关于质数问题的讨论.doc

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1、第1章 前 言质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，它被称为自然数的“建筑的基石”虽然有很多数学家和学者致力于对它的研究，但成果并不显著，仍有许多问题有待解决例如，哥德巴赫猜想困扰了人们几百年，有很多数学家对它进行了多年的研究但并没有得到解决我国数学家陈景润的“陈氏理论”是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想研究的最好成果这一成果给后人很大鼓舞，似乎离最后结果仅一步之遥，但仍一直无进展梅森质数是数论研究的一项重要内容，研究梅森质数具有重大的意义，也是当今科学探索的热点和难点之一随着现代科学技术的迅速发展，也加快了对质数的研究运用计算机能够较快的计算某自然数是否是质数，知道在某范围内质数的分布情

2、况由于质数的无穷性，要想计算更大的质数仅有计算机还远远不够，还需要有更高的理论要求同时，质数在加密和解密技术中的应用有了更高的要求，求尽可能大的质数和大数分解引起了通讯界和数学界的极大兴趣另外，质数在奥数中也屡屡出现，技巧性非常强，可以锻炼和提高学生的思维所以有必要对质数的相关问题进行阐述本文着重介绍质数相关问题，能够使读者形象、直观地目睹质数分布规律，了解有关质数问题首先，在质数基本知识中介绍质数的定义、性质及算术基本定理，并讨论判定质数的两个定理一个是威尔逊定理和另一个判定定理；其次，研究质数个数问题，质数分布问题，得到质数个数有无穷多个，在某两个自然数之间大约有多少质数和两个相邻质数的间

3、隙可以任意大等结论还介绍用幼拉脱斯展纳筛法和质数辐射法来求从1到某自然数n之间所有的质数，进而分析质数的分布问题，并讨论它们的区别；最后，介绍有关质数的著名问题，如费马质数是否有有限，梅森质数是否有无穷多个，什么是孪生质数，并用聚数来研究孪生质数对一些性质，哥德巴赫猜想的由来、研究意义等问题，以及它们理论的推广与应用第2章 质数基本知识2.1 质数的定义及其性质在正整数里，1的正因数就只有它本身，因此在整数中间1占有特殊的地位任一个大于1的整数，都至少有两个正因数，即1和它本身，把这些数加以分类，就得到下面的定义定义2.1.1 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数

4、）；否则就叫作合数显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数从小到大质数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，根据质数的定义显然可以得到以下性质：1、如果，其中，都是质数，那么，中必有一个等于，另一个等于；2、两个质数之和为奇数，则必有一个质数为2；3、两个质数之差为奇数，则必有一个质数为2；4、除了2之外的两个质数之和一定是偶数；5、除了2之外的两个质数之差一定是偶数；6、除了2之外的两个质数之积一定是奇数例2.1.1 两个质数的和等于奇数 ()，求这两个数解：因为两个质数的和等于奇数，所以必有一个是2，那么，所求的两个质数是2和例2.1.2 己知两个整数的积等于质数,

5、 求这两个数解：因为质数只含两个正约数1和，又由于=，那么所求的两个整数是1和或者和例2.1.3 求满足方程组的正整数解、b、的值解：先将方程的左边分解，得，而23是一个质数，由“质数只有1和它本身两个质因数”求得, ,于是方程组可化为：解之得或故该题的解有两组：或例2.1.4 已知方程的两根都是整数，试确定的值解：设是该方程的两个根，利用根与系数的关系得，把两个等式相加，可得该等式可变形为，而7是一个质数，由质数性质得：或者再把、带入元方程可求得：，2.2质数基本定理质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，本节的主要目的就是要证明任何一个大于1的整合数，如果不论次序，能唯一地表成质数的乘

6、积先介绍每一个大于1的整数有一个质因数定理2.2.1 设是任一大于1的整数，则的除1外最小的正因数q是一个质数，并且当是合数时，q定理2.2.2 若p是一个质数，是任一个整数，则能被p整除或p与互质推论2.2.3 设，是n个整数，p是质数若，则p一定能整除某一定理2.2.4（算术基本定理）任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数， （2.2-1）其中是质数，并且若，其中是质数，则，证明：用数学归纳法先证明（2.2-1）式成立当时，（2.2-1）式显然成立假定对一切小于的正整数（2.2-1）式都成立，此时若是质数，则（2.2-1）式对成立；若是合数，则有两正整数满足条件由假定，于是将

7、的次序适当调动后既得（2.2-1）式，故（2.2-1）式对成立由归纳法即知对任大于1的正整数，（2.2-1）式成立若，则 （2.2-2）因此，由推论2.1，有，使得，但都是质数，故，又，故，因而 由（2.2-2）式，同法可得依次类推，最后即得， 推论2.2.5 任一大于1的整数能惟一地写成 （2.2-3）其中 （2.2-3）叫做的标准分解式例2.2.1如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?解： ， 有为4875的约数，且这两个数的和为64发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数 那么它们的差为39

8、2514 当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63 而4875在641024之间的约数有65，195，325，375，975等 再对65，195，325，375，975等一一验证：，；，只有一种情况就是39、25，它们的差为392514例2.2.2 三个质数的倒数之和是，则这三个质数之和为多少?解：设这三个质数从小到大为，它们的倒数分别为、，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为，求和得到的分数为，如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为、b、c或它们之间的积现在和为，分母，所以一定是，检验

9、满足所以这三个质数的和为2.3质数的判定定理2.3.1 威尔逊定理定理2.3.1 整数，当且仅当时，是质数证明:（必要性）若不是质数，则必存在因子满足1 < d < p且，因此，而不是所以，假设不成立，即质数（充分性）若是质数,取集合；则构成模乘法的缩系，即任意，存在使得那么中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况解得 或 其余两两配对；故而若不是质数，则易知有故而 威尔逊定理给出了判定一个整数是否为质数的基本定理给定一个较大的整数，是一个很大的数，利用威尔逊定理来判定是否为质数是不方便的；但可以利用定理的充要性及同余性质来解决一些实际问题下面介绍威尔逊定理的两个

10、推论及应用推论2.3.2 为形如的质数时，证明：为质数且时， 由威尔逊定理，及同余性质得：例2.3.1 为形如的质数,则|证明：为形如的质数，由费马小定理 ，即 ，由推论2.3.2知，又故 |推论2.3.3 为质数，若存在，使得，则证明：对，由同余性质，所以 由得：，为质数，由威尔逊定理，及同余性质得：，即 例2.3.2 证明(1)； (2)证明：(1)因为， 所以，又因为23是质数，由推论2.3.4得：(2)因为， 所以，又因为71为质数，由推论2.3.4得：2.3.2 另一个判定定理 前面介绍了威尔逊定理，但是用它来判别自然数是质数是非常困难的例如，若是三位的自然数，那么就是超过了100位

11、的数,计算量非常大下面给出质数的另一判别法先看两个引理：引理2.3.4 设为自然数的最小质因数，则，其中证明：因为二项式系数是整数因是的最小质因数，故故有又有因，故 |由于 ,所以 | 设其商为，于是有 ，故 引理2.3.5 设是自然数的最小质因数则，其中证明：(1)当时，结论显然成立；(2)当时，由于，所以因为是整数，且，所以 设其商为，故有 ，其中定理2.3.6 是质数的充要条件为，其中证明：（必要性）是质数，那么的最小质因数就是，于是应用引理2.3.5(这时)，得，且（充分性）若，且要证是质数，采用反证法，若满足上述条件的是一个合数，那么一定会有一个最小质因数，设根据引理2.3.4得这与

12、上述已知条件矛盾，故一定是质数由，可得以下推论推论2.3.7是质数的充要条件为，其中推论2.3.8是质数的充要条件为，其中证明：若是质数，显然满足条件；反之，若满足条件，那么一定是质数若不然，是合数，就有最小质因数， 与已知矛盾推论2.3.9 是质数的充要条件为，其中推论2.3.10 当是奇数时，是质数的充要条件为，其中证明：若是质数，显然满足推论2.3.10的条件，反之，若是奇数且满足条件，那么一定是质数当是合数时，一定有一个最小质因数设(1)当为偶质数，那么，与是奇数矛盾； (2)若是奇质数，由引理2.3.5知这与条件矛盾综合上述：当是奇数且满足条件的一定是质数由推论2.3.10和推论2.

13、3.8得定理2.3.11定理2.3.11 当是奇数时，是质数的充要条件为，其中例2.3.3 若，试判断p是否为质数解：是奇数，由定理2.3.11,只要检查，是否关于模101的余为0，显然 由定理2.3.11得：是质数若利用威尔逊质数判别法：是一个100多位的大数，计算量大，比上面的方法麻烦得多 第3章 质数分布问题3.1 质数个数和间隙问题3.1.1质数个数问题整数是有无穷多个的，但是分布在整数列中的质数究竟有多少个呢？定理3.1.1 质数的个数是无穷的证明：（反证法）假定正整数中只有有限个质数，设为令，则，且有一质因数，这里，否则又，因此，而与是质数矛盾故是上面个质数以外的质数，因此定理获证

14、以表示不超过的质数的个数，那么，由定理3.1.1知道：当时，虽然它给出了质数的个数是无穷多的，但是能否找到一个式子大约表示呢？给出一个定理：定理3.1.2 当时，由定理可知在正整数列中质数的个数比起全体正整数的个数来说，是非常少的更确切的说，就是下面的推论3.1.3推论3.1.3 几乎所有的正整数都是合数，即关于质数的个数的进一步结果是著名的质数定理：即这样，欲知1（x任意正整数）之间有多少质数时，即只需求出的值，也就找到了质数的大约个数例3.1.1 现将100 000 000内质数的分布情况列出表3-1如下其中表示自然数，表示内的质数个数表3-1 100 000 000内质数的分布情况100

15、01680.16800.20191451.158610 0001 2290.12290.14011 0861.1317100 0009 5920.09590.10618 6861.10431 000 00078 4980.07850.085272 3821.084510 000 000664 5790.06650.0712620 4171.0712100 000 0005 761 4550.05790.06115 428 6131.0613根据上表可知：1. 质数个数有无穷多个2. 中质数个数在中的比例，随的不断增大而逐渐减少3. 中质数个数在其合数中的比例，也随的不断增大而逐渐减少4. 内的

16、质数个数与的值相当 3.1.2 质数间隙问题了解了质数的个数有关问题，那么质数在自然数列中的分布情况是怎么样的呢？相邻质数的间隙是多少呢？根据上节可知质数的个数是无穷的，但同时也知道在合数中的比例，也随的不断增大而逐渐减少因此猜想相邻质数的间隙可以任意大定理3.1.4 设是任一大于2的正整数，则在正整数列中一定有两个相邻的质数与（）使得证明：令，则，又,，故，都是合数设是不超过的最大质数，则大于，而与相邻的质数必大于因此，故因为可以任意大，因此由定理知道相邻质数间的“距离”可以无限大另一方面，存在着下列的质数对：2,3；3,5；5,7；7,11；29,31；41,43；这些质数对都是正整数列中

17、的相邻质数，而且它们之间的“距离”有的是1，有的是2，有的是4等等如果间隙趋向越来越大，那么质数增长越来越快；而且质数的间隙可以任意大但是如果小间隙，像2或4，出现非常频繁，那么质数增大得不会很快查看所列的质数表就会发现间隙是毫无规律可言的因此，在某范围内是否存在质数呢？先看下面引理引理3.1.5 设，则有 （3.1-1）证明：由有即有（3.1-1）式左边成立；下面用反证法证明（3.1-1）式右边成立：令，即有成立，设时，成立，那么当时，仍成立，引理得证引理3.1.6 设表示质数，则 （3.1-2）定理3.1.7 对任意自然数，在与之间必有一质数 证明：由于中不包含大于得质数的平方的因子，也不

18、含适于的质数的因子，且中的方次为,则有 （3.1-3） 根据（3.1-1）式和（3.1-2）式有 （3.1-4）当时（3.1-3）式由（3.1-4）式有 （3.1-5）若在与之间无质数存在的话，则由（3.1-5）式有两边同时除以有，取两端3次方有 （3.1-6）假若，解（3.1-6）式成立的范围： 取（3.1-6）式两边的对数有，即 （3.1-7）设为（3.1-7）式化为等式时的值，即 （3.1-8）令，将（3.1-8）式化为联立方程： （3.1-9）在直角坐标系中，以（3.1-9）式中的两个方程分别作图像，可见两个图像相交于点在465至470范围内，现取 时有 ， （3.1-10）和 ， （

19、3.1-11）设 ，取该式两边对数有，则（3.1-11）式有 ， （3.1-12）由（3.1-10）、（3.1-12）式有 ， （3.1-13）当时，同样有 ， （3.1-14）当时，同样有 ， （3.1-15）故由（3.1-13）至（3.1-15）式可知，当时（3.1-6）式成立；时，（3.1-6）式不能成立，故当时，必有质数适合于；当时有如下质数：2，3，5，7， 13，23，43，83，163，317，631 （3.1-16）等，后者均小于前者2倍令为小于的最大质数，为大于的最小质数，则对任一均可在（3.1-16）中取得其质数，而适合于，即定理得证 3.2 幼拉托斯展纳筛法任给一个正整数

20、，可以按照下述方法求出一切不超过的质数：把不超过的一切正整数按大小关系排成一串1，2，3，4，首先划去1，第一个留下的是2，它是一个质数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 其次,从2起每隔一位划去一数,这样就划去了2的一切倍数,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，第一个留下未划去的是3，它不是2的倍数，因此是一个质数然后从3起每隔两位划去一数，所划去的数是，它们是3的一切倍数（3本身除外）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，第一个留下未划去的是5，它不是小于它的质数（2及3）的倍数，因此它是质数然后，从5起每隔位划去一数，所划去的数是，也就是5的一切倍数（5本身除外）：

21、1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，如此继续进行，所划去的都是合数，第一个留下的都不是比它小的质数的倍数，因此总是一个质数用这种方法可以逐一地把质数求出来这种方法是希腊时代幼拉托斯展纳发明的，它好像用筛子筛出质数一样，所以称为幼拉托斯展纳筛法例3.2.1 9个连续的自然数（它们都大于80）中最多有多少个质数?解：大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的

22、自然数中101、103、107、109这4个数均是质数所以大于80的9个连续自然数中质数最多有4个3.3 质数辐射法质数辐射法是为了制一个万以内的质数表，而不想用幼拉托斯展纳筛法而发现的一种更简单、更优越的方法定义3.3.1 为了求出自然数至中的所有质数，先以最小的质数2为辐射源，乘以本身及辐射表里的存在数，其各个乘积的得数即为该质数2的辐射数，并把这些数从辐射表里去掉，质数2的辐射就算完成然后，按顺序求出质数3，5，7，11，等各质数的辐射数并相继从辐射表里去掉，直到满足需要为止这种求质数的方法就叫质数辐射法辐射表是以表格形式，其中每行中都有十个数，用表示；每列以标出，其标码是自然数个位数的

23、数字例如：1，11，21，31，41，51，列入列；2，12，22，32，42，52，列入列，以此类推质数2的辐射表见表3-2表3-2 质数2的辐射数表23579111315171921232527293133353739414345474951535557596163656769质数辐射法是在一个辐射表里进行的，在划去几个质数的共同合数时，只在几个质数的最小质数中的辐射数中划去例如：105这个数，它是质数3，5，7三个质数的辐射数，辐射法只在3的辐射数中划去就算完事也就是说，105这个数只是3的辐射数，而不是5和7的辐射数根据分别做出质数2，3，5，7，的辐射表可以看出质数辐射数有以下性质：

24、(1)质数2的辐射数全部集中在五个竖行里；质数3的辐射数在辐射表里是每隔两个数出现一次；质数5的辐射数只存在与的竖行中；质数7的辐射数则是散落在辐射表里，以后各质数的辐射数则像质数7一样只是随着质数的增大，辐射数间的间距也随之增大(2)当质数2，3，5辐射后，辐射表里存留下来的数，除中的2，中的5外，全部集中在四个竖行里(3)某质数的最小辐射数是该质数的平方数，最大辐射数是不存在的。例如：2，3，5的最小辐射数分别是4，9，25.(4)某质数的辐射数是从该质数的平方数开始的，以后的辐射数是该质数乘以大于它的辐射表里的存在数 (5)辐射表里的质数区和非质数区的划分是用将要辐射的质数平方数来确定的

25、例如，2是质数，当它未辐射时，从2到4（不包括4）这个范围则为质数区其质数有2和34以外的区域则为非质数区（非质数区的意思是，质数、合数共存区）；当质数2辐射后下面是3，那么5到9（不包括9）之间，即为质数区，其质数有5和7；质数3辐射后，下来是5，那么，10到25（不包括25）之间即为质数区，其质数有11，13，17，19，23依此类推，质数无休止的辐射则质数区也就无休止的扩大，因而，可以得出一个结论：质数区的扩展与质数的相继辐射有关，决定他的范围的是将要辐射的质数的平方数定理3.3.1 某质数的辐射数在自然数里的含量，等于该质数的倒数乘以1减去小于它的各质数的辐射数在自然数里的含量和的乘积

26、例3.3.1 质数2的辐射数是整个自然数的； 质数3的辐射数是整个自然数的： 质数5的辐射数是整个自然数的： 质数7的辐射数是整个自然数的：其它质数辐射数在整个自然数里的含量计算，依照此法那么，根据计算我们可以得出某质数的辐射数在整个自然数里的含量计算公式为：第4章 有关质数著名问题4.1 费马数和梅森数4.1.1 费马数 在研究质数的过程中，法国数学家费马(Fermat)曾考察过形如的数,因此把这样的数称为费马数，记作1640年，费马验证到都是质数，然后他猜想所有的都是质数1732年，欧拉算出不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式之后，人们找到了不少反例，如时，不是

27、质数至今这样的反例共找到了46个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有这个情况下，才是质数甚至有人猜想：当时，费马数全是合数虽然费马数的研究还没有得到解决，但是也得到了一些有关费马数的定理和结论定理4.1.1 费马数是质数的充要条件是根据费马数定义和定理，我们得出它的的以下结论：结论1 证明： 结论2 任两个不同的费马数互质，即当时有证明：不失一般性，设，若，令，有，故，又因，则，因为是奇数，故所以4.1.2 梅森数梅森质数的研究历史悠久, 可以上溯到公元前3世纪人们把形如（）的数称为梅森数，记为中的质数称为梅森质数从梅森正式提出猜想到完全解决, 总共12个数, 历时300年例如：对

28、时，2的次方减1都是梅森质数定义4.1.3 一正整数叫做完全数, 如果等于它的各正除数之和, 这里正除数不包括自己.例如：；故6，28是完全数另外，496与8128也是上述4个数的因子形式分别为，显然，它们都可以表示为：，（），每个都是梅森质数定理4.1.1 是偶完全数的充分必要条件是，且是质数定理4.1.2 若是质数，则亦是质数证明：令与为正整数，则多项式可表示为的形式因此，若为合数，它可以表示为（在中，），则也是合数，因为它可被整除，这与前提矛盾，定理得证推论4.1.3 令与是大于1的整数，若是质数，则是2，且为质数例4.1.1 若是质数（），则是2的方幂证明：若不是2的方幂，那么可以表示

29、为，()则由于是质数，则因此不是质数，与已知矛盾，故是2的方幂梅森数研究过程艰辛曲折，寻求梅森数恰似大海捞针，耗时费力其研究意义，理论及应用价值一直存在怀疑现在对梅森质数的研究已经超出了完全数，研究梅森质数具有重大的意义：传承世界闻名、感受数学之美、挑战人类计算智力极限、推动了数学皇后数论的研究、测试硬件、计算机通信消息的加密和解密、分布计算和网络技术研究的理想模型梅森质数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一4.2 孪生质数猜想在第3章中讨论了质数的间隙问题，知道有相差为2的质数对存在，这节就讨论一下这种形式的质数对定义4.2.1 相差为2的两个质数称为孪生质数（或双生质

30、数），记作（） 人们发现了许多相邻两个奇质数的差是2，例如下列成对的质数：(3，5) ；(5，7) ；(11，13)； (17，19)；(29，31)； (41，43) ；(59，61) ；(71，73) ；(101，103) ； (10016957，10016959) ；(，) ；(，) 等都是孪生质数但孪生质数对是否为无穷多? 这是一个仍未解决的世界难题孪生素数同梅森质数一样，人们猜想其有无限多，这个问题是数论中的著名的难题，我国数学家华罗庚、王元、潘承洞、丁夏畦、尹文霖和陈景润都曾经在这方面进行过不少的工作这个问题现在最好的结果是：存在无限多质数使得为不超过二个质数之积先介绍孪生质数的一

31、个性质,并给出证明为此请看几个例子：，取数码和；，取数码和；，取数码和；,取数码和，再取26的数码和经多次计算，除第一对李生质数（3，5）外都具有这样的规律即一对孪生质数之积的数码和小于10时必为8；若数码和大于10时再取其数码和，重复这种演算，最后数码和必为8定义4.2.2 设有自然数，取的数码和，若大于10，再取的数码和，按此法继续下去，直到数码和小于10为止我们把最后一个数码和叫做自然数的聚数，记作例如 ；由此定义可知，任何自然数的聚数满足引理4.2.3 若,为自然数，且，则形如的自然数的数码和仍为形的自然数证明：令，其中则其数码和 ，又因为 ，当时，则因（m为自然数），所以；当时，可设

32、为中第一个不等于9的数码，即 ，这时有： ，从而 ，所以 故无论在任何情况，形的自然数的数码和仍是形的自然数推论4.2.4 形的自然数的聚数仍为形的自然数定理4.2.5 设为任意两个自然数，则证明：根据同余式的性质及引理4.2.3，因为，所以 ，故有 推论4.2.6 任意一对孪生质数（除3，5外）之积的聚数等于8证明：因为除了3、5外，任何一对孪生质数均可表为的形式现取，依上述定理有孪生质数（除3，5外）是属于相邻二奇数之积的聚数为8的类中定义4.2.3 若,均为质数,则称三元质数对,为3-孪生质数对定理4.2.7 在自然数列中,除去三元质数对3 ,5 ,7 之外,不存在其他的3-孪生质数对证

33、明：当质数时，则三元质数对，显然是3-孪生质数对3，5，7当时，则不整除3，否则是3的倍数，与是质数矛盾所以只有或若，则，即为3的倍数，而非质数与三元质数对，为3-孪生质数对的定义矛盾若，则，即为3的倍数，而非质数与三元质数对，为3-孪生质数对的定义矛盾综上可知：当，不存在3-孪生质数对，4.3 哥德巴赫猜想1742年，德国数学家哥德巴赫(Goldbach)给当时住在德国的大数学家欧拉的一封信中，提出把一个整数表示成质数之和的猜测，这就是著名的“哥德巴赫猜想”，这个猜想表述为下列两个命题：（1）每个大于等于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和；（2）每个大于等于9的奇数都可以表示为三个奇数之和“

34、哥德巴赫猜想”问题自18世纪40年代提出以来，引起了世界上很多著名的数学家的重视及研究并取得了很好的成果由于在论证的过程中，必须引进新的方法，研究新的规律，这些研究方法不仅对数论有广泛的应用，而且也可以用到不少其他数学分支中，推动了数论及其他数学分支的发展然而，两个多世纪以来，都没有人能证明它，直到进入20世纪以后，“哥德巴赫猜想”问题才取得较大的进展，我国数学家在这个问题的研究上，居世界领先地位容易证明（2）是（1）的推论因为如果（1）成立的话，也就是说对每一个不小于6的偶数，它可以表示为，其中是奇质数，那么，而且，3都是奇数所以最重要的是（1），这是两个质数实际上早已有人对大量的数字进行了

35、验证，6=2+2+2=3+3 9=3+3+3=2+7 11=5+3+3 99=89+7+3 100=11+17+71=97+3 101=97+2+2 对偶数的验证已达到1.3亿个以上，还没有发现任何反例那么为什么还不能对这个问题下结论呢？这是因为自然数有无限多个，不论验证了多少个数，也不能说下一个数必然如此数学的严密和精确对任何一个定理都要给出科学的证明所以“哥德巴赫猜想”几百年来一直未能变成定理，这也正是它以“猜想”身份闻名天下的原因 要证明这个问题有几种不同办法，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过个，第二数的质因数不超过个这个命题称为（）最终要达到的目标是证明（）为（

36、1+1） 1920年，挪威数学家布朗教授用古老的筛选法证明了任何一个大于2的偶数都能表示为9个质数的乘积与另外9个质数乘积的和，即证明了（）为（9+9）1924年，德国数学家证明了（7+7）；1932年，英国数学家证明了（6+6）； 1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了 1938年，我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和 1938年到1956年，苏联数学家又相继证明了（5+5），（4+4），（3+3） 1957年，我国数学家王元证明了（2+3）； 1962

37、年，我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了（1+5）； 1963年，潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了（1+4）1965年，几位数学家同时证明了（1+3） 1966年，我国青年数学家陈景润在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2）他的证明震惊中外，被誉为“推动了群山”，并被命名为“陈氏定理”他证明了如下的结论：任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个数是质数，另一个数或者是质数，或者是两个质数的乘积 现在的证明距离最后的结果就差一步了，而这一步却无比艰难30多年过去了，还没有能迈出这一步许多科学家认为，要证明（1+1）以往的路走不通了，必须要创造新方法当“陈氏定

38、理”公之于众的时候，许多业余数学爱好者也跃跃欲试，想要摘取“皇冠上的明珠”然而科学不是儿戏，不存在任何捷径只有那些有深厚的科学功底，在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点 “哥德巴赫猜想”这颗明珠还在闪闪发光地向数学家们招手，她希望数学家们能够早一天采摘到她结 论本论文主要针对质数基本知识，讨论质数的一些基本性质，并介绍了质数的判定、分布问题和相关一些世界著名问题首先，在质数基本知识中介绍了质数的性质和数论中的一个基本定理：算术基本定理，并举例说明它们在数学竞赛中的应用介绍了两个判定质数的充分必要条件：威尔逊定理和另一种新的判定定理虽然，理论上它们都能判别一个数是否为质数，但实

39、际算起来却十分麻烦而且，就这两个定理而言，后者比威尔逊定理更方便一些然后，在质数的分布问题得出质数的个数有无穷多个，可以用质数定理来估算某范围内质数的个数，相邻两个质数的间隙可以任意大，并且给出了计算之间所有质数的两种方法：幼拉托斯展纳筛法和质数辐射法最后，介绍了费马数和梅森数的相关理论，运用聚数研究了孪生质数的一些性质，并对哥德尔巴赫猜想的由来及证明过程进行描述本文讨论了上述内容，虽然有些问题本文也曾涉及但未能进行深入的研究另外，对于质数在密码学上的运用，用计算机技术来研究质数的相关问题或得到的一些理论进展本文根本就未涉及因此，可以参看一些有关这方面的资料，用现代计算机技术进一步研究质数相关

40、问题致 谢时光不待，流年似水，大学毕业将至至此论文完成之际，我谨向所有关心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿在毕业论文写作期间，我受到数学系刘秀娟老师的不倦指导刘老师多次询问论文进程，精心点拨、热忱鼓励，帮助我开拓思路刘老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人在毕业论文写作告罄之际，谨对刘老师致上我诚挚的谢意，真诚地感谢您的指导毕业论文写作是我们学生必须完成的最后学习和训练的阶段，是总结、深化、拓宽、综合这几年学习知识的重要过程，对每一位即将走出大学校园，迈入社会实践岗位的毕业生来说，都具有及其重要的意义有感于此，在历时多月的毕业论文写作期间，为了让我能够科学地、规范地完成这项任务，刘老师付出了许多辛勤的劳动，刘老师孜孜不倦的教导令我受益颇深 马立兴 2010年6月32 / 32文档可自由编辑打印