于自然数的一种性质或命题. 如果(1) 当时，成立；(2) 由成立必可推出成立，那么，对所有自然数都成立. 证明：设使成立的所有自然数所组成的集合是，则是的一个子集. 由条件(1) 知;由条件 (2)知若，则，那么. 3、最小自然数原理 设是的一个非空子集. 那么，必有，使得对所有，都有，即是中的最小自然数.4、第二数学归
2、纳法 设是关于自然数的一种性质或命题. 如果(1) 当时，成立；(2) 设，若对所有自然数，成立，必可推出成立，那么，对所有自然数都成立.5、抽屉原理 把件东西任意放入只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西.把件东西放入个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有+1件东西.无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西.例1、证明：若表示第个素数，则.证明：略.例2、在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大于. 证明：将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为的小正方形，则每个小正方形中任意两点间的距离不大于，据抽屉原理：5个点放入四个
3、正方形中，其中至少有一个正方形中至少有2个点，则这两个点间的距离不大于.例3、求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除.证明：因为任意一个整数被3除的余数只能是0、1、2，若任给的5个整数被3除的余数中0、1、2都出现，则余数为0、1、2的三个整数之和能被3整除.若5个数被3除的余数只出现0、1、2中的两个，则据抽屉原理知：必有3个整数的余数相同，而余数相同的3个数之和能被3整除.故任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除.例4、证明：在全世界所有人中任选六个人，其中一定有三个人，他们之间或者互相认识，或者互相不认识.证明：略.例5、平面上有1987个点，任取三个点中都有两点的距离小于1. 求证：存在半径为1的圆，它至少盖住994个点.证明：在所给的1987个点中任选一点，记为A，以A为圆心作一个半径为1的圆，若其余的1986个点都在圆A内，则结论成立.否则，在圆A外的点中任一点，记为B，以B为圆心作一个半径为1的圆，则除去A、B之外的其余1985个点必在圆A或圆B内，否则，至少存在一点C在圆A或圆B的外部，则A、B、C三点任两点间的距离均大于1，与条件矛盾，所以除去A、B之外的其余1985个点必在圆A或圆B内.据抽屉原理：必有一个圆内至少有个点，加上圆心共994个点. 知结论成立.6、小结7、作业