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1、高中学业水平考试复习资料酒泉市实验中学高二数学备课组整理b2a,顶点坐标为(b 4ac b2 2a' 4a高中学业水平考试基础知识梳理初中部分1. 根的判别式：b2-4ac叫做一元二2次方程ax2+ bx+ C = 0(a0)的根的判别式，通常用符号“”来表示.即b2 4ac对于一元二次方程 ax + bx + C = 0 (a0),有(1) 当> 0时，方程有两个不相等的实数根b P4acX1, 2 =2a(2) 当 = 0时，方程有两个相等的实数根bX1= X2 =；2a(3) 当< 0时，方程没有实数根.2. 一元二次方程求根公式：一元二次方程ax2 + bx + C
2、 = 0 (a0),当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根b b24acX1, 2 =2a3. 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)2bC如果 ax + bx+ C = 0 (a 0)的两根分别是 X1, X2,那么 X1 + X2= , 1 2= aa 24. 二次函数y = ax + bx + C图像;a > 0时，开口向上；av 0时，开口向下，对称轴为：X5. 二次函数的三种表示方式一般式：2y = ax + bx + c(a 0);顶点式：2y = a(x + h) + k (a 0),其中顶点坐标是 (一h, k).交点式：y = a(x X1) (X X2
3、) (a 0),其中X1, x2是二次函数图象与 X轴交点的横坐标.高中部分集合1. 兀素与集合的关系：用或表示；2. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.常用数集：自然数集 N;正整数集N*或N ;整数集Z;有理数集 Q实数集R;子 集集合与集合的关系：用，=表示；任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，记为A ；空集是任何非空集合的真子集；交、并、补1. 交集 A B=xx A 且 X B;并集 A B=xx A,或 x B;补集QA- x|x U,且X A,集合U表示全集.2. 集合运算中常用结论： A B AI B A ; A B AUB B函 数1.函数定义：设 A、B是非
4、空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合 A中的任意一个数X ,在集合B中都有惟一确定的数 f X和它对应，那么就称 f : A B为集合 A到集合B的一个函数,记作：y f x,x A.此时称数集A为定义域，象集C-f(x)x A为值域。2. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 3. 函数定义域的求法：常涉及到的依据为：分式的分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数大于0,底数大于零且不等于 1;零指数幕的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等 4. 求函数解析式的一般方法： 待定系数法：基本初等函数
5、，一次，二次正反比例函数，指数函数，对数函数，幕函数 换元法：如f('x I) X 2仮，求f(x)单 调 性定义法判断函数单调性的步骤：取值：设x1,x2 D,且Xi X2作差：判断f (Xi)与f(X2)的大小关系 变形：因式分解，配方或通分结论：若 f (xi)<f (X2)则函数为增函数，反之则为减函数)奇 偶 性1. 偶函数的判定：两个条件冋时满足定义域一定要关于原点对称，满足f( x) f(x).图像特点：偶函数的图像关于y轴对称。2. 奇函数的判定：两个条件冋时满足定义域一定要关于原点对称，满足f( x) f(x).图像特点：奇函数的图像关于原点对称。注：函数定义域
6、关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解 析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f( x) f(x) 0。3. 定义法证明函数的奇偶性：考察定义域是否关于原点对称判断f (-X)与f (X)的关系下结论4. 函数的图象平移左移a个单位r Z yf()右移a个单位yXa)yf (x a)上移b个单位.£/£/匚 yf(X)y b f(x) y f(x) byf (X)下移b个单位y b f (x) y f (x) b零 占 八、1. 定义：函数图象与 X轴交点的横坐标。函数y f X有零点方程f X 0有实根函数y f X的图象与X轴有交点2.
7、零点存在判定定理：若函数y fx在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)?f(b) 0,贝U f (x)在区间 a,b上有零点。即存在 C a,b ,使得f c 0。指 数 函 数 与 对 数 函 数1、（一）指数与指数幕的运算Xn a ,那么X叫做a的n次方根。其中n 1, n N .当n为奇数时，Tan a ；当n为偶数时，:an我们规定:nammana 0, m,n*N,m 1 :n a运算性质: arasar Sa 0,r,sQ;r Sarrs aa 0, r,sQ ;ab rarbr a 0,b0,rQ .J对数运算：ax NXIOgaN ;般地，如果2、a .3、4、
8、1、4 n 0 ;a2、3、4、两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数lg N ； 自然对数：以无理数 eloga10,当 a 0,a log a MNMNlog a a 1.1,M0,NIoga M0时：Og a N log aIOgaMOga N2.71828为底的对数的对数In N . log a M nnog a M .5、换底公式：log a b log C bIogc aa 0, a 1,c 0,c 1, b 0 .（三）指数函数y=ax在其底数a>1及0<a<1这两种情况下图象特征和性质如下:底数a>10<a<1图象Xyy=a (a>
9、1)/y=1 -JIey=ax(0<a<1)水 y y=×U.、O×O：性质定义域值域定义域:(, +)值域：(0 , +)函数值的 分布情况当时x=0, y=1 .图象都经过点（0 , 1）.当 x>0 时，y>1当 x<0 时，0<y<1当 x>0 时，0<y<1当 x<0 时，y>116单调性在（, +）上是增函数在（-, +）上是减函数（四）对数函数的图象与性质:a>1OV a V 1差 数 列 与 等= II ,t'=lg J (il)y=oajA-（1）定义域：（0, +）,值
10、域：R(2)过点(1, 0),即 X = 1 时，y = 0在（0, +）上是增函数（3）在（0, +）上是减函数（五）幕函数的图象和性质:幕函数图象定义域值域y = Xy= XOOOy= X 1120 , + )(, 0) U (0, + )0 , + )0 , + )(, 0) U (0, + )1.数列a的前项和Sn与通项a的关系:Sl(n 1)aSh S1( 2)等差数列等比数列定义a 1 a d(d 为常数， 2)aq(q 0,且为常数，n 2) a递推公式a a 1 d (a am ( m)d)n ma a 1q ( aamq)通项公式aa1 ( 1)daa1q ( a1, q 0
11、 )中项Aa ka k2GVan ka k (ai ka kO)(n, k N , n k 0 )(n,k N ,n k 0 )前n项和On/、n(nSn -(a1 an) na1 亠L2 2d2dna1 n2 2I)dn a1(q 1)Sn a1 1 qa1 anq (q 1)1 q1 q重要性质 等和性：am an ap aq (m, n,p,q N*,m n Pq) an am (n m)d 从等差数列中抽取等距离的项 组成的数列是一个等差数列。 等积性：am an ap aq(m, n, p,q N*, m n P q)兮n m an am q 从等比数列中抽取等距离的项组成的 数列是
12、一个等比数列。证明方法证明等差数列的方法：1. 疋义法 an I an d(常数)2. 中项法an 1 an 1 2an(n 2)证明等比数列的方法：1. 定义法旦Jq(常数)an2. 中项法an 1 an 1 (an)2(n 2)设元技巧三数等差：a d, a,a d三数等比： ,a, aq或a, aq, aq2q角 的 概 念1. 与 (0°<360 °)终边相同的角的集合：Ik 360,k Z ; 终边在X轴上的角的集合：|k 180 ,k Z ； 终边在y轴上的角的集合：|k 180 90 ,k Z ； 终边在坐标轴上的角的集合：|k 90 ,k Z . 18
13、0 02. 角度与弧度的互换关系：180 ° =rad ，1 rad1 113. 弧度制下，扇形弧长公式I-IIr ,扇形面积公式S IR - R2 | | ,其中为弧所对2 I22圆心角的弧度数。角 函 数一任意角的三角函数1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点PXIy ,那么：Siny, COSX) tan.X2、 设点Ax。为角 终边上任意一点，那么：(设r Jx2 y：)yoo4yoSin, cos, tanrrX03、各象限角的各种三角函数值符号：一全正二正弦，三切四余弦二.冋角三角函数的基本关系式1、 平方关系：Si n2cos212、商的关系： tan.COS三
14、诱导公式(共六组)：1、诱导公式一：角 函 数 公 式Sin2kCOS2kSin ,COS ,(其中tan .tan2k2、诱导公式二:SinSin ,COSCOS ,tantan .3、诱导公式三:SinSin ,COSCOS ,tantan .4、诱导公式四：SinSin ,COSCOS ,tantan .5、诱导公式五:Sin 2COS ,COS 2Sin .6、诱导公式六:Sin 2COS ,COS 2Sin .记忆口诀：1.函数名不变，符号看象限：2.函数名改变,符号看象限：3.奇变偶不变，符号看象限:k Z),2公式组一cos()cos cos msinSin；sin()Sin c
15、oscosSintan(、 tantan)1 mtan tan公式组二Si n22 si n cos ；cos22 2C2cosSin2cos21 1 2si n2（二）两角和与差公式（升幕公式）降幕公式：sin222ta ntan 221 tan2公式组三tan常用角变换：2 （ ）tan1 cos2tan()、2COS2)(11 cos2tantan )；1、周期函数定义：对于函数f X ,如果存在一个非零常数 T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有f X T f X ,那么函数f X就叫做周期函数，非零 常数T叫做这个函数的周期.2、三角函数的性质3、y Sin X的对称轴方程是X k
16、（k Z），对称中心（k ,0）；2y COSX的对称轴方程是X k(k Z），对称中心（k -1 ,O）；2，y tan X的对称中心（kC A,0).24、y ASin Xb A 0,0 有:2振幅A,周期T,初相，相位X频率f T 2 -5、图像变换（1）平移变换：ySin X ySin (X)（2）周期变换：ySin XySin X（3）振幅变换；ySin XyASin X正 弦 疋 理a b CSin ASin BSinC2.变形：a : b: C2R （其中R为 ABC外接圆半径）Sin A: Sin B: SinC ,a 2RsinA,b 2Rsin B, c 2RsinC ,
17、SinA ,si nB 2Rb,sin C 2RC2R余 弦 疋 理2b22 cos Ab22 2 C aaC2bCCOSA2bcb22 a2 C2accosB ;推论：cos B2 a2 2C b2 C2 ab22abcosC22acI 2 22 I 2 2CabCCoSC 2ab面 积 公 式1 1 1S= absi nC= bcsi nA= casi nB2 2 2一、向量的有关概念1. 向量：既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向 线段的长度）2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量 注：向量不能比较大小，因为方向没有大小3. 零向量：长度为零的向
18、量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.4. 单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个.5. 共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.注:共线向量又称为平行向量.规定：0与任一向量共线.向 量 的 概 念 及 运运算图形语言付号语言坐标语言加法与减 法Br4OA+OB=OCOB OA=AB记 OA=(X 1,y", OB=(X 1,y 2) UID UIrU则 OA OB=(X 1+x2,y 1+y2) UIrU UUDOB OA= (x2-x 1,y 2-y 1)BOA+AB=OB数乘h 、AXrBAB = a R记 a =(,y)则 a =( , y)两个向
19、量 的数量积r r r rJr r,.a b a bcoSa,b/rr记a (X1,),b (X2,y2) 贝 U a b =x1x2+y1y2T、向量的运算6. 相反向量：长度相等且方向相反的向量.两个向量平仃的充要条件：a bab(b 0)设非零向量ax1, y ,bx2,y2 ,则 a / bx1y2-x 2y1=o两个向量垂直的充要条件：a ba b0 x1 x2y1 y20两个向量数量积的重要性质:2 a | a |2即|a|打（求线段的长度）;a bra b 0（垂直的判断）;金a b宀、CoS石十（求角度）。IaelrblCos叫做向量IbI在 a方向上的投影UiUly) P2(
20、2,y2),则 PP2 = (XULliJDPP2如果R（x1,X1, Y2%),J(X2 X1)2 (y2 y1)2基 本a b定理：如果a,b是正实数，那么a b 2ab （当且仅当a=b时取“=”号）.不 等变形：a+b20F式ab2a b/、KI=f 7、叱r u时取“=”号）（当且仅当 a - bA使用条件：一正、二定、三相等功能：求最值,积疋和最小，和疋积最大线1.二兀一次不等式表示平面区域；（直线疋边界、特殊点疋区域)性2.线性规划规（1）约束条件、线性约束条件：变量X、y满足的一组条件叫做对变量X、y的约束条件，如果划约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性约束
21、条件;目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量X、y的解析式，叫做目标函数.如果这个解析式是 X、y的一次解析式，则目标函数又称为线性目标函数；（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题；（4）可行域：满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解3.求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组,求最值.1.直线的倾斜角：CO 180.2.直线的斜率:k tany2 y1X2XI斜率存在的两条直线l 1 : y=k1X+b1, I 2 :y=k2
22、+b2，贝V I 1 / I 2k1=k2;且 b1 b2两直线垂直:斜率存在的两条直线I 1 y=k1x+b1,l 2： y=k2X+b2,贝U I 1 I2k1 k2= -1;名称方程说明适用条件直 线 的 方 程斜截式y=kx+bk斜率 b纵截距倾斜角为90°的直线不 能用此式点斜式y-y 0=k(x-x 0)（X0, yo）直线上已知点， k斜率倾斜角为90°的直线不 能用此式两点式y y1 = x X1 y2 y1 X2 X1（X1, y1）, （X2, 上两个已知点y2）是直线与两坐标轴平行的直线 不能用此式截距式X y -+j-=1a ba直线的横截距 b直线
23、的纵截距过（0 , 0）及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式一般式Ax+By+C=0 （A、B不全为零）A B不能同时为零距 离 公点 P(X0，yo)到直线 I : Ax+Bv+C=0的距离 d= AXO ByO C ；a2 B2式两平行直线I i：Ax+By+Ci=0， I 2：Ax+Bv+C2=0之间的距离d= 1 12 1JA B2。一、圆的方程形式：2 2 2圆的标准方程：（-a） +（y-b） =r ,其中（a,b ）是圆心坐标,r是圆的半径；圆 的 方 程2 2DE圆的一般方程：X +y +Dx+Ey+F=O,圆心坐标为（-一，-一），半径为2 2V1D2 E2 4Fr= 12二
24、、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax+By+C=0圆：2+y2+Dx+Ey+F=0联立得方程组 0AX By C 0消元一判别式人22一兀二次万程 0X y DXEyFO b2 4acA 0相交相切相离2 2 2(2)几何法：直线:Ax+By+C=0,圆：(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a ,b）到直线的距离为A2 B2，三、圆的切线：1.求过圆上的一点（X。，y。）圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线1斜率为丄，由点斜式方程可求得切线方程；k2.求过圆外一点（X0,y°）圆的切线方程：设切
25、线方程为V Vo k(xXo)即kx-y kx0 V 0,然后由圆心到直线的距离等于半径，可求得k,切线方程即可求出过圆注：以上方法只能求存在斜率的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得 .2 2 2 2XVr上一点P(XOIV0)的切线方程为XX0 yy° r .平1、空间几何体的结构面常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。及棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平空 间行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥丿氐面的平面去截棱锥，丿氐面与截面之间的部分，这样的多面体叫做直棱台。线2、空间几
26、何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点； 光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。把在一束平行3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面 2 r I圆锥侧面积：S侧面r I圆台侧面积：S侧面r IR I体积公式：11 V柱体S h ； V锥体一S h ；V台体一S上毛S上S下S下h33球的表面积和体积：243S 球4 R，V 球3 R.1.平面的基本性质：公理3:不共线的三点确定一平面.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行；如果
27、一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补1.直线与平面平行一一没有公共点.直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行么这条直线和这个平面平行a , ba / ba /直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相平 行 与 垂 直交,那么这条直线和交线平行I mm2.两平面平行没有公共点(I )两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 即a b aI b Pa/b/推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两 个平面平行.
28、即a b ,al b A,m,n ,m n Ba/ m , b/ n垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行即 l, l;( )两个平面平行的性质定理:/如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行即I a, I b3.直线和平面垂直a/ bl和一个平面内的任意一条直线都垂直 ，那么就说直线l和平面 互(1)定义：如果一条直线 相垂直.记作:l(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平m ,n ,ml n A面.即ll m, l n(3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a 即a bb4.两
29、个平面互相垂直两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂a直.即a两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.即aa, a l统 计1. 众数、中位数、平均数2 1 - 2 - 2 - 22. 方差、标准差：S-XXX2 XLXnXn类另U共同点不同点联系适用范围简单随 机抽样抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体个数较少系统 抽样将总体均分成几部分， 按事先确定的规则在 各部分抽取在起始部分抽样时用简单 随机抽样总体个数较多分层 抽样将总体分成几层，分层 进行抽取各层抽样时采用简单随机 抽样或系统抽样总体由差异明显的 几部分组成3.茎叶图、频率分布直方图、频率分布折线图概率dS曰弁坐r厶匕弁/ A所包含基本事件的个数1. 古典概型：有限性、等可能性；P(A)= 甘缶击莎基本事件的总数C /、构成事件A的区域的长度(面积、体积)2. 几何概型：无限性、等可能性；P(A)=:所有事件构成的区域的长度(面积、体积)