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1、反射变换教学目标】一、知识与技能：掌握反射变换的几何意义，从几何上理解二阶矩阵对应的变换是线性变换， 并会证明二阶矩阵对应的变换是将直线变成直线或点二、过程与方法：探究讲授法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系教学重难点】变换的理论探究教学过程】、问题探究一：一个二阶矩阵对应一个变换，通过方程组表示写成矩阵表示 写出下列几何意义中对应的坐标，并将此变换用矩阵表示，指出其变换矩阵 点 P（x ，y）1）关于原点的对称点P（-x ，-y） ，yx yx/ =xy = 010x1y，变换矩阵 012）关于 x 轴的对称点xx/x10x10P（x，-y） ， xy xy/=y=01y，变换矩阵01x
2、 x/ x 1 / = =y y/ = y = 001xy，变换矩阵 013）关于 y 轴的对称点说明以上变换是将平面图形关于直线或定点对称，称反射变换，相应的矩阵称反射矩阵， 定直线称反射轴，顶点称反射中心10思考 1：关于直线 y=x 及 y=-x 的反射矩阵分别是什么？（ 10 100 110思考 2：关于这些特殊直线或原点反射矩阵有什么规律？（一个对角线上的元素为0，另一个为或 -1 ）例1求直线 y=4x在 01 10变换下得到的方程，并说明二者的几何关系解：设 （x0 ，4x0） 为直线 y=4x 上任意一点，经过 10 10 变换后得到点 （x，y） ，则根据：x0y=11 x0
3、 =0 4x0 = x04x0 ，于是x 4x0，消去 x0 得， x=4y，几何关系： y x0关于直线 y=x对称练习 1：求 y= x 在 10 10 变换作用下的方程。一般的， f（x，y)=0 在 01作用下的方程是什么？（x= y ，f（y ，x）=0 ）练习 2：若 y=x2（x 0） 在反射矩阵 M作用下得到 y=x2（x 0），求反射矩阵M ( 01 01 )01、探究二：二阶非零矩阵对应的变换下，点的共线性质有无变化？一般地，对于向量a、b ，在二阶非零矩阵 M作用下，线性性质是否变化？即： M（ 1a 2b）= 1Ma+2Mb是否成立？设 P1(x 1，y1) ，P2（x
4、2，y2），P为其上一点， P（x，y） ，设P1P = PP2 ，则x1x2x1， y1 y2 ， y1在二阶非零矩阵 ca c作用下，点 P1P2P的分别为 （x 1，y1），（x 2，y2），（x ，y） 则/xk/axk byk ykcxk dyk(ax1 by1) (ax2 by2 )/x1x211(cx1 dy1) (cx2 dy2)/ y1y211x/ = a b x = ax by = y/ = c d y = cx dy =P x1/ x2/ , y1/y2/P 1 1，于是P1/ P /PP2/ ，P1、P2、P共线，这说明点的共线性质不变。同理，可以验证 M（ 1a 2b
5、）= 1Ma+2Mb成立这样原来是一次式，结果是一次式或常数，而一次式方程对应于一条直线，以上说明：在 一个二阶非零矩阵作用下， 直线变仍然变为直线或点， 其中把直线变为直线的变换称线性变换。例2：二阶矩阵 M将点（1 ，-1） 、 （-2 ，1）分别变为（5，7）、（-3 ，6），1）求矩阵 M （2）求直线 L：x-y=4 在此变换下所变成的直线 L/ 的方程解答（ 1）13202)11x-3y-68=0 )三、问题探究三：关于直线 L： y=kx 的投射变换矩阵是什么？ 解答：设点P（x，y）关于L：y=kx的对称点为 P（x，y） ，直线L的倾斜角为，设|OP|=|OP/|=r ， 射
6、线 OX到 OP 的角为 ，则 x=rcos ，y=rsin ，tan =kx/=rcos(2- )=rcos2 cos +rsin2sin1 k 2 2k=11 kk2 x+12kk2y/=rsin(2- )=rsin2cos-rcos2sin2k =2 x-1 k 21 k21 k 2y，变换矩阵为21 k 22k2k1 k 21 k21 k2四、作业： 补充习题 21椭圆 (x-2) 2+(y 4) =1在矩阵14001 作用下的方程为 2圆 （x-3）2+（y+6）2=4 在矩阵 M所对应的变换下变为 （x+3） 2+（y-6） 2=4，则矩阵 M=，它属于 矩阵3曲线 f（x ，y）=0 在矩阵100 作用下得到的曲线方程与原方程的几何关系为4ABC在矩阵 M对应的旋转变换作用下得到 A/ B/ C/ ，已知 A（0，0），B（1， 3 ） ，C（0，2）， A/（0，0），B/（-1， 3），C（- 3 ，1） ，求矩阵 M5设 L 为过原点的直线，射线 OX到直线 L 的角为 300，求以直线 L 为反射轴的反射矩阵 A，并求点 P（-2 ， 6）在作用下的点的坐标 补充习题答案 21（x+2） 2+（y 4） =14201013关于 x 轴对称134 2 24 3 1 22135A= 23 21 ，P/(-1+3 3 ，-3- 3)22 情况反馈