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1、1.2充分条件与必要条件蔭知识1. 充分条件与必要条件一般地，"若P，则g”为真命题，是指由P通过推理可以得出G这时，我们就说，由P可推岀4,记作，并且说P是彳的充分条件，§是P的必要条件.如果“若円 则为假命题，那么由"推不出记作p>q.此时，"不是q的充分条件，g不是的必要 条件2. 充要条件一般地，如果既有p=>q,又有q = p,就记作此时，我们说，"是彳的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果P是g的充要条件，那么§也是"的充要条件.概括地说，如果POq、那么P与g互为充要条件注意：（1）判断"
2、;是g的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件.充要条件.既不 充分又不必要条件.（2）充分条件、必要条件具有传递性.晅T邈人隹嵬傀:晅総晅JIrog廳“运。廳L垂囑3. 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合A = xx足条件B=ULVij足条件切, 若AB9则”是§的充分条件或g是"的必要条件；若AB,则"是§的必要条件或q是"的充分条件：若A=B,则"是Q的充要条件；若AEB，且A圭B，则"是9的既不充分也不必要条件.K知识参考答案：i Pnq2. PoqI重点K 一重点充
3、分条件、必要条件的判断K-难点充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题K易错易忽视A是B的充分不必要条件（AnB且B±>A）与A的充分不必要条件是B （BnA且A>B）两者的不同1. 充分条件与必要条件的判断从逻辑关系上看，（1）若paq,但q4p,则P是g的充分不必要条件；（2）若p><,但q=>p,则“是g的必要不充分条件；（3）若Pa q ,且qO P ,则“是"的充要条件；（4）若P切,且q» 则卩是g的既不充分也不必要条件.充分条件、必要条件的三种判断方法：<1）定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判
4、断由已知和结论构成的命题殛其逆命题的真 假，亦同命题真假的判定方法.<2）等价转化法；利用Pq与-P , gnp与-=>一伍J P口？与-Iq<-p的等价关系.（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系当所要研究 的“含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示 时，可以借助集合间的包含关系，利用VCnn图或数他解题.（4）特殊值法：对于选择题，可以取特殊值来验证充分性或必要性不成立，但这种方法不适用于证明题. 【例1设% 是首项为正数的等比数列,公比为0则“q<0”是“对任意的正整数“，,1
5、 + <0” 的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】+a2n<0< al（q2n2+q2n'）< O <>+1） < O <> （-,-l）,故=<0” 是“对任意的正整数“，2h-1 +62,i < O ”的必要而不充分条件，故选C.【名师点睛】本题主要考查数列、充分条件与必要条件的相关问题，将数列、充分条件、必要条件、充要 条件相关的问题联系起来，体现了综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.【例2】设a,bER,贝Ira >1,且b 1»是
6、“a + b2“的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“ 1,且D Vf由不等式的性质可知V + b 2笃则充分性成立；若P + b 2”,可能a = 5=一2,不満足F >1,r,即必要性不成立.综上可得： 1,且b 广杲七+ b 2”的充分不必要条件.故选A.2. 充要条件的证明对于充要条件的证明问题：（1）正确找到题目所包含的条件和结论：（2）证明时结构要淸晰，要对充分性和必要性分别进行证明.【例3】已知“,b,C是AABC的三条边，证明:ZXABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=（Ib+ac-t-bc.【解析】（
7、1）充分性（"2+Q+c2=wb+M+%n AABC为等边三角形）：*/ U2+h2+c2=ab+UC+he.： 2a2+IbI+2c22ab+2ac+2bc,' （abF+（"cF+（be）2=0,/. a=h4cjc, /. "=b=c, AABC为等边三角形.（2）必要性（ZABC 为等边三角形=Cr+b2+c2h+ac+hc）:； a=b=c, ： a2+b2+c2=3a2,ah+ac+hc3a2,.*. a2+h2+c2b+ac+bc.综上知,所证结论成立.【名师点睛】在证明时,要注意由"条件二>结论”是证明命题的充分性,由&qu
8、ot;结论二>条件”是IiE明命题的 必要性.3. 条件的探求在求某结论的充要条件时，可以从充分性和必要性两方而入手，得到结论的一致性，即为充要条件；也可以将原命题等价转化，获得充要条件.在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后将所得条件的范阳缩小或扩大即可得到所需要的结论【例4】设"乩 则使/(x+l)<l成立的必要不充分条件是A. -IVXV9B. x>-lC.无>1D lvx<9【答案】B【解析】求解对数不等式Iga + 1)< 1可得O < + 1< 10,. -l<-<9,结合
9、选顷可得，使Igd + 1)<1 成立的必要不充分条件是工> -1故选B【例5】已知方程x2 + (2k-)x + k2 =0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.【解析】设方程x2 + (2k-)x + k2 = O的两根分别为xpx2 ,则使心花都大于1的充要条件为4 = (2I)/ >0 i (Xj-I)+ (X2-I) > O(XI-I)(X2-l)> OHPJ(XI +x2)-2> Oxlx2 -(Xl +x2) + l >0-4结合根与系数的关系有L(2Zr-l)-2>0 ,解得k<-2.疋+(2k-l) + l>0即
10、方程X2 + (2k - l)x + / = 0的两个根大于1的充要条件为k<2【名师点睛】对于不等式(组)的转化必须是等价的,否则求的就不是充要条件由"x1>1,2>1>x1 +x2> 2,xlx2 > 1 S但反过来“XI + x2 > 2,x1x2 > 1 > x1 >l.x2 >IS例如取西=Ux2 二 3,有召 +x2 >2,xlx2 > 1 , 0但没冇保证两个根祁大于1,所以U1+x2>2仅是两个根都大于1的必要条件，不是充分条件.x1x2 > 14. 根据条件求解参数的值或取值范
11、围应用充分条件和必要条件求参数的取值范用，主要是根据充分条件和必要条件，得到相应的逻辑关系， 建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用. 4兀On【例6】设“： 0, Z -(2m + l)x + 7 +ms,若P是q的必要不充分条件，则实数加的取值范2xB. -3,1D. -2,-l)u(0,lA. -2,1c. -2,0) U (0,1【答案】D【解析】P对应的集合为b -2 ,x < O或O <工 2，g对应的集合为Cd肌 X TH + 1,由虐Q的必要不充分条件，得二f<OCl 2解得-2 <m < 一1或0 <m< 故选D.
12、【名师点睛】（1）若卩是q的必要不充分条件，则q对应的集合是P对应集合的貞子集:（2）若P是g的充分不必要条件，则卩对应的集合是q对应集介的貞子集：（3）若卩是q的充分必要条件，贝IJP对应的集合与q对应的集合相等：1XWR * X 2 (Q 0).乙（4）若卩是q的既不充分又不必要条件，则q对应的集介片"对应的集合互不包含.A = (XE RlO <ax+ 1 <5 ,B =【例7已知集合（I）若S = /求实数的值:（2）若命题PxWA命题g:XG瓦 且P是9的充分不必要条件，求实数的取值范弗1【解析】（1）当 >0时，a “11显然力工艮故/1 = 时，<
13、; CI 2 = = 2 .4(2)由题竜知 png, Qdp ,则 B .当>0时，A = x-<x,贝卜或，I斗負解得”当<0吋，A = rf "<-讣则V综上，实数的取值范围是 > 2,或 < -8.【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解步骤一般为： 首先要将p , I7等价化简：根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）： 求岀参数的值或取值范IIt5. 混淆充分条件与必要条件【例 8】设a,bwR,贝I “d + ">4” 是 “">2,且”&
14、gt;2” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【错解】选A.【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不淸.【正解】若">2,且b>2,则a+b>4,但当a = 4,b = 1时也有a+b>4,故本题选B.【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推岀B；而“A是B的充分不必要条 件”则是指A能推出B,且B不能推出A.1. 小思法说“浮躁成绩差“他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的A.充分条件B.必要条件C充分必要条件2. 下列说法正确的是A. >b是2>b2的充分条件C. a&g
15、t;b是a2 > b2的必要条件D.既非充分也非必要条件B. a>b是ac2>bc2的必要条件D. a>b是a>b的充要条件3命题pz>12x-m0,若P是9成立的充分条件，则实数m的取值范帀是A. (-8,0)C. (0, + )B(8卫DO, +8)4. 使不等式X+I4成立的一个必要不充分条件是B. -65x3D-6x2B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A. 2x<3C. -5j35. CCa>b>l是Moga3 Vbg角的A.充分不必要条件C充要条件6. AABC中，tanA>1是A>-的条件(选填充分不必要.必
16、要不充分、充要、既不充分也不必4要)2x>-7. 已知吹2 ”是炉的充分不必要条件,且m Z,则加的最小值是.8. 下列各小题中卩是Q的什么条件？(1) P加V-2或m>6.q:函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；f()(2) p KX) =l,g:冃U)是偶函数；(3) 卩:CoS =cos xan =tan (4) AB=Qi.BQ. 9. 求证"函数J(X)=X2+x+aM 是偶函数'，的充要条件是'HO：10. 已知条件：k-2x<k+5.条件0： O<-2x<3,若"是纟的必要不充分条件，求实数R的取值范围饶力
17、11. 给定两个命题"，q，若r”是§的必要而不充分条件，则”是rg的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. “ -l"是“函数f(x) = ax+2在区间-VJt有零点“的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13. 已知函数门无)与g() = /(o>O且QHi)的图象关于直线y = %对称，则'丁(劝是增函数的一个充分不 必要条件是A OVGV 丄B OVaVl2C. 2<a<3D >l14设甲：J3< + > <5t乙：IlV
18、XV2,那么甲是乙的条件.(填写：充分不必要.必2 < xy <62 VyV 3要不充分.既不充分也不必要或者充要）15已知实数 p： X2 - 4x - 120> q： （X 加）（x 加-l）0.若"=2,那么"是"的什么条件；（2）若“是的充分不必要条件，求实数加的取值范用.16. 已知命题p:关于尤的方程x2- + t + 3 = O有实数根，am + .（1）若r”是真命题，求实数d的取值范囤；（2）若“是g的必要不充分条件，求实数加的取值范围.17. （2018浙江）已知平面,直线加，”满足m<Z, nd a,则mn'是
19、 "的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件18. （2018天津）设XeR9贝广IX 一丄|<丄”是-3<P*的2 2A.充分而不必要条件C.充要条件B. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件19. （2018北京）设afb9cfd是非零实数,则是ZbGd成等比数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件c充分必要条件D.既不充分也不必要条件20. （2017北京）设加M为非零向量,贝存在负数/U使得加=加"是“/WF VO"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D既不充分也不必要
20、条件尺姓题 参左笞窑1234511121317181920BBBBAAACAABA1. 【答案】B【解析】由“浮躁成绩差”可知,“浮躁”是“成绩差”的充分条件,所以由互为逆否命题的真假可知,“不浮躁“是“成绩好”的必要条件.2. 【答案】B【解析】令 = 0>-l= b：但a? < b2M < 2|,排I除AQ;令 = -l,b = O満足Q >肩但 <瓦必要性不成立:排除C.选B.3. 【答案】BYnmQX_ O【解析】由题意命题P*0,命题 2,因为卩是q成立的充分条件，所以2,即m<0.故选B.4. 【答案】B【解析】因为+14=>-5x3, K
21、-5x3>-6x3, （H-6x3>-5x3 ,所以选B.5. 【答案】A <=>oq3 < logi3【解析】由题意，ia>h>l9 fog3a > Iogib > Ot lOg3a log3b：而当b%3 < 0gb3n9根据对数函数的性质可得> b > 1或OVbVaV 1,所>b> 1是弘3成立的充分不必要条件，故选a.6. 【答案】充分不必要【解析】gnA>lu>Z<A<Z,所以tanA> 1是A>-的充分不必要条件.4247. 【答案】-1【解析】由> 扌可
22、得尤> -2=因为"心曲是； >占"的充分不必要条件;所如> -2；又因为m ZS所以m的最小值是78. 【解析】(I)T函数尸X+m申”+3有两个不冋的零点,函数对应的一元二次方程的根的为J别式J=n2-4(w+3)>0,解得m<-2或也>6；又当m<-2或m>6时，函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，."是q的充要条件由 = 1M-v)<v),则尸心)是偶函数；取血)*,可知T(O)=OJt时2无意义因此"是Q的充f(x)f(x)分不必要条件取a=：P=-殳显然COS ez=cos庆但是t
23、an ta氏因此P书q ;44取時后罟,显然tan =tan但是CoS cos尸.因此q*P椒P是q的既不充分又不必要条件.(4)ArW=AoAUBO Q B Q.A 故"是 g 的充要条件.9【解析】充分性:若"皿则.心)*+I + 1(R).又夬-x)=(-)2+I-xI+1=x2+II+1 =X),所以 yU)是偶函数 必要性:若*+m+是偶函数,则,-a-)=-v),即(x )2+I-+I + 1=x2+X+" 1+1,所以 X2+ x-a I + l=x2+lx+l+1,从而 IX a I=Lr+" I,因此(x-a)2(x+a)29整理得-=
24、O.因为xR.所以«=0.综上,得“函数y*+m+是偶函数“的充要条件是“0". x2-2x-3<010.【解析】q:<,即一IVXVo或2vx<3,Jr- 2x > Op.k-2xk + 5 ,Vp * q的必要不充彷糸f I q => P, PAq ,>-2-l+53J.-2k9 即-2j.11【答案】A【解析】由题意知g = -宀-P寺I根据命题四种形式之间的关系 > 互为逆否的两个命题同真同假，所必"lp>等价于lg>p所汉P是7的充分而不必要条件一故迭A.12. 【答案】A【解析】根据零点存在性左理可
25、知，若W = Q + 2在区间-1,2±有零点，则兀-l)(2)S0,即(2-)(2 + 2d) 0,.(- 2)(a + 1) 0,即a 2或a- 1, - 1“是“函数/'(x)=血+ 2在区间- 1,2上有零点“的充分不必要条件,故选A.13. 【答案】C【解析】因为函数/U)与P(X) =川(a>0且a=l)的图象关于直线y = “对称，所以/'(x)io%x.选项A.Ovavbff(x)是增函数“的非充分非必要条件，所以是错误的2选项B.0 V a V 1是“/I©是增函数“的非充分非必要条件，所以是错误的.选项C, 2<a V 3是“
26、/(©是增函数“的充分非必要条件，所以是正确的.选项D. a >1是“f(x)是增函数“的充分必要条件，所以是错误的.故答案为C.14. 【答案】必要不充分【解析】山乙：FvXV2两式相加得3<x+y<5,两式相乘得2<><6,所以乙成立能推出甲成 l2<yv3立.在甲中取X = O.5,y = 4.4,则不符介乙的要求，所以【卩成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.15. 【解析】实数p： - 4.v - 120,解得：-2<6.q： (X - n)(x - tn - l)0,解得：m<x<m+9令 A=J 2,
27、 6, B=m, m+9(1)若 m=2,则 B=2, 3,B,那么P是§的必要不充分条件：(2)若"是"的充分不必要条件，L -2即则<. J 解得：2w5(等号不同时成立)，m +1 6加2 5.16. 【解析】解法一：(1)片命题是真命题时,满足0t则2-4( + 3)0, W-2i6.V -P是貞命题，是假命题，即-2<«<6.故实数的取值范用是(-2,6).T卩是g的必要不充分条件，.>7加十1是-*厂2U6：+力)的真子集；即 7M÷l-2w-l>67 解得 m < -3'> 7.故
28、实数加的取值范围是(YeTU亿+)-解法二：(1)命题 W 关于X的方程x2-ax + a + 3 = O没仃实数很，. -P是貞命题，满足J<0.即，一4(。+ 3)<0,解得一2v"<6故实数的取值范国是(-2,6).(2)由(1)可得当命题P是克命题时，实数的取值范用是(Y,2U6,p),/ P是彳的必要不充分条件，m-l,m+l是(Y, 2U6, +8)的貞了集，即 Irl + 1 -2或ZK-I 6> 解得m -3 或m>l.故实数m的取值范用是(o,-37,-Hz).17. 【答案】A【解析】因为m0,nc,mn,所以根据线面平行的判泄定理得
29、m.由ma不能得出m与a内任一直线平行，所以mn是ma的充分不必要条件，故选a.18. 【答案】A【解析】1X-OoVJCVl由卅 < 1 e j < 1.協此可知r-1 V 2是疋< 1的充分而不必要条件故选A.2 2【名师点睛】本题主要考査不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考査学生的转化能力 和汁算求解能力.19. 【答案】B【解析】±g=4" = l,e = l,c/ =丄时，6b,c,d不成等比数列，所以不是充分条件：4当,b,c,d成等比数列时，贝Wd = be,所以是必要条件.综上所述,“ad = bj是“,b,c,d成等比数列“的必要不充分条件，故选B.20. 【答案】A【解析】若3/<0,使m = n,则两向量加,反向，夹角是180。，那么mnmInlCoS 180o = -mn<0；若JWmV0,那么两向量的夹角为（90。,180。,并不一定反向，即不一定存在负数2,使m = n,所以是充分而不必要条件，故选A.