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1、第三章 一元函数积分学一. 各类积分共有的计算（包括不定积分、定积分、广义积分,三者共有的积分方法）1. 直接利用基本积分表（对于定积分与广义积分，还得用牛顿-莱布尼兹公式）11-18. . 【11-18. ，注意前一积分为零的依据是“对称区间上奇函数的积分为零”】11-16. _. 【11-16. 】11-7. A. B. C. D. 【11-7、A】11-6. A. B. C. D. 【11-6、B】10-19. .【10-19. 】10-5. A. B. C. D. 【10-5、A】09-17. _.【09-17. 】09-5. A. B. C. D. 【09-5、A】08-16. _.
2、【08-16. 】08-6. A. B. C. D. 【08-6. A】07-16. _.【07-16. 】06-17. _ .【06-17. (写成不扣分) . 】06-6. A. B. C. D. 【06-6. C】05-16. =_.【05-16. 】05-6. 等于A. B. C. D. 【05-6. B】05-5. 等于A. B. C. D. 【05-5.D】04-24. 计算广义积分.【04-24. 或者】03-22. 设函数,求.(先通过换元法得到，然后积分) 【03-22.由,得 ,故】02-4. 下列不定积分计算正确的是 A. B. C. D. 【02-4. D】00-13.
3、=_.【00-13. 】2. 凑微分法（即凑积分变量法,或进行二次积分）要点：通常被积函数可拆成两个函数相乘（相除时也转化为乘法）(1) 一种做法是把简单的那个函数凑到微分号下，如果和复杂函数的基本成份对上号，就把把它视为新变量，使积分大大化简。(2) 另一种做法是把复杂函数的基本成份求导,如果能和那个简单函数对上号，就把它视为新变量，使积分大大化简。11-23. 计算. 【11-23. 】10-23.计算. 【10-23. 】10-18. .【10-18.】10-17. _.【10-17. . 】09-23. 计算. 【09-23. =】09-19. .【09-19.】09-18. _.【0
4、9-18. . 】08-23. 计算.【08-23. 】07-23. 计算.【07-23. =】06-23. 计算.【06-23. 】06-19. .【06-19.】06-5. A. B. C. D. 【06-5. C】05-23. 计算.【05-23. 】05-18. =_.【05-18. . 】04-12. 定积分= _.【04-12. 】03-23. 计算【03-23. 】02-18. 计算.【02-18. =】02-13. 不定积分=_.【02-13. 】01-21. 计算.【01-21. 】01-12. 广义积分= _.【01-12. 】01-11. 不定积分=_. 【01-11.
5、】00-11.不定积分=_.【00-11. 由于】样题-24. 计算.【样题-24. 】3. 分部积分法要点：分部积分公式 （不定积分） （定积分）（广义积分）09-24. 计算【09-24.= 】06-24. 计算.【06-24. =】05-24. 计算.【05-24. 】04-23. 计算.【04-23. 】03-24. 计算.【03-24. 】01-20.计算.【01-20. 】00-21 计算 .【00-21 】4. 换元法（对于不定积分执行两步曲; 对于定积分执行三步曲，上下限必须更换）(1) 简单型.10-24. 计算【10-24. 设,则, 当时,; 当时,. 则】02-19.
6、计算.【02-19. 解法1设,则,故 =解法2 =】01-24.计算.【01-24. 令，积分上下限调整如下：当时，当时，. 】(2) *三角代换法（这几年未出过此类题目）.(3) 换元证明法07-27. 设为连续函数，试证：.【07-27. 令，则，当时, 当时,左端 = 右端】04-28. 设函数在上连续，证明.【04-28. 】5. 添辅助项, 利用代数或三角公式变形后积分07-18. .（展开后每项都是幂函数，逐项积分之）【07-18.】05-23. 计算.(展开后每项都是幂函数，逐项积分之）(也可用凑微分方法)【05-23. 解1. .解2. 】注：两种解法的答案粗看似乎不一样，其
7、实把笫一解法答案的前一项展开后与笫二答案比较，只相差1/6，可以拼入于任意常数C中，故两种答案是相同的.04-22. 计算.(添辅助项)【04-22. 】03-22. 设函数,求.(先在前式中令,得,更名后,然后积分)【03-22. 由,得 ,故】01-27. 设 (为正整数),证明.(利用三角公式)【 】00-23. 计算 .(添辅助项)【00-23. 解1. .解2. .】00-22. 计算 .(利用三角公式)【00-22. 】6. 广义积分.10-19. .【10-19. 】04-24. 计算广义积分.【04-24. 】01-12. 广义积分= _.【01-12. 】00-13.=_.【
8、00-13. 】二. 定积分特有的积分计算1. 对称区间上奇函数积分为零（仅适用于定积分）要点(1)记住常用的奇偶函数奇函数；（为奇数）、；偶函数；（为偶数）、常函数.(2)“奇乘奇”或“偶乘偶”为偶；除法也一样。 “奇加（或减）奇”为奇；“偶加（或减）偶”为偶；“奇加（或减）偶”一般为非奇非偶.11-18. . 【11-18. . 注意被积函数的笫一项为奇函数,它在对称区间上定积分为0, 从而只需计算】11-7. A. B. C. D. 【11-7、A】08-18. .【08-18. 注意被积函数的笫二项为奇函数,它在对称区间上定积分为0, 从而只需计算】08-7. A. B. C. D.
9、【08-7. C】07-7. A. B. C. D. 【07-7. B】06-18. .【06-18. 】05-17. = _.【05-17. 】04-11. 定积分=_.【04-11. 】03-13. =_.【03-13. 】02-14. 定积分=_.【02-14. 】01-4. 下列定积分等于零的是 A. ; B. ; C. ; D. 【01-4. C】00-12.=_.【00-12. 0】样题-6. 设函数，则的值等于 A. B. C. D. 【样题-6.A】2. 分段函数的积分（仅适用于定积分）要点：如果分段点在积分区间内，必须把积分分割为两个，被积函数取相应的式子。02-20. 设函
10、数,求.【02-20. = =】3. 定积分是常数,其导数为0.09-6. A. B. C. D. 【09-6、D】07-17. . 【07-17. 】4. 变限积分（函数）求导（仅适用于变限积分）(1)变限积分求导计算.要点：变限积分求导公式: (1) ;(2) .11-17. 【11-17. 】10-7. 已知, 则A. B. C. D. 【10-7、C】08-17. . 【08-17. 】05-7. 设函数，则等于A. B. C. D. 【05-7. C】04-13. 设函数,则=_. 【04-13. 】01-13. 设,则=_. 【01-13. 】样题-5. 极限等于A. B. C.
11、D. 【样题-5.C. 】样题-17. 设,则=_.【样题-17. 】(2) 与变限积分求导相关的题型(求极限、隐函数问题、单调与极值).02-28. 巳知,证明.【02-28. 由巳知,得.等式两边对求导,得, 即.在上式中令得 ,】三. 定积分的应用 (求平面图形面积, 旋转体体积)要点：先画图（包括求交点），然后写出相应的定积分并计算之。用定积分表示面积与旋转体体积的公式如下：; 11-28. 设为曲线,直线及轴所围成的平面图形（如图所示)(1) 求平面图形的面积; (2) 求平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.【11-28(1) (2) 】10-6. 曲线与轴所围成的平面图形的面积
12、A. B. C. D. 【10-6、B】09-27. (1) 求在区间上的曲线与轴所围成图形的面积. (2) 求（1）中的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.【09-27(1) (2) 】08-27(1）求曲线及直线,所围成的图形（如图所示）的面积.（2）求平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.06-27 (1) 求由曲线与所围成的平面图形（如图所示）的面积. (2) 求（1）中的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.【06-27 (1) 由巳知条件可得(2) 旋转体体积】05-27(1)求曲线与所围成的平面图形的面积。（2）求（1）中平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.【05-27(1)
13、.由已知条件画出平面图形如图阴影所示(2) 旋转体体积 】04-27(1)设是由曲线及所围成的平面区域，求的面积。【04-27. 】03-26.己知曲线为,直线为.(1)求由曲线及直线所围成的平面图形的面积;(2)求曲线的平行于直线的切线方程.【03-26. (1)由,得,故所求面积为(2) 设曲线上的切点为,因为的斜率,所以得,故切点为,切线方程为即.】01-26(1) 求由曲线及直线所围成的平面区域 (如图所示的阴影部分)的面积; 【01-26(1) 】00-28(1) 求由直线,与抛物线所围成的平面图形(如图所示的阴影部分)的面积.(2) 求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.【0
14、0-28(1) =(2) 】四. 涉及积分概念和性质的题型1. 原函数要点：“是的一个原函数”有三种等价的含义： (1); (2); 3).解题时选择其中一个。07-28. 设的一个原函数为，计算.【07-28. 由题意知 】07-6. 设的一个原函数为, 则A. B. C. D. 【07-6.D,注意本题求的不是,而是】06-7. 巳知是的一个原函数, 则A. B. C. D. 【06-7.C】03-4. 函数的一个原函数是 A. B. C. D. 【03-4.C】样题-7. 设是的一个原函数, 则等于A. B. C. D. 【样题-7. 因为是的一个原函数,所以,或者,下面用凑微分方法并设
15、可得 ,选B】2. 微分积分互逆性公式与积分形式不变性要点(1)“微分积分互逆性”意味着:微分与积分(或求导与积分)是互逆运算，可相互抵消，用公式可表示为; ; ; .(2)“积分形式不变性” 意味着: 原有积分公式,把此式中统统换成一个函数的话式子仍成立:.09-7. 若，则 A. B. C. D. 【09-7.A】04-3. 设函数，则不定积分等于 A. B. C. D. 【04-3.D】03-12. 设,则= _. 【03-12. 】02-24. 设,求.【02-24. =】样题-16. 若,则= _.【样题-16. 】样题-18. 不定积分,则= _.【样题-18. 解法1. ,两边对x求导,得,此式表明是常函数,从而,于是解法2.用凑微分法与积分形式不变性, ,其中第三个等式引用了积分形式不变性】样题-19. 设函数在闭区间上连续，则_.【样题-19.0.这里利用定积分更名不变性质】3. 定积分的换元证明法(执行三步曲，上下限必须更换)07-27. 设为连续函数，试证：.【07-27. 令，则，当时, 当时, 左端= 右端】04-28. 样题-28. 设函数在上连续，证明.【04-28. 样题-28. 】22 / 22文档可自由编辑打印