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1、学而不思则惘，思而不学则殆第7章参数估计练习题7.1从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为 25。（1）样本均值的抽样标准差 二x等于多少？（2）在95%的置信水平下，边际误差是多少？解：已知厂-5, n = 40, X =25样本均值的抽样标准差；x(J5.10.404:0.79已知二=5, n = 40 ,X = 25，二x.10195%Z.；2 = Z0.025 -1-96边际误差aV10E 二 Z 一 2 亍=1-96*1.5549名顾客7.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取组成了一个简单随机样本。（1）假定总体标准差为15元，
2、求样本均值的抽样标准误差；（2）在95%的置信水平下，求边际误差；（3）如果样本均值为120元，求总体均值 的95%的置信区间。解.已知.根据查表得Z-./2 =1.96（1）标准误差：c XX15二 2.14 .49(2).已知 Z/2=1.96所以边际误差=Z：./2*151.96*=4.2V49(3)置信区间：XZ-.2 Jn15= 120 - 151.96 =115.8,124.2V497.3从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到x =104560，假定总体标准差=85414，构建总体均值 的95%的置信区间。Z.： =1.96In85414= 1.96*:16741.144
3、x -Z2. In= 104560 -16741.144 =87818.856VQQx Z ：.10456016741.144 =121301.144、2 . n置信区间：(87818.856，121301.144)7.4从总体中抽取一个 n =100的简单随机样本，得到 X = 81，S = 12。（1）构建二的90%的置信区间。（2）构建的95%的置信区间。（3）构建的99%的置信区间。解；由题意知 n = 100 , X=81,s=12.(1) 置信水平为 1 - ：二 90%，则 Z 一. = 1.645. 2由公式=81 _ 1.64512 =81 _ 1.974100即 81 1.
4、974 二 79.026,82.974,贝的90%的置信区间为79.02682.974(2)置信水平为 1-=95%， z：. =1.962_s12由公式得 X_z-.=81 _ 1.9681 2.3522 & n100即 81 2.352 = (78.648，83.352)，则的95%的置信区间为 78.64883.352(3)置信水平为 1 - - 99%，则 Z：. =2.576.置信下限：X - Z-= 25-0.89 =24.112置信上限:kJXZ八厶0( L2 - n由公式2n12=8仁 2.576 : 81 _ 3.096即 81 _3.1则的99%的置信区间为7.5利
5、用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) 又=25，:- - 3.5， n = 60，置信水平为 95%。(2) X =119.6，S =23.89， n = 75，置信水平为 98%。(3) x =3.419，s=0.974， n =32，置信水平为 90%。 X = 25, ；丁 =3.5, n = 60,置信水平为 95%解：Z 一. = 1.96,2C2= 1.963*5V60= 0.89=25 0.89 二 25.89.置信区间为(24.11,25.89) X -119.6,23.89, n =75,置信水平为 98%。解:Z： =2.332Z-. S=2.33 2389 = 6
6、.432 n75置信下限：SX - Z119.6-6.43 = 113.17i n置信上限：sX 乙、一-119.6 6.43 = 126.032 n置信区间为113.17,126.03) x =3.419,s=0.974,n=32,置信水平为 90%s根据 t=0.1，查 t 分布表可得Z0o5（31） = 1.645.Z -/2（）=0.283Jn所以该总体的置信区间为(事)=3.419 ±0.283.n即 3.419 _ 0.283=( 3.136，3.702) 所以该总体的置信区间为3.1363.702.7.6禾U用下面的信息，构建总体均值(1)总体服从正态分布，且已知厂-5
7、00， n =15， X =l(2)总体不服从正态分布,且已知；丁 = 500， n = 35， X =(3)总体不服从正态分布,a未知，n = 35， x =890090%。(4)总体不服从正态分布,a未知，n = 35， x =890099%。（1）解：已知:二=500，n = 15， X 二 8900， 1-:I的置信区间。，s = 500，置信水平为8900，置信水平为95%。 8900，置信水平为95%。，s = 500，置信水平为= 95%，z1.962X _ z；二=8900 _ 1.96 500 = (8647,91532 . n15所以总体均值 J的置信区间为（8647，91
8、53）= 95%，z =1.962（2）解：已知二=500，n =35，X =8900，1-：8900 _ 1.96500 二(8734,9066)2 Vn、；35所以总体均值J的置信区间为（8734，9066）（3）解：已知n = 35， X = 8900，s=500,由于总体方差未知，但为大样本,可用样本方差来代替总体方差置信水平 1 =90% =1.6452s500置信区间为X_z81 -1.645(8761,9039)i n、35所以总体均值，的置信区间为（8761，9039）（4）解：已知n =35，X=8900，s=500，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置
9、信水平 1 a =99% z 2.582置信区间为又-乙2=8900 _ 2.58 500V35二(8682,9118)所以总体均值的置信区间为（8682, 9118）7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7 （单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。解：已知：2=3.3167 s=1.6093 n=36 1当置信水平为90%时，z ： =1.645,2X -=3.3167 _ 1.6451 6093 二 3.3167 _ 0.4532<3
10、6所以置信区间为（2.88，3.76） 2当置信水平为95%时，Z ： = 1.96，2x ± z£旱=3.3167 ± 1.961.6093 = 3.3167 土 0.54452 n<36所以置信区间为（2.80，3.84） 3.当置信水平为99%时，Zf = 2.58，2X -S =3.3167 一 2.581.6093 =3.3167 一 0.7305<36所以置信区间为（2.63，4.01）7.8从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但o 未知，n-8 为小样本，
11、a - 0.05，t0.05 (8 -1) 一 2.3652根据样本数据计算得：X = 10, s = 3.4612.89）。7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本，g =0.05，t0.05/2（16 1） = 2.131根据样本数据计算可得：乂 =9.375，s=4.1139.375 - 2.191从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：即（7.18，11.57）。7.10从一批零件中随机抽取3
12、6个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。（1）试确定该种零件平均长度 95%的置信区间。（2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。解：已知厂-103, n=36, x =149.5,置信水平为1-_：匚=95%，查标准正态分布表得匚：#2 =1.96.根据公式得：10336即 149.5 1.96 =（ 148.9，150.1）v 36答：该零件平均长度 95%的置信区间为148.9150.1（3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的
13、分布如何，随着样本容量的增加， 样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g）见Book7.11已知食品重量服从正态分布，要求：（1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。（2）如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品
14、合格率的95%的置信区间。（1）已知：总体服从正态分布，但b未知。n=50为大样本。G =0.05，Z0.05/2=1.96根据样本计算可知X =101.32 s=1.63该种食品平均重量的95%的置信区间为文土 S2s / 亦=101.32 ±1.96*1.63/ J50 = 101.32 土 0.45即（100.87，101.77）（2）由样本数据可知，样本合格率：p =45/50 =0.9。该批食品合格率的95%的置信区间为：r Jp（1 p） , “ |0.9（1 -0.9） p±Zz2 J =0.9±1.96j =0.9±0.08，即（0.82
15、，0.98）tnV 50答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）7.12假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值 的99%的置信区间。根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；0.8706x=16.13 c =0.8706 E= Z-=2.58*=0.45玄乔5置信区间为X -E 所以置信区间为（15.68，16.58）7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13 （单位：h）。假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信
16、区间。解：已知 X =13.56 匚=7.80:- = 0.1n=18E= f*置信区间=X - / -2所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/18),13.56+1.645*(7.80/ .18)=10.36,16.767.14禾U用下面的样本数据构建总体比例二的置信区间。（1）n =44， p =0.51，置信水平为 99%。（2）n =300， p = 0.82，置信水平为 95%。（3）n -1150， p =0.48，置信水平为 90%。（1）n =44， p =0.51，置信水平为 99%。解：由题意，已知n=44,置信水平a=99%, Za/2=2.58又检验统计量为
17、：p_z_ p（1p）， 故代入数值计算得,p _zp（1 一 p） =（ 0.316，0.704），总体比例兀的置信区间为（0.316，0.704）n（2） n =300，p =0.82，置信水平为 95%。解：由题意，已知n=300,置信水平a=95%, Za/2 =1.96又检验统计量为:P _Z故代入数值计算得,I p（1 - p）P±zJ =（0.777，0.863）， 总体比例兀的置信区间为（0.777，0.863）V n（3） n =1150，p =0.48，置信水平为 90%。解：由题意,已知n=1150,置信水平a=90%, Z a/2 =1.645又检验统计量为：
18、P - Z ； p（1： P），故代入数值计算得,P _zP(1 - P)n=(0.456, 0.504),总体比例二的置信区间为0.456, 0.504)7.15在一项家电市场调查中，随机抽取了 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 为 90%和 95%。解：由题意可知 n=200，p=0.23200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别（1）当置信水平为 1 =90%时，Z_/2=1.645心、亠p(1 p)门"2.23沃(10.23)所以 p 二 Z- /20.23 二 1.645.'7 =0.23 二 0.04895In200即
19、 0.23 _ 0.04895=( 0.1811，0.2789)，(2) 当置信水平为1-1=95%时，Z_/2=1.96P（1 - P） 0.23x（1-0.23）所以 p_Z ./20.23_ 1.96.=0.23 _ 0.05832F V n200即 0.23 _ 0.05832=（ 0.1717，0.28835）；答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为 95%的置信区间为（17.17%，28.835%）7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求
20、估计误差在 200元以内，应选取多大的样本？解：已知 二=1000 ,E=1000,1 - ： =99%,z_./2 = 2.58由公式nZ2 ：-/2 水.2E2可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167答：置信水平为 99%，应取167个样本。7.17要估计总体比例二，计算下列个体所需的样本容量。1） E =0.02，恵=0.40，置信水平为 96%。（2）E =0.04，二未知，置信水平为 95%。（3）E =0.05，黛=0.55，置信水平为 90%。(1)解：已知 E =0.02，二=0.40, ,/2=2.052 2由 n 二 f -./2 二
21、(1 -二)/ ；：得n -2.052 0.40(1 -0.4)0.022=2522答：个体所需的样本容量为2522。(2) 解：已知 E =0.04，:; 一./2=1.962 2由 n = / 一./2 : (1 -黒)/ ；：得2 2 2n =1.960.5 - 0.04 =601答：个体所需的样本容量为601。(3) 解：已知! . - 0.05，理=0.55，/ ./2 =1.6452 2 由 n 二 * -./2 二(1 一二)/ 得2 2n h.6450.55 0.45 一：一 0.05 =268答：个体所需的样本容量为268。7.18某居民小区共有居民 500户，小区管理者准备
22、采取一向新的供水设施，想了解居民是 否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。（2） 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？（1）已知：n=50 Z,. =1.96根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%根据（7.8）式得：64%(1 -64%)50即 64% -12.63% =(51.37%,76.63%)答：置信区间为（51.37%，76.63%）(2)已知: -80%； -10% Z_ =1.96则有：2 2Z -；* 二(1 一二)1.962* 0.8(1
23、 -0.8) n2262E20.12答：应抽取62户进行调查7.19根据下面的样本结果，计算总体标准差二的90%的置信区间。(1) x=21，s = 2 ， n=50。(2) x =1.3， s=0.02 ， n = 15。(3) x=167 ， s=31 ， n=22。CtOL解：已知 1 - ： - 90%，: =10%,0.05,10.95222 21)查表知(n -1)二 67，.( n -1)二 34222 2(n-1)s .2 . (n-1)s由公式 227 2上2G12 2得(50 -1)*2267(50-1)*2234，解得（1.72，2.40）-2 22) 查表知 ：.(n
24、-1) =23.6848，(n -1) =6.57063J;由公式(n -1)s22a2:(n -1)s22得(15-1)*0.022寸 23.6848(15 -1)*0.022，解得(0.015，0.029) 6.5706323) 查表知 二(n -1)=32.6705，22(n -1) =11.59131 - 2由公式心直2Ot2.(n -1)s2-了21_:2(22 -1)*312 沙得，32.6705(22 -1)*31211.5913 ，解得(245, 4173)7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关,比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等
25、待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min）见 Book7.20。（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（3） 根据（1 ）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？7.21从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:来自总体1的样本来自总体2的样本n1 =14n 2=7x
26、1 = 53.2X2 = 43.4s' =96.8s2 =102.0（1）求叫一丄2的90%的置信区间。（2）求叫_的95%的置信区间。（3）求.二2的99%的置信区间。7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:来自总体1的样本来自总体2的样本Xr = 25x2 二 23s2 =16s；二 20(1)设n1 = n2 =100，求J1 -j2 95%的置信区间。(2)设n21= n 2= 10，- 1心，求S -笃的95%的置信区间。(3)设n21= n 2= 10，；- 1，求S - "2的95%的置信区间。(4)设n1 T0, n2 =
27、20，-12 二為，求- “2的95%的置信区间。(5)设n1 =10,门2 =20，-12 -為，求亠- 2的95%的置信区间。7.23 Book7.23 是由4对观察值组成的随机样本。（1） 计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd。(2) 设叫和分别为总体A和总体B的均值，构造 二宀-2的95%的置信区 间。7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试分数见Book7.24。构建两种方法平均自信心得分之差J二亠2的95%的置信区间。7.25从两个总体中各抽取一个 ni = n2 = 250的独立随机样本，来自总体1的样
28、本比例为p1 =40%，来自总体2的样本比例为 p2 =30%。(1) 构造二i -二2的90%的置信区间。(2) 构造二1 _二2的95%的置信区间。7.26生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以减小方差。两部机器生产的袋茶重量(单位：g)的数据见 Book7.26。构造两个总体方差比的 95%的置信区间。7.27根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 边际误差不超过4%，应抽取多大的样本？2%。如果要求 95%的置信区间，若要求1- ： =0.95匚：广二 0.025 =1.962N=二 P（1 - p）1.962 0.02 0.982p0.042=47
29、.06解：已知 P=2%E=4% 当置信区间1-为95%时2z:P（1 一 p）P（1 一 p）答：所以应取样本数 48。7.28某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本?解：已知二=120，E =20，当 a =0.05时，zo.05/1.96。应抽取的样本量为:Z/2)E21.962 *1202:139207.29假定两个总体的标准差分别为；=12，匚2 =15，若要求误差范围不超过 5，相应的置信水平为95%，假定m = n2，估计两个总体均值之差r - J时所需的样本量为多大。7.30假定m = n2，边际误差E =0.05，相应的置信水平为 95%，估计两个总体比例之差 为二1 -蔥2时所需的样本量为多大。