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1、例说机械能守恒定律的五类应用刘兆明宋瑞金1. 连续媒质的流动问题例1.如图1所示，一粗细均匀的 U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为 4h。现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度为多少？解析：将盖板 A拿去后，U形管右管液面下降，左管液面上升，液体系统的重力势能动能最大。设液体密度为 P,液柱的截面PhS , m'，U2减少动能增加，当左右两管液面相平时势能最小,积为S,右边高出左右液面相平时的液柱的质量为形管中液体的总质量m =4 ?hS，液柱流动的最大速度为 v。选液柱未流动时高出左侧
2、液面h处为重力势能零势4面，由机械能守恒定律有:对液体在题设过程:m gh mv242解得"書2. 轻杆连接体问题例2.如图2所示，-垂直纸面的光滑水平轴。已知一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为 m的小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴。已知AO = L, BO = 2L。使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力是多大？解析：对A、B两球组成的系统在 B球从水平位置转到 0点正下方（设此时 A球的速 度为VA，B球的速度为VB ）的过程，应用机械能守恒定律有：2 2mvAmvBmg2L -mgL2 沪（1）因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角
3、速度相等，即：VaVb2L设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为T,由牛顿第二定律有:2(3)mvBT - mg =y 2L联立（1） （ 2） （ 3）三式解得:T = 18mg由牛顿第三定律可知，B球对细杆的拉力等于 1.8mg，方向竖直向下。3. 轻绳连接体问题例3.质量为M和m的两个小球由一细线连接（M m），将M置于半径为R的光滑半球形容器上口边缘，从静止释放，如图3所示。求当M滑至容器底部时两球的速度。两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态。解析：设M滑至容器底部时速度为 vM，m的速度为vm。根据运动效果，将 vM沿绳 的方向和垂直于绳的方向分解，则有：vM cos45°
4、= vm(1)对M、m系统在M从容器上口边缘滑至碗底的过程，由机械能守恒定律有:2 2.一 Mv M mvmMgR-.2mgR -2 2联立（1 ）、（ 2）两式解得:Vm4gR2Mm2m）方向水平向左Vm方向竖直向上：2gR（ M 一、；'2m ） - 2M +m4弹簧连接体问题例4.如图4所示，半径R = 050m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧一端固定 在环的最高点A处，另一端系一个质量 m = 0.20kg的小球，小球套在圆环上。已知弹簧的 原长为L。=050m，劲度系数k =4.8N /m。将小球从图示的位置，由静止开始释放，小kx2球将沿圆环滑动并能通过最低点C。已知弹
5、簧的弹性势能Ep，重力加速度2g =10m/s2，求小球经过C点的速度vC。C点的解析：设c处为重力势能的零势面，对小球、弹簧系统在小球由静止至运动到 过程，由机械能守恒定律有：2 2mg(2R-Rcos60° )=号裂 L°)将已知数据代入上式解得：vC = 3m / s5.卫星的变轨道问题例5.利用以下信息：地球半径为 R，地球表面的重力加速度为g,以无穷远处为零势能面，距离地心为r，质量为m的物体的势能为EP = - GMm (其中m为地球质量，G为r万有引力常量)，求解下列问题：某卫星质量为m，在距地心为2R的轨道上做圆周运动。在飞行的某时刻，卫星向飞行的相反方向弹
6、射出质量为7-4*3m的物体后，卫星做离心运动。若被弹射出的物体恰能在原来轨道上做相反方向的匀速圆周运动，则卫星的飞行高度变化了多少？解析：设卫星在距地心为 2R的轨道上做圆周运动的速率为 v0，则有(1)GMm mvo2=i(2R)2R若设卫星将小物体反向弹出后的瞬时速率为v,，对卫星和弹出物系统，在弹射过程由动量守恒定律有：mv0 -3 m V, -：；：7-4 3 mv0(2)设卫星弹射出物体后 （设此时卫星的质量为 m）在离地心r A 2R的轨道上运行的速率 为v2，则有2GMm m'v22 =2（ 3）rr由于卫星做离心运动的过程遵守机械能守恒定律，故有：2 2m'v,GMm' m'v2 GMm'12（ 4）2 2R 2r联立（1）（ 2）（ 3）（ 4）四式解得：r =3R所以卫星飞行高度的变化量.汕二r - 2R = R