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1、反函数例题解析【例1】求以下函数的反函数:(i)y3x2x5(x 工-12(2)y = x 2x+ 3, x (0.(3)y 二三 0).(4)y 二x+1 ( 1< x< 0)> x (0 Vx< 1)3x 51解(1)v y=汇(x 1),2x 123x 5 得(2y 3)x = y 5, 2x 11 5所求反函数为y y 53 2y'3=R(x工-).解 (2) T y = (x 1)2+ 2, x ( a, 0其值域为 y 2 ,+ ),由 y= (x 1)2 + 2(x< 0)，得 x 1 = . y 2，即 x= 1 . y2反函数为 f 1(
2、x) = 1 x 2 , (x > 2).解(3) t y= tx1由y= 得x=y x2 1反函数为f %二1(x< 0)，它的值域为0 V yw 1,1口y1 x (-(0 V x< 1).解由y = x 1( 1<xw 0),得值域 0W y W 1,反函数 f 1(x) = x2 1(0 W x< 1). 由 y=x(0 v xw 1),得值域1< yv 0,反函数 f 1(x) = x2( 1<xv 0),故所求反函数为y=x2 1 (0< x< 1) x2(1< xv 0)【例2】求出以下函数的反函数，并画出原函数和其反函
3、数的图像.(1)y = . x 1 1(2)y = 3x2 2(x < 0)解(1) T函数的定义域是 x> 1,二值域为y > 1,由 y= *x 1 1,得反函数 y= (x+1)2 +1(x?一1).函数y= x 1 1与它的反函数y = (x+1)2 +1的图像如图2. 4一1所示.解 (2)由 y = 3x2 2(x w 0)得值域 y < 2,Ix_2反函数 f 1(x) = (xw 2).3它们的图像如图2. 4 2所示.3x 11【例3】 函数f(x) =(x工一a, aH -).x a3(1)求它的反函数；(2)求使f-1 (x) = f(x)的实数a
4、的值.3x 1解(1)设 y=，二 xh a,x at y(x + a) = 3x+ 1, (y 3)x = 1 ay,这里 y 丰 3,1 1假设尸3'那么a= 3这与匕矛盾,1 ay口 '即反函数f1(X)=1 axx 3(2)假设f(x) = f 1(x)，即 竺=1-aX对定义域内一切x的值恒成立,x a x 3令 x= 0,. a = 3.或解 由f(x) = f-1 (x)，那么函数f(x)与f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是x|x 丰 a, x R，值域 y y|y 丰 3, y F ,. a= 3 即 a = 3.ax b【例4】函数y = f(x)=中，
5、a、b、c、d均不为零，cx d试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身.解f(x)=旦+ bC ad，常数函数没有反函数，c c(cx d)1dx b-bc ad 0 .又 f (x)=cx a要使 dx b = 盔上，对定义域内一切x值恒成立，cx a cx d令 x= 0，得一a = d，即 a + d = 0.事实上，当a + d = 0时，必有f-1(x) = f(x)，因此所求的条件是 bc adz 0，且a+ d = 0.【例5】设点M(1，2)既在函数f(x) = ax2+ b(x > 0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1 (x)，(2)证明f-
6、1 (x)在其定义域内是减函数.解(1)由2 = a+ b1 = 4a+ ba=- f(x)b= 3-x2 + - (x> 0)33证(2)由y=Ax2 +3-(x?0)得反函数 f 1(x) = £7 3x(x w ).33设x1vx2 < . 73x1 >x3x2，即f 1(xi) >f 1(X2),故f 1(x)在(s,-上是减函数.3x 1【例6】假设函数f(x) = 一2，求f 1C，2)的值.x 2x 11 2x解法(一)先求函数f(x)二 的反函数f 1(x)二x 21 x于是f 1/2) = 1 逹=_ 5 32.1 v'2解法(二)由
7、函数y= f(x)与其反函数y= f-1 (x)之间的一一对应关系，求f (刀的值，就是求f(x) = 2时对应的 1即证得f(x)=的反函数就是它本身.ax 1因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y=x对称,函数y = f(x)的图像关于直线 y = x对称.的值令-2,得x= 5 3 2，即 f 1( - 2) = 5 3.2 .【例7】a R，且0,1 设函数f(x)=x 1ax 11(x R且x丰)，证明y = f(x)的图像关于直线y = x对称.ax 1证由y=，a 0，a 1，得(ay 1)x= y 1,ax 11如果ay 1= 0，那么y= a1x 1 一 =得a= 1，这与 a 1矛盾，aax 1, y 1一 x 1- ay 1工 0，故 x=，f (x)=ay 1ax 1