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1、寒假精练7导数及其应用典题温故1. （2019全国三卷）已知曲线 y=aeX lnx在点（1,ae）处的切线方程为 y = 2x b ,A. a=e, b -1B. a=e, b=1 C. a=e,b=1 D. a = L , b = -1【答案】D【解析】令y = f（x）XX=aexln X ,贝U f (x) = ae ln x 1 ,f (1) =ae 1 = 2 ,又 f (1) = ae = 2 b, 可得b = -1 .故选D.2.已知定义域为R的奇函数y = fx的导函数为y若a丄1 ,313丿b3f -3 , c = ln13,则a，b， C的大小关系正确的是（A. a ：
2、b ： CB. b ： C ： aC. a C bD. c ： a ： b【答案】C 【解析】 定义域为R的奇函数y = f X , 设 FXiUXf X , F X 为 R 上的偶函数， F x = f Xi 亠 xf X ,当 X=O时，x f 0 ；当 X 0 时，Xf X f X - 0 ,X当 X ： O 时，Xf X f X ： 0 , 即F X在0,=：单调递增，在：；：-0单调递减.f 1 =F In3t , F -3-3f -3 =F 3 ,F l n1.3=C= Infln-Fln3 ,Tn 3 e ： In 3 . 3 ,' F ln 3 e ： F In 3 ：
3、 F 3 ,即 a ： c ： b ,故选 C.经典集训一、选择题1. （ 2018全国三卷）函数y = -X8A . 4B . 1C .D .33 X2 2的图像大致为（）B.5.已知函数2 af X = X ,若函数Xf X在X：= 2,上是单调递增的，则实数a的取2函数f X =X4 2a-3 X2 ,则f X在其图像上的点 1,-2处的切线的斜率为A. 1B. -1C. 2D . -22 3 23.已知函数f X X aX在X =1处取得极值，则实数 a=()3A. -2B. 1C. 0D. -14.函数f X =13-44在0,3】上的最小值为()3值范围为（）A.-: ,8 ID
4、.：，-16 IU 16,:-A.f.2是fX的极大值也是最大值B.f.2是f X的极大值但不是最大值C.f-,2是fX的极小值也是最小值D.fX没有最大值也没有最小值2 7 已知函数-4ax -1n X , 则f(X )在 (1,3 )上不单调的一个充分不必要条件是()f 1 )( IyC)f 1 1 )A. a 一 ：-,B. a,：- C. a ,：-D. a ,.6. 2'22飞&设f X , g X分别是定义在 R上的奇函数和偶函数， X , g X为导函数，当X ： O 时，f X g Xf X g X ,0且g ：；厂3 = O ,则不等式f X g X ： O的
5、解集是()A . -3,0 U 3B .-3,0 U 0,3C . ,-3 U 3, ：D . :-3 U 0,3二、填空题9. (2019全国一卷)曲线y=3(x2+x)eX在点(0,0)处的切线方程为 .310 .已知方程X T2x+1 -2a = 0有3个不同的实数根，贝U实数a的取值范围是 .三、简答题11 . (2018 全国一卷)已知函数 f(x)=aex-lnx-1.(1) 设X =2是f (X)的极值点，求a,并求f (X)的单调区间；1(2) 证明：当 a 时，f(x) _0.eax + x 112. (2018全国三卷)已知函数 f Xe(1) 求由线y二f X在点0, -
6、1处的切线方程；(2) 证明：当 a _1 时，f X e _0 .13. (2019 全国一卷)已知函数f(x) =2sin X-XCOSX-X， f (x)是 f (x)的导数.(1)证明：f(X)在区间(0, 存在唯一零点；(2)若X 0, 时，f(x) - ax ,求a的取值范围.【答案与解析】、选择题 1【答案】D【解析】当X=O时，y=2 ,可以排除A、B选项;又因为y - -432 = -4X(X则f ()0的解集为(- ：,-)U(0,-2)，f()单调递增区间为2f(厂：。的解集为(可0)UV) ,f(x)单调递减区间为( 结合图象，可知 D选项正确.2.【答案】D【解析】把
7、点的坐标1, -2代入函数的解析式得 -2 = 1 2a - 3,a =0 , f X = 4 -32,f X =4x3-6x , k = f 1 =4-6-2 ,二切线的斜率为 -2 .故选 D.3. 【答案】D【解析】f X = 2x2 2a , .在X =1处取得极值，/. f 1 = 0 ,即1 =2 2 a0. a = -1 ,故选D .4. 【答案】C【解析】f X =1x3 _4X 43f X =X2 -4 = X 2 x-2 ,在0,2 1上递减，在2,3 1上递增，因此可知函数在给定区间的最小值为x = 2时取得，且为4丄,故选C.35.【答案】B【解析】函数f X在 2,
8、f 上单调递增,则 fx =2xa2XC 32x -a2X：-0在X m 2,亠上恒成立.则a < 2x3在X三2,上恒成立， a16 .故选B.6. 【答案】A【解析】函数 f X = 2x-x2 e 的导数为X = 2-2x ex- 2x-2 ex = 2-2 ex , 当-2 ： X ：、2 时，f X ，0, f X 递增；当 X -、2或 X ：-'、2 时，X ： 0 , f X 递减，则f 、2取得极大值，f -、.2取得极小值，由于 X - 2 时，且无穷大，f X趋向无 穷小，x：0时，f xi；=2x-x2 ex ：0 ,则f G 取得最大值，无最小值.故选A
9、 .7. 【答案】C21 2ax _ 4 ax _1【解析】 x；=2ax-4a, f X在1,3上不单调，XX令 g (x ) = 2a24ax-1 ,则函数 g (x )= 2a24ax-1 与 X 轴在(1,3 )有交点，I 16a +8a 兰0& 如 1a = 0时，显然不成立，a = 0时，只需，解得a ,故选C.g(1 )g"02&【答案】D【解析】设F X = f X g X ,当X 0时, F' f X g X f X g X 0 , F X 在当 x ： 0 时为增函数. F -X = f -X g X = f X g =-F X ,故 FX
10、 为：；：Y斗0 U。,仁上的奇函数. F X在0, 上亦为增函数.已知 g -3 =0 ,必有F -3 =F 3=0丨构造如图的F X的图象，可知F X ：0的解集为x" S-3 U 0,3 .故选D.二、填空题 9.【答案】y=3x【解析】Ty= 3(2x 1)ex 3(2 x)ex = 3(2 3x 1)ex,结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率为切线方程为y =3x .10.【答案】上丄3X -12x = 2a-1 有三个I 2 2丿【解析】方程X3 -12x 1 - 2a =O有三个不同的实数根，也即方程不同的实数根, 令f XiuX3 -12x ,
11、g Xi= 2a -1 ,则f X与g X有3个不同交点, 2a -1应介于f X的最小值与最大值之间，对 f X 求导，得 f X = 3x2 -12 ,令 f X = 0 ,得 x = 2 或2 .f ：；：-2 =16 , f 2 = -16, f X的最小值为T6，最大值为16,16 ： 2a 1 ： 16 ,上<a<,故答案为TQ三、简答题111.【答案】(1) a 2 ,单调增区间为(2,=),单调减区间为(0,2) ； (2)证明见解析. 2e21【解析】(1) f(x)定义域为(0,7), f(x)=aex-1 ,X2 1 1T X= 2是 f (x)极值点， f
12、(2) =0 , ae 0= a 二.22e2 ex在(O,：)上增，a 0, aex在(0,：)上增.1 一 一 又在(0,：)上减， f (x)在(0,：)上增.X又 f (2) =0 , 当 X (0,2)时，f (X) f (X)减；当 X (2,：)时，f (x) . 0 , f (x)增.1综上，a2 ,单调增区间为(2,=),单调减区间为(0,2).2e(2 ) eX _0 当时，有 aeXeX V ,ee f(x)=aeX-lnx-1=eX'-lnx-1.令 g( x) = ex' -ln x -1 , X (0,：).X 11g (Xe ,同(1)可证 g (
13、x)在(0, ：)上增，XI I 1又 g 乂10 ,当 X (0,1)时，g (X) <0, g(x)减；当 X (1,：)时，g (x) 0 ,1g(x)增. g (X) min =g(1)=e-l n1 -1=1-0-1=0 ,1当 a 一 时，f(x) 一 g(x) 一0 .e12.【答案】(1) 2x-y -1=0 ； (2)证明见解析.【解析】(1)由题意:(2ax 1)ex -(ax2 x-1)ex-axf (0) =1 =2 ,即曲线y = f X在点0,-1处的切线斜率为2 , y -(-1) =2(x -0),即 2x-y -1 =0 .(2)证明：由题意：原不等式等
14、价于ex 1 ax2 x-1 - 0恒成立，令 g(x) = ex 1 ax2 X -1 , g (x) = ex 1 2ax 1 , g (x) = ex 1 2a , 2ax-x 2X,e g (x)在(v,：)上存在唯一0使 g(XO)=O ,.ex12axo1 = 0 ,即e" + = -2axo-1 ,且g(x)在(-o,x0)上单调递减，在(x0,+zc)上单调递增， g() -g(o) X 卫22又 g(xo) =eax。xo-1=ax° (1-2a)x)-2 = (axo 1)(x°-2),11 -lg (-) =e a -1,a1 1a _ 1
15、, 0_e a_1：e-1, x。, g(x°)_ 0 ,得证.a综上所述：当a _1时，f X e _ 0 .13.【答案】(1)证明见解析；(2) (-：,0.【解析】(1)由题意得 f (x) =2cosx - cosx x(-s inx) -1 = COSX XSi nx-1,令 g(x) =cosx xs in x-1 , g(x)=xcosx , 当X (0,时，g(x) 0, g(x)单调递增；当X(2, 时，g() "0, g(x)单调递减， g(x)的最大值为g(-) = -1 ,2 2又 g( = 2 , g(0) = 0 , g( ( < 0 ,
16、即 f ( f (予：0, f (x)在区间(0, 存在唯一零点.(2)由题设知 f ( - a , f ( = 0 ,可得 a 0 .由(1)知，f (x)在(0, 只有一个零点，设为 X0 ,且当 X (0,x°)时，f (X)0 ；当 X (X。， 时，f (XP:： 0,所以f（x）在（0,x°）单调递增，在（X。，单调递减.a -1 , g (x)0恒成立， g (x)在(一峯*：)上单调递增,f (X) _0.又 f(0) =O, f ( R=O,所以，当 X 0, 时，又当 a _ 0 , X 0, 时，ax _ 0 ,故 f (X)- ax因此，a的取值范围是(-：,0.