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1、圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形 和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当0 ： e ： 1时，动点 P的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P的轨迹是双 曲线；若e = 0，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动 点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线
2、的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，2 2= 1（a b 0）按向量（a,0）平移如图1，将椭圆令占a b2 2得到吟2=1a b.2 2b 2.2 2b b 2 -yx 2 xab2 2yx xa a椭圆的半通径| F1M.2.2bb21 P ，2 =1 eaa椭圆的方程可写成 y2 = 2 px （e21）x2（0 : e：1）22类似的，如图2,将双曲线 笃-占=1（a 0,b 0）按向量（-a,0）平移得到(x a)2 匸2, 21aba b双曲线的半通径岭亠1ab2IF2M2L a双曲线方程可写成y2 =2px (
3、e2 -1)x2 (e 1)对于抛物线y2 =2px(x . 0) P为半通径，离心率e = 1，它也可写成对于圆心在(P, 0),半径为P的圆，其方程为(x-p)2 + y2 = p2，它也可写成 y2 =2px (e -1)x2 (e = 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2px (e2 -1)x2，其中P是曲 线的半通径长，当e = 0, 0 . e： 1，e=1,e 1时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程y2 =2px (e2 -1)x2所表示的四种圆锥曲线，如图3, 设P、B、A、C分别是圆的
4、圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一 记为 y2 =2px - (e2 -1)x2 的焦点 Fc2 - a2 a(e2 -1) P则有 OC 二c -a(e 1)a +ce + 1e + 1p pa2_c2 a(1_e2)pOA(e=1)， OB=ac(0 ：e：1)2 e+1a+ce 十1e+1即方程y2 =2px (e2 -1)x2所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为F(,0)，设焦e + 1点F相应的准线为x二m，则有OF =e。-m准线L为x=m ，对于圆e = 0表示准线L在无限远处，设点M(x°,y°)为 e(e+1)曲线y2 = 2 px ( e
5、-1) x上在y轴右侧的动点，则点M对焦点F的焦半径p| mF | 二 e(x0 _m) = ee+1圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来， 从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。圆锥曲线中的数学思想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到 的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法， 帮助我们解决问题。思想方法一：分类讨论思想例1.给定抛物线y =2x设A(a,0) (a R ) , P是抛物线上的一点，且|P
6、A|=d , 试求d的最小值。解：设 P(xo,yo)(x 一 0)，则 yo =2xo d =| PA|= .(X。-a) (x1 x2) -4XX2 =x1x2 2(x1 x2) 4得 4(2 p)2 -16 =4 4(2 p) 4 化简为 p2 3p -4 =0解得P =1满足二j或p 4 (舍去)故所求的抛物线方程为y2=2x y。2 =、(冷-a)2 2xo 二、x (1-a)2 2a-1又 a R , x0 _ 0 ( 1) 当 0 ： a ： 1 时，1-a 0 ,此时有 x0 = 0(2)当a _1时，此时有沧二a-1评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去绝对值符号、大
7、小关系不等 式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。思想方法二：转化思想例2已知过点A ( 2, 4)且斜率为1的直线L交抛物线y2 =2px(p 0)于B C两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。解：直线L的方程为y = x2设B ( x!, y1)， C(x2, y2)由 yX2 得x2 -2(2 p)x 4 = 0y =2px为 x2 二 2(2 p)XjX2 二 4v |AB|、|BC|、|CA|成等比数列匹| |CA|AB|BC|过A作直线l / x轴，设B、C在上的射影分别是B，C则 |BC_| _|BC | _X2 _捲|CA| _ |CA| _ X
8、2 2、| AB | | AB |x, 2| BC | | B A | x2 - 为 X2 生=即(X2 - xj2 =任 2)(X2 2)x22 x2 _ x(评注：如何将“ |AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为 A B、C三点坐 标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了 “投影”方法将这一条件转化为在水平线 上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。思想方法三：化归思想例3直线L： y=kx1与双曲线C: 2x2_y2=1的右支交于不同的两点 A B。（1）求实数k的取值范围。（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。解：（1）将直线L的方程y
9、二kx 1代入双曲线C的方程2x2 - y2 =1，得（k2 -2）x2 2kx 2 = 0依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点k2 -2 式 0=(2k)2 -8(k2 -2) 0= -2 k< - 22kc2门-2>0,>0j k-2 k -22）设A B两点的坐标分别为（人，力）&2, y2）x1x2字 k 2AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F （c，0）则贝U由可得 xi x2，2 - k假设存在实数k，使得以线段由 FAX FB得（捲-c）（x2 -c） %y2 =0整理得：(k2 1床必2 (k -c)(X1 X2) c2 1 = 0把式及代入式化
10、简得：5k2 2.6k-6 =02k66 或66 （2,-方）（舍去）55 k = -66使得以AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F。5评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。应在解题时注 意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。思想方法四：数形结合思想例 4 函数 y = Jx4 _3x2 _6x+13 _ Jx4 _x2 +1 的最大值是。分析：原式=(x3)2 (x2 一2)2 一 ；x2 (x2 一1)2，其几何模型是定曲线y = x2上的动点p(x, y)到两定点A (3, 2), B (0, 1)的距离之差，要求其最大值。y =|AP|PB|AB|.(3-
11、0)2 (2一1)210评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体 化，复杂问题简单化。思想方法五：函数与方程思想例5斜率为2的直线与等轴双曲线x2 - y2 =12相交于两点P, P2，求线段RF2中点 的轨迹方程。解：设直线方程为y = 2x m代入双曲线方程得3x2 4mx m2 10直线与双曲线相交于R,P2丄=(4m)2 -4 3 (m2 12) 0 m 6 或 m 6设P,P2的坐标为(X1,yJ 化匚?)，线段RP2中点为(x,y)则x = -m且x4或x 4 m=3x 代入直线方程得：2321所求轨迹方程为y二-x ( x 4或x ”-4)2思想方法
12、六：构造思想2 2例6已知x,y满足 -1，求y -3x的取值范围。1625解：令 y - 3x =b，则 y = 3x b2 2原问题转化为：在椭圆x -1相切时，有最大截距与最小截距1625y =3x b由 x2 y2消去 y 得 169x2 96bx 16x2 -400 二 0116 25由尺-0得13 y =3x的取值范围为13, 13评注：应用构造思想解题的关键有要有明确方向，即为何构造要弄清条件的 本质特点，以便进行逻辑组合思想方法七：对称思想2 2例7在直线L: x _ y _9 =0上任取一点M过M且以椭圆 -1的焦点为焦点123作椭圆。问M在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出
13、其方程。2 2解：T y 1的两焦点Fi(-3,0), F2(3,0) , Fi是Fi关于L的对称点123又F1F1 的直线方程为x y3 = 0与x y9=0联立，求得 斤(-9,6)，这时F；F2的方程为x 2y 一3 =0x 2y _3 =0x-y 9=0得M =（乃,4）这时 2a =| R F2| = 6、52 2椭圆方程为y 14536评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使 分散的条件相对集中，促成问题的解决。思想方法八：参数思想例8在椭圆x2 4y2 =4x上，求使z =x2-y2取得最大值和最小值的点P的坐标2 2解：将已知方程转化为心2L =1
14、41设椭圆上动点P为(2 2cos sin力222224 21二 z = x - y = (2 2cos 二)-sin- 5cos)8cos 二 3 二 5(cos -)-554 2 32 31当 COS 八-，即点 P 坐标为(-,-)或(_,-_)时，Zmin - -5 5 55 55当cost T，即点P坐标为(4，0)时，zmax =16评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，弓I入参数 往往能减少变元，避免繁琐的运算。总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程 中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理，在平时练习或考试中加以 应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上。