小学数学《等差数列》练习题(含答案).docx

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1、小学数学等差数列练习题（含答案）你还记得吗【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手, 多多贏得小印章！分析：以下答案仅供参考！（1）先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列 我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ,递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用型表示；末项：一个数列的最后一项，通常用爲表示，它也可表示数列的第n项.每个数列都有最 后一项吗？数

2、列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；和：一个数列的某些项的和，常用Sn来表示（3）三个重要的公式： 通项公式：末项二首项+（项数-DX公差an =ai+ （n _ 1） Xd回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同 学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入 手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：al-alt=（n-m）×cl, 项数公式：项数二（末项-首项）一公差+1 （其实此公式是由推导出来的，教师也可 以帮助同学推导，

3、可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到：n = （alt-al）÷d + （若 Ull ） ； n = （al-an）÷d + （若A a”）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ,分析：配组：（4、5、6）、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48),注意等差是 3 ,那么 每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48 有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组.

4、当然，我们还可以 有其他的配组方法. 求和公式；和=(首项+末项)X项数÷2sl,=(al+an)×n÷2对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：(思路 1) 1+2+3+98+99+100=(1 + IOo) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 +51)Viz>50-MoL= 101x50=5050(思路2)这道题目，我们还可以这样理解：和=1 + 2 + 3+ 4+ .+ 98+ 99+100 + 和二100+99 + 98+ 97+ .+ 3+2+12 倍和=101 + 101+101+101+101 + 101+101100

5、 即，和=(IOO+l)xl00j2=101x50=5050(4) 中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数譬如：(1) 4+8+12+.+32+36= (4+36) ×9÷2=20×9=180 ,题中的等差数列有 9 项, 中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20X9 ；(2) 65+63+61 + .+5+3+1= (1+65) ×33÷2=33X33= 1089 ,题中的等差数列有 33 项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33X

6、33.如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其 去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.譬如：计算：124. 68+324. 68+524. 68+724. 68+924. 68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524. 68,所以可以用5X524. 68=2623.4.等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点. 一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重 点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该

7、把原理讲透【复习2某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位问: 这个剧一共有多少个座位？分析：首项：70-(25-1)X2=22 ,座位总数：(22+70) × 25÷2=1150 .【复习3】小明从1月1日开始写大字。第一天写了 4个，以后每天比前一天多写相同数量 的大字，结果全月(总共31天)共写了 589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?分析：数列末项为：589x2÷31-4=34,所以公差为(344片30=1,小明每天比前一天多写1 个大字.【复习4】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖， 第2层6块砖，第3层1

8、0块砖，依次每层都比其上面一层多4 块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有 多少块?分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2, 6, 10, 14,-容易知道，是一个等差数 列。2106是第n= (2106-2) ÷4+l=527层，中间一层是第(527+1) ÷2=264层.那么中间 一层有：2+ (264-1) X 4=1054 块，这堆砖共有：1054X527=555458 (块)例题精讲【例 1】 计算：(1) 61+692+6993+69994+699995+6999996(2) 0 1+0. 2+0. 3+0. 9+0.10+0. ll

9、+ +O 98+0. 99分析：(1)原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000.4)=力力770-(9+8+7+6+5+4)=7777731(2)分析:仔细观察发现这串数并不是一个等差数列,但是我们可以分为0.1至09和010 至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.第一部分:0.1+0.2+0. 3+-+0.9=4.5；第二部分:0.10+0. ll + +O. 98+0. 99= (0.1+0. 99) X90÷2=49. 05；因此总和等于：49.05+4.5=53. 55 【巩固】(1)计算

10、：0.1+03+()5+07+09+0ll+013+015+017+097+().99(2)计算 72+793+7994+79995+799996=.分析：(1)原式=(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9) + (0.11+0.13+0.15+0.17+.+0.97+0.99) =(0.1+0.9) ×5÷2+ (0.11+0.99) ×45÷2=27.25.(2)原式=(80-8) +(800-7) + (8000-6) +(80000-5) + (800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850【例2】(04陈省身杯数学邀请

11、赛)44444计算：(10-一 ×l) + (9-一 ×2) + (8-一 X3)+(2- ×9) + (l-一 ×10) =55555555554分析：原式=(10+9+8+l)- × (1+2+3+10)4=55× 55=5155【例3】 计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+.+66+67+69+70；分析：可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+67+70和3+6+9+12+66+69,对 他们分别求和：(1+70) ×24÷2+ (3+69) ×23÷2=1680.

12、【例4】 (04走进美妙数学花园)如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边 三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条宜线上所标的数都顺次成等差 数列已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100, 200, 80()求所有结点上 数的总和.分析：如右下图，各结点上放置的数如图所示从100到300这条宜线上的各 数的平均数是200,平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所 以21个数的平均数是200,总和为200x21=4200.【例5】 在1200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?分析：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的

13、自然数和，将二者相加，但是 此时得到的不是题目需要的和，因为44, 88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44 整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.(4+8+12+-+200) + (11+22+33+-+198)-(44+88+132+176) = (4+200) ×50÷2+(ll+198) X18÷2-(44+176) ×4÷2=6541.【前铺】在1IOO这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 分析：我们先计算1100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9 整除的自然数和了.

14、l+2+100=(l+100)X100÷2=5050,9+18+27+99=(9+99)Xll÷2=594,所有不能被 9 整除的自然数和：5050-594=4456.如 果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1100的自然数 和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了.【前铺】100到200之间不能被3整除的数之和是多少？ 分析:考虑能被3整除的各数之和102+ 1 05 + - + 198 ;然后(100+101+102+-+200) (102+105+- + 198) =10200.【例6】 已知有一个数列：1、1、2、2、2

15、、2、3、3、3、3、3、3、4,试问：(1) 15是这样的数列中的第几个到第几个数？(2) 这个数列中第100个数是几？(3) 这个数列前100个数的和是多少？分析：分析可得下表：数：1234567-141516个数：246810 1214 283032(1) 2+4+6+-+28=210,所以 15 是第 211 个到 240 个(2) 在这个数列中前9组的个数是：2+4+6+ + 18二90个这个数列前10组的个数是：2+4+6+20=110而90 <100 (110,所以第IOo个数是第10组中数，是10(3) 这个数列中前 100 个数的和是：lX2+2X4+3X6+9X18+

16、10X10二670【例7】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少? 第2003个数是多少？分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8,偶数项的排列规律是：3、6、9、12,先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷ 2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第(2003+1) ÷2=1002个数，所以第2000 个数是3000,第2003个数是2004 .【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出IOOS IlK 120分别是数列中的第几项。 分析：前 100 项的和=(3÷

17、;150) ×50÷2÷ (2+100) ×50÷2=255×25=6375 , 100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项； Ill是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项； 同样，120是原数列的第80项和第119项.【例8】 观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是2,那么，第20行最左边的 数是几？第20行所有数字的和是多少？526137429Iel11121314151618192021222324 25分析:第20行最左边的数等于19a+l=362,该行共有(20a-19a)个数，(362+

18、400) ×39÷2=14559 【例9】 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行 了 78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？分析：我们假设有X个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”， 第一个选手要比FI场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同 剩下的十2个选手比赛x 2场，依此类推，总比赛场数就是数列1, 2, 3,，的和. 设有X个选手，列出方程：(l+x-l)×(x-l)÷2=78, X(X-I)=I56,比较求解得x=13.【巩固】某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴

19、会的每一个人，和其他参加宴会的每 一个人都只握-次手。参加寞会的一共有多少人？分析:经试验：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以一共有10人参加宴会.【例10】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候， 和是1997,但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？分析：用X表示小明少加的那个数,1997+X= (l+n) ×n÷2, (l+n) ×n=3994+2x,两个 相邻的自然数的积比3994大一些，因为(l+n) Xn和比较接近,可以先找3994附近的 平方数,最明显的要数3600=60X60,而后试算两个相邻自

20、然数的乘积61X62=3782, 62× 63=3906, 63X64=4032,所以 n=63,正确的和是 2016,少加的数为：2016-1997=19.【例11】求一个自然数n,使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、 十位、百位三个数码都相同。分析:设前n个自然数的和等于Illa,其中a是不大于9的自然数，则有n Cn ÷ D- = 3×37×a.当a=6时，上式化为n (n+l) =36X37,比较知n=36.附加题目【附 1】计算：2000X1999-1999× 1998+1998× 1997-1997

21、15; 1996+-+4X3-3×2+2× 1.分析：原式二 1999 X (2000-1998)+1997 X (1998-1996)+3 X (4-2)+2 Xl=1999 X 姑1997 X 姑+3 × 2+2X1=2×(1999+1997+3+l)=2000000.【附2】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球 后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里 第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多 少只乒乓球？分析:一只球变成3只球,实际上多了

22、2只球.第一次多了 2只球,第二次多了 2X2只球 第十次多了 2X10只球。因此拿了十次后，多了2×l+2×2+-+2×10=2× (1+2+- + 10)=2X55=110 (只)加上原有的3只球，盒子里共有球110+3 = 113 (只)【附3】李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子; 再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子.照此规律最后走到B处共放下石 子35枚，从A点到B点的路程是多少米？分析：N=(35-l)÷2÷l=18,末项=l+3× (18-1) =52,和=(1+

23、52) ×18÷2=477 (米)【附4】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多少 种取法？分析：要使和为3位数，假设一个数为n,则另一个数必须大于100-n,同时为了防止取垂 复(比如已经取了 50, 51又取51, 50),我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一 个数列.10有9099, 10种取法；11有8999, 11种取法；49有5199, 49种取法；50有5199 , 49种取法；51有5299 , 48种取法；;98有99,1种取 法.(10+11+12+-+49) + (49+48+47+2+l) = (10+49)

24、×40÷2+(l+49) X49÷2=2405,对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法【附5】有一列数：h 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37,问这列数第10()1个数是多少？分析：从題目中可以看出第二个数与第一个数差1,第三个数与第二个数相差2,第四个数 与第三个数相差3,依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1,因此有以 下规律：第1个数：1=1,第2个数：2=1+1,第 3 个数：4=2+2=1+1+2,第 4 个数：7=3+4=1+1+2+3,第 5 个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,第 6 个数：

25、16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5, 第 n 个数：1+1+2+3+4+5+ (n-l).第 IoOl 个数为：l+l+2+3+4+5+ (IoOl-I) =1+1+2+3+4+5+.+1000=1+500 500=5005001【附6】(04走进美妙数学花园)黑板上写有从1开始的一些连续奇数：19 3, 5f 7, 9, 擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008,那么擦去的奇数是分析：l,3,5,7,.,(2n-1),这n个奇数之和等于n2,452= 2025,擦去的奇数是2025-2008=17.【附7】(希望杯数学邀请赛)观察下面的序号和等式，填括号

26、序号等式11+2+3=633+5+7=1555+8+II=2477+11+15=33)()+()+7983=(分析：可以这样想：(1)表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)(2)表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在 的位置，即各自的项数.第一个括号:(7983-3) ÷4+l=1996 , 1+ (1996-1) X2=3991 ；第二个括号：1+ (1996-1) ×2=3991 ；第三个括号：根据等差数列通项公式：2÷ (1996-1) X3=5987或39

27、91+1996=5987 :第四个括号：根据等差数列通项公式：6+ (1996-1) × 9=17961或3991+5987+7983=17961.练习六1. 2+4+8+10+14+16+20+22+.+92+94+98+10()；分析：拆分为 2÷8+14+20+.+92+98 和 4+10+16+22+.+94+100： (2+98)×17÷2+(4+100)× 17÷2=1734.2 (05我爱数学夏令营)小于IOoO的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少? 分析：能被 3 整除的数和为：3÷6+9+.+9

28、99= (3+999)×333 ÷2=166 833,即能被3整除，又能被5整除的数的和：15+30+45+.+99O= (15+990)×66÷2=33 165, 小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和:166 833-33 165=133 668.3. 将自然数按下面的形式排列12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？分析:第10行最左边的数是82,最右边的数是100,第10行所有数的和(82+100

29、) X19 ÷2=1729.4. 右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，那么最上 层有多少只铅笔？分析：每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为1 :设最上面一层的 铅笔数为心 那么共有铅笔x(x+l)÷2=210, x(x+l)=420,比较求解可得x=20.5. 用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了 10层，那么最下面一层有多少 个立方体？分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10, 9, 8,，1.所以最底 层立方体数目为:(10+l)×10÷2=55.要学会正确的读图.6. 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888,但 她重复计算了其中一个数字问：木木重复计算了哪个数字？分析：用X表示小明多加的那个888-X= (l+n) ×n÷2, (l+n) ×n=1776-2x , 两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=40× 40=1600,试算:40X41=1640, 41 ×42=1722, 42×43=1806,所以 n=41,所以 X= (1776-41×42) ÷2=27 .