《谈数学解题中的“进” 与“退”.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《谈数学解题中的“进” 与“退”.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、谈数学解题中的“进”与“退”孙伟奇 (浙江省奉化中学,315500)“进”与“退”是哲学中的一对矛盾，也是数学的一种思维策略，恰到好处的“进”在解题中可以起到居高临下，高瞻远瞩，深刻认识事物本质，透彻解决问题的目的；相反，善于“退”足够地“退”也会起到峰回路转，四两拨千斤的功效本文就“退”与“进”在解题中的作用谈谈自己的管见一、从“一般”向“特殊”退有些数学题的条件与结论之间的结构联系不甚明显，直接找出结论的规律或解题方法有困难，我们可以采用从“一般”向“特殊”后退的方法去寻求解题途径先考虑某些特殊情形，从特殊情形的解答中进一步探求出一般规律性的结论，亦可从中得到启示找到一般情形的解题方法例1
2、、已知抛物线，问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得对过的抛物线的任意一条弦都有（为坐标原点）？请说明理由分析：假设满足题设条件的点M存在，设，则当时，应有此时，从而这表明若满足题设条件的点M存在，则其坐标只能是设是过的任意一条弦，的方程为，代入且综上所述，在轴的正半轴上存在唯一一点，使得对过的抛物线的任意一条弦二、从“抽象”向“具体”退我们知道有些关于代数和三角方面的数学题是比较抽象的，在不容易发现其内在的联系和解题方法时，如果能从“抽象”后退到“具体”来研究他们的数量关系，则较容易发现问题的内在联系，同时通过直观性也能启发我们解题思路例2、为何值时，不等式恰有一个解分析：本题比较抽象，如单从
3、代数不等式方面去考虑，则显得较繁我们采取从抽象的代数式后退到具体的几何图形来考虑，可知是一条开口向上的抛物线，而是一条平行于轴的直线，综合考察这抛物线的顶点和这条直线的位置关系，本题的解法就明朗化了解：如图所示，是一条开口向上的抛物线，当其顶点在直线下方时，原不等式有无穷多个解；当其顶点在直线上方时，原不等式无解；只有当且仅当项点落到直线上时，原不等式恰有一个解此时抛物线的顶点为时，不等式恰有一个解三、从“整体”向“局部”退有些数学问题从整体上不易解决，我们可以考虑从局部下手，常常也能促使问题得到解决例3、已知解：我们从局部入手，所以只需深入分析左边三项与右边各对应部分的大小关系即可，同理，四
4、、由“高维”向“低维”退从“高维”向“低维”后退的思想方法常用于解立体几何题，即把三维空间图形问题转化到二维的平面图形问题，即所谓的降维法类似地在解高次、多元方程（组）的降次，消元，等都是从“高维”向“低维”后退的思想方法的体现例4、如图（1），四面体中，六条棱长的和等于，试求这个四面体的最大体积。ABCPcabABPab(1)(2)分析：我们根据从“高维”向“低维”后退的思想，用平面上的多边形问题作为类比对象，找到一个类似的“低维问题”如图（2），考虑 ，且使三条边长的和等于，求这个三角形的最大面积。我们知道，当该三角形是等腰直角三角形时，面积达到最大值。由此对本题自然可作出类比猜想：当PA
5、=PB=PC时，是所求体积最大的四面体。为了解决这个问题，首先我们先考虑类比问题的解法：设的面积,由此解出S，再通过讨论等号成立的条件，就可求得S的最大值。下面我们再利用求解类比问题结论的方法，来证实前面的猜想：设，则四面体的体积于是，当时，上式等号成立，最大，从而V也达到最大，此时，。从以上的分析来看，“退一步”真的是海阔天空，那么“进一步”就寸步难行吗？不然解题时，如果把维数低，抽象水平弱的，或特殊的，局部的问题转化成抽象水平或整体性较强的，更具有一般性的问题来处理，再回到原问题，不仅也能使一些问题绝处逢生，还能深化学生思维，提高他们观察、建模、创新的能力五、从“局部”进到“整体”对事物的
6、认识既要注意“微观”又要把握“宏观”，这样才能避免片面性，全面地认识问题因此对某些“局部性”的问题，扩展到整体以后来解决，往往能更好地利用整体的调控作用例5、3个的正方形，被连接两条邻边的中点的直线分成A、B两片，如图1，把这6片粘在一个正六边形的外面如图2，然后折成一个多面体，如图3，试求其体积（美国第三届数学邀请赛第15题）分析：如图3，把立体图形从局部考虑，分割为一个正六棱锥与3个三棱锥的体积之和，通过一个一个计算可获得其解，但将局部所求几何体，通过补形，补成一个正方体，如图4，则所求体积是正方体体积的一半，即六、从“少”进到“多”我们知道，在解有关几个变量的的问题时，为使研究方便，可考
7、虑增设参数来沟通变量之间的关系，也可根据结构直接增设与之相似的表达式从变量的个数或表达式来讲已增多了，但这种增多却有益于问题的解决例6、已知分析：此题如果先根据条件分别求出的值，再代入求值，那是相当麻烦的事实上，根据已知条件的结构，可增设方程：，则是该方程的两根，于是由韦达定理，由此，得，这里我们虽然增设了一个方程，使方程的总数比原来还多了一个，但正是这个增多的方程起到了简化作用七、从“特殊”进到“一般”不少数学问题，其特殊的数量关系影响我们思维的广度，正所谓“只视树木，不见森林”，此时将这种特殊性的问题，推广到一般，有时反而更宜探究出问题的解法例7、比较的大小 显然， 这不是一个数字计算的问
8、题内部蕴涵着某种恒定的数学关系于是， 联想到它的一般形式也许可以加以证明， 所以转为比较的大小关系。通过计算，易知当 当当于是产生猜想：当如能证明上述普遍化的命题，取特殊值时，就可确定。证明：先用数学归纳法证明：当时，总有（1）当时，易知（2）设时命题成立，即当时，即时，命题也成立，综合（1），（2），命题成立。令，就证得了例7八、从“子系”进到“母系”我们知道，数学学科是由各个知识点组成的网络系统，在这个互相联系的网络中，按其从属关系可分为若干个“子系”，而“子系”又统一在“母系”之下一般的数学问题都置于某个“子系”，如果在此“子系”中不便求解，则应将其进到“母系”中来考察例、解方程此题按常规方法求解是很难的但我们注意到原方程可表示为：于是考虑将方程进到函数的系统中，从而有以下解法：解：设，则原方程为又易知是奇函数，所以有，又由于递增，故定有，即为原方程的根总之“进”与“退”是解题的两个方面，在培养学生思想方法时，要做到并举，两者不可偏废，使之达到对问题的思考能“退、进”自如否则，不是“退”无路，就是“进”无径，甚至“进退”两难