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1、1.等步长网格分布情况下W的一阶向前差分、x_2号 的二阶中心差分表达式。（P89）.x一阶向前差分:呈）一x l，jUi 1,j 一 Ui,j.二阶中心差分:习.-2 人,jx2u .i i,j *i,j(x)2(x)ui 一1 j2二1。C x)22. 简述计算流体力学的特点及其应用领域。CF丸以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的离散化数值解。它 的主要特征：（1）数值解而不是解析解；（2）计算技术起关键作用；（3）与计算机的发展紧密相关。（成 本较低，适用范围宽，可靠性差，表达困难）应用领域：航空、航天、气象、船舶、武器装备、水利、化工、建筑、机械、汽车、海
2、洋、体育、环境、卫 生等3. 简答题1）什么是差分方程的相容性？差分方程与微分方程的差别是截断误差 R必要时通过缩小空间步长（网格尺寸）h和时间步长 t ,这一误差应可缩小至尽可能小。当 h->0和t->0时，若R->0,则差分方程趋丁微分方程，表 示这两个方程是一致的。这时称该差分方程与微分方程是相容的。2）什么是差分解的收敛性？当微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 hT 0时，存在着差分方程的解 yn能够收敛到微 分方程的准确解y（xn）,这就是差分方法的收敛性。收敛性定义：对丁任意节点的xn =x0 +nh，如果数值解Vn当hT 0 （同时nT * ）时趋向丁 准确
3、解y（xn）,则称该方法是收敛的。3）什么是差分解的稳定性？数值计算时，除计算机舍入误差（字长有限）夕卜，初始条件或方程中某些常数项也有可能给 的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传递，误差的传递，有时 可能变大，有时可能变小。某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解的数值稳定性问 题。稳定性定义：对丁存在正常数h0和对丁每个尊> 0存在一个正常数6 ,使得当初值和右端 的扰动满足Ia I +喟X沦）< &时，原方程与扰动方程的解对一切满足估计式 的。max /(x)- y(x)x I h,则称该格式是稳定4）描述收敛性与稳定性关系的Lax定理，并指
4、出其适用范围。LAX等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。其适用范围：仅适用丁线性问题。5）对丁双曲型方程的显式格式,其 CFL条件指的是什么？双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件（CFL条件）是：差分方程的依赖域必须包括相应微分方程的依赖域。（具体表达见纸质版）6）常用的离散化方法都有哪些？（1）有限差分法（2）有限元法（3）有限体积法（4）有限分析法（5）边界元法（6）谱方法4. 何为问题的适定性？并说明在计算流体力学研究中，检查物理问题的数学表述是否适定的重要适定性是指如果偏微分方程的解存在且唯一，解连续地依赖丁初始条件和边界条件，则问题
5、是适 定的。其重要性：在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。因为不正确或是不 准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。5. 网格在CF时算中有怎样的作用？目前比较常用的网格类型都有哪些？网格是CFD的几何表达形式，是模拟和分析的载体，其质量对CF"算的精度和效率影响很大。比较 常用的网格类型有：（1）结构化网格（六面体网格单元）（2）非结构化网格（四面体，六面体，菱形 网格单元）6. 从差分方程所对应的修正方程出发，论述计算网格以及高精度差分格式对NS方程数值求解的重要性。三维流动无量纲化的N-S方程可写成:du dF dG dH IIJ dt dx dy dz这里
6、x, y, z分别表示流向、周向和物面法向的坐标，并为了简单，略去了无量纲化的方法和方程中各项及各个符号 意义的说明。ReL是以物体长度L为特征长度的雷诺数。如果采用m阶精度的差分格式求解无量纲化的N-S方程，与m阶精度的差分格式等价的修正方程是du OF 9G丝_J_ （竺竺蛆）+ 0（&气A矿 A）+ 的 + 的 + dz Re dx dy dz /式中 x , y,A z表示网格间距；。心xm, ym, zm，)表示截断误差项，它们是m阶以上的小量。 修正方程可进一步写成：OU OF 9G 3H _ 心粗 M 8G" AG 迅dt dx 9y dz 萨 * RclW d
7、y ReAzT & +0（队七瑚山气）选择华 华片业1 lgEeA 砂=1作小俨=INlM = L于是：'这样，与m阶精度的差分格式等价的修正方程则可进一步写成：du dF dG dH A dFv A JGV A JHV布+瓦+而+武"无+围顽+尊阻+。即睥必,心,)9FV dGv dHv对于高雷诺数流动,除非 °工'如 很大,粘性项的贡献是比较小。采用差分方法要能正确计算这些小量项的贡献，必须要求截断误差项比粘性项的贡献要小很多。至此，我们可以看出：如果所采用的网格和计算格式使a >m,则x方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围；同样如果
8、3 >m或者丫 >m时,则所用网格和差分格式使 y方向或z方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围。只有当a, 6, 丫分别取值小于或远小于 m时，所采用网格和差分格式才能比较正确地计入各方向的粘性贡献。这也进一步表明：当a, 6, 丫分别取值m时，就可以得出x, y, z方向的临界网格间距 x*, Ay*, Az* 其意义是： 当实际采用的计算网格 x, y,Az分别小于或远小于临界网格间距时，x, y, z方向的粘性效应就能被正确计入。否则，如果某方向所用的网格间距大于该临界网格值时，贝U该方向的粘性效应可能就落入截断误差的范围。在很多采用二阶差分格式求解N-S方程的计算中，x, y方向的网格没有达到临界值的要求。因为 z方向的网格，在物面附近采用了压缩技术，在物面附近，相应的 丫 <m=2，因此物面附近的粘性效应能够被计入。但是在 x, y方 向，由于网格基本是接近等距的，相应的a, 6都大于m=2,因此这些计算表面上是求解完全的N-S方程，而事实上，其精度仅相当于薄层近似N-S方程的求解。有些计算，x方向的网格数不满足要求，但y, z方向满足，此时相当于求解抛物化 N-S方程。鉴于二阶格式求解 N-S方程时对网格要求的上述困难，采用高阶格式，可以解决这个矛盾，因此发展高阶精度的差 分格式是很有意义的。