指导书信源编码习题详解.doc

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1、 第七章 信源编码7-1已知某地天气预报状态分为六种：晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨。 若六种状态等概出现，求每种消息的平均信息量及等长二进制编码的码长N。 若六种状态出现的概率为：晴天0.6；多云0.22；阴天0.1；小雨0.06；中雨0.013；大雨0.007。试计算消息的平均信息量，若按Huffman码进行最佳编码，试求各状态编码及平均码长。解: 每种状态出现的概率为因此消息的平均信息量为等长二进制编码的码长N。各种状态出现的概率如题所给，则消息的平均信息量为 Huffman编码树如下图所示：由此可以得到各状态编码为：晴0，多云10，阴天110，小雨1110，中雨11110， 大雨1

2、1111。平均码长为：7-2某一离散无记忆信源（DMS）由8个字母组成，设每个字母出现的概率分别为：0.25，0.20，0.15，0.12，0.10，0.08，0.05，0.05。试求： Huffman编码时产生的8个不等长码字； 平均二进制编码长度； 信源的熵，并与比较。解：采用冒泡法画出Huffman编码树如下图所示可以得到按概率从大到小8个不等长码字依次为：平均二进制编码长度为信源的熵。比较：7-3一离散无记忆信源每毫秒输出符号集A，B，C，D，E，F，G，H中的一个符号，符号集中各符号出现的概率分别为0.01，0.03，0.35，0.02，0.15，0.18，0.19，0.07。试求信

3、源的熵；进行Huffman编码；求平均信源编码输出比特速率；在有和无信源编码时所需的最小二进制信道比特速率。解：信源的熵为Huffman编码树如下图所示可以得到各符号的Huffman编码为：A011111，B01110，C00，D011110，E010，F11，G10，H0110。已知码元速率为，而码元平均信息量（即信源熵）为，因此平均信源编码输出比特速率为 对于信源总共8个符号，无信源编码时，每个符号最少用3bit表示，因此最小二进制信道比特速率为有信源编码时，最小二进制信道比特速率为。7-4某一DMS有5种信源符号，每种符号出现的概率均为1/5，试计算以下几种编码情况下的有效性（效率）。

4、每个符号分别进行等长二进制编码； 每两个符号组合进行等长二进制编码； 每三个符号组合进行等长二进制编码。解：编码效率定义为每符号信息量H(x)与每符号平均编码长度的比值。对于等长编码的扩展编码，编码效率可表示为其中表示符号数，J表示对连续J个符号统一编码。7-5已知基带信号为，对其进行理想抽样，并用理想低通滤波器来接收抽样后信号。 试画出基带信号的时间波形和频谱； 确定最小抽样频率； 画出理想抽样后的信号波形及频谱。解：基带信号可表示为，可将视作低频包络，将视作高频振荡，作图如下：。基带信号f(t)由两个余弦信号相加构成，因此其频谱为两对离散谱线，如下图所示：7-6已知信号。画出用冲激序列对其

5、抽样后的频谱，抽样速率如下：（a）35样值/秒 （b）15样值/秒 （c）10样值/秒假设进行以上抽样后的信号通过一重建低通滤波器，低通滤波器的传递函数为 求出每种情况下的输出信号。当抽样信号中存在混叠时，指出输出信号中哪些是混叠成分，哪些是所希望的信号成分。解：，信号角频率，信号频率。（a）抽样频率，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱如下图所示：再经过重建低通滤波器，得到输出信号为（b）抽样频率，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱如下图所示：再经过重建低通滤波器，得到输出信号为（c）抽样频率，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱如下图所示：再经过重建低

6、通滤波器，得到输出信号为 7-7已知信号f(t)的最高截止频率为，若用图E7.1所示的q(t)对f(t)进行自然抽样，q(t)是周期为的周期三角波。试确定已抽样信号的频谱表示式，并画出其示意图。图E7.1解： 其中，令，则。则已抽样信号频谱。作图如下7-8已知低通信号最高频率为，若用高度为1、宽度为、周期为的周期性三角脉冲对其进行自然取样。画出已抽样信号的波形图；求已抽样信号的频谱，并画出频率草图（低通信号及其频谱的形状可自己假设）；若改为用周期性冲激函数进行抽样，重复步骤、，并比较两者在波形和频谱上的差别。解： 低通信号、周期三角脉冲信号及已抽样信号的时域波形分别如下所示 三角脉冲及其频谱可

7、表示为，则周期三角脉冲信号及其频谱可表示为，其中因此已抽样信号的频谱为作出频谱草图如下所示： 周期性冲激函数可表示为可以做出低通信号、周期性冲激函数及已抽样信号的时域波形分别如下所示周期性冲激函数的频谱为作出频谱草图如下所示： 比较：时域：一系列三角窄脉冲和一系列冲激函数。 频域：抽样信号有一包络和抽样信号包络为一水平直线。7-9画出用4 kHz的速率对频率为1 kHz的正弦波进行自然抽样所获得的PAM信号的波形；若要获得平顶PAM波形，重复步骤。解：频率为1 kHz的正弦波和抽样脉冲串的波形如下图所示：自然抽烟信号和平定抽样信号如下图所示：7-10已知信号的频谱如图E7.2所示，对其进行理想

8、抽样。 若用理想低通滤波器接收，试确定抽样频率； 若采用RC滤波器接收，要求抑制寄生频谱并且具有2kHz的过滤带，试确定抽样频率。 图E7.2解：由于信号最高频率为，因此理想抽样频率为。RC滤波器结构如图E3.2所示，其传输函数为以其3dB带宽作为RC滤波器的带宽，在其两侧取2kHz的过渡带。如下图所示：可以得到抽样频率最小为7-11模拟语音信号的频谱如下图E7.3所示，以10kHz的速率对这一波形进行抽样，抽样脉冲宽度=50s。 1-44f(kHz)|W(f)|图 E7.3找出自然抽样PAM波形频谱的表达式，并画出所得到的结果；找出平顶PAM波形频谱的表达式，并画出所得到的结果。解：自然抽样

9、信号为其中p(t)是矩形脉冲，脉冲宽度=50s；是抽样间隔。该信号的傅里叶变换为其中矩形脉冲p(t)的傅里叶变换为因此自然抽样PAM信号为其频谱为频谱如下：先做理想抽样，得到抽样信号为该脉冲串信号通过脉冲形成器（形成脉冲p(t)），得到平顶抽样PAM信号为其频谱为：频谱图如下：7-12一低通信号，它的频谱由下式给出： 其他若对进行理想抽样，抽样频率，试画出抽样后信号的频谱图； 若抽样频率，重复步骤。解：F(f)的频谱图如下所示其理想抽样信号频谱为据此，对抽样频率和，其抽样后信号频谱分别如下所示7-13均匀抽样定理告诉人们：一个带限信号完全可以由它在时域上的抽样值确定。与此对应，对一个时域上受限

10、的信号（即时，），试说明的频谱完全可以由频域上的抽样值确定（其中）。解：时域上受限的信号可表示为令其傅立叶变换为，对进行频域抽样得（f0为抽样频率）则对应时域信号为可以看出，是x（t）的周期延拓。当，即时，中没有时域的混叠，因此可由其中取出x(t)：让xs(t)与理想矩形信号g(t)相乘 得到对该式取傅立叶变换，可得可见，当，即时，X(f)仅由X(kf0)决定。得证。7-14 12路载波电话的频带范围为60108Hz，对其进行理想抽样，试确定最低抽样频率值，并画出理想抽样后的频谱。解：复合信号为带通信号，其下截止频率和上截止频率分别为。因此信号带宽为。上截止频率与带宽的关系为。因此，由教材式（

11、7.39）可以得到抽样频率满足带通信号及其理想抽样后的频谱图如下7-15已知某量化器量化特性如图E7.4（a）所示，设。试： 画出误差特性； 若输入，画出波形；若输入信号如图E7.4（b）所示，试画出此时的量化失真波形，并求其平均功率。 图E7.4解：误差特性如下图所示当输入时，、和波形分别如下，其中用实线表示，用虚线表示。输入信号可表示为。vi的分段区间可表示为，则每一段上的voi。设vi的i的取值范围是i=,每段区间长T=1，则vo的取值范围是N，N，输入信号的持续时间为(2N+1)T。那么，vo（t）的平均功率为量化失真输出波形如下7-16若采用对数压缩律编码，=100，。 试求相应的扩

12、张特性； 若划分为32个量化级，试计算压扩后对小信号量化误差的改善程度。解：依题意，律的压缩特性为：整理为因此，可以得到律的扩张特性为：设x为输入，y为压缩输出，则压缩特性为若划分为32个量化级，则相当于y均匀量化为32个量化级，即量化台阶为。代入上式，则在小信号时（即零值附近），有对应x的最小量化级为比较：均匀编码时x的最小量化台阶。压扩后小信号量化误差小了20倍左右。7-17采用13段折线A律编码，设最小量化级为一个单位，已知抽样脉冲为+635个单位。 试求此时编码器输出码组，并计算量化误差（段内码用自然二进制码）； 写出对应于该7位码（不含极性码）的均匀量化11位码。解：采用逐位比较反馈

13、型编码规则，设8位码为。1)确定极性码D1。+635>0，D1=12)确定段落码。 635>125，D21 635>512，D31 635<1024，D403)确定段内码。635<512+8×32， D50 635<512+4×32， D60 635>512+2×32， D71 635>512+2×3232608，D81 故输出码组11100011。 量化误差为63560827<32。608=512+64+32，因此对应于量化值608的均匀11位码为。7-18采用13折线A律译码电路，设接收端受到的码

14、组为01101100，最小量化级为一个单位。试求译码输出为多少个单位。写出对应于该7位码（不含极性码）的均匀量化11位码。解：设711转换后的输出为I1）极性码为0，I<0。2）段落码为110，量化值落在第7段。该段起始电平为512单位，量化台阶为32单位。3）段内码为1100，因此 I=-(512+12×32)-896单位。由于译码时采用712转换，还需外加单位以减少量化误差。故译码器输出为量化单位896512256128，故对应均匀量化11位码为。7-19将一个带宽为4.2 MHz的模拟信号转换成二进制的PCM信号以便在信道上传输。接收机输出端的信号峰值与量化噪声功率比至少

15、为55 dB。求PCM码字所需的比特数目以及量化器所需的量化台阶数；求等效的比特率；如果采用矩形脉冲波形传输，则所需的信道零点带宽是多少？解：已知量化信噪比与每样值比特数N的关系为因此有，取。则量化器所需量化台阶数。设矩形脉冲宽度为，采用不归零脉冲，因此。所需零点带宽为7-20用一个850 MB的硬盘来存储PCM数据。假设以8 千样本/秒的抽样速率对音频信号进行抽样，编码后的PCM信号的平均SNR（信噪比）至少为30 dB。问此硬盘可以存储多少分钟的音频信号所转换的PCM数据？解：，因此，取N=5。比特率因此，存储信号时长为7-21给定一个模拟信号，它的频谱成分在频带300 Hz到3000 H

16、z的范围内，假设利用7 kHz的抽样频率对其进行PCM编码。画出PCM系统的方框图（包括发送机、信道与接收机）；假设接收机输出端所需的峰值信号与噪声功率比至少为30 dB，并且使用极性矩形脉冲波形传输，试计算所需的均匀量化台阶数以及零点带宽；讨论如何采用非均匀量化以提高系统的性能。解：PCM系统的方框图如下，所以，取N=5。量化台阶数。假设采用不归零矩形脉冲，即脉冲宽度，为抽样间隔。那么零点带宽为 均匀量化由于量化台阶固定，量化噪声不变，因此当信号较小时，信号的量化信噪比也就很小。这样对小信号来说量化信噪比就难以达到给定的要求。在给定信噪比要求时的信号取值范围（即信号动态范围）受到较大限制。

17、非均匀量化使得小信号时量化台阶较小，大信号时量化台阶较大，信号的量化信噪比在一定信号取值范围内保持相对变化较小。换言之，在给定信噪比要求时的信号取值范围（即信号动态范围）相比均匀量化时要大。7-22在一个PCM系统中，由于信道噪声所引起的误码率为。假设恢复出的模拟信号的峰值信号与噪声功率比至少为30 dB。试求所需的量化台阶的最小数；如果原始的模拟信号的绝对带宽为2.7 kHz，那么采用双极性矩形脉冲波形传输时，PCM信号的零点带宽是多少？解：输出信号的总信噪比可表示为根据题目条件，可以得到解得取L=41。每样值比特数。假设采用不归零矩形脉冲，即脉冲宽度，为抽样间隔。那么零点带宽为7-23对1

18、0路带宽均为04000Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输，抽样速率为8000Hz，抽样后进行16级量化，并编为自然二进制码。试求传输此时分复用信号所需带宽。解：已知抽样频率为，每样值编码比特数为，复用路数为，那么可以得到时分复用信号传输带宽为7-24设有23路模拟信号，每路均带限于3.4 kHz，以8 kHz的抽样频率对其进行抽样，并与1路同步信道（8 kHz）一起复用为TDM PAM信号。画出系统的方框图，并指出复接器的工作频率fs以及TDM PAM信号总的脉冲速率；计算信道所需的零点带宽。解：系统方框图如下可以将这23路模拟信号和一路同步信号看做24路信号作时分复用，每路抽样速率均为8k

19、Hz，因此复接频率为也就是说，每秒钟依次读取192个脉冲。因此，TDM PAM信号总的脉冲速率为设脉冲宽度为，信道所需的零点带宽为7-25设13折线A律编码器的过载电平为5V，输入抽样脉冲的幅度为-0.9375 V，若最小量化级为2个单位，最大量化器的分层电平为4096个单位。试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；写出对应于该码组（不含极性码）的均匀量化编码。解：A律编码器的电平范围为-5 , 5，因此最小量化级（即量化台阶）为，而，所以输入抽样脉冲对应为I-192。1）I<0，故极性码D10。2）192>128，故D21 384<512，故D30 384<256，故

20、D40 即落在第五段，该段量化台阶为8。3）1921288×8，即第5段内的中点（第9段起点），故段内码为1000。故编码器输出码组为01001000。量化误差为0。19212864，故对应该码组的均匀量化11位码为。7-26简单增量调制系统中，已知输入模拟信号，抽样速率为，量化台阶为。求简单增量调制系统的最大跟踪斜率；若系统不出现过载失真，则输入信号幅度范围为多少？如果接收码序列为1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1，请按斜变信号方式画出译码器输出信号波形（设初始电平为0）。解：简单增量调制系统的最大跟踪斜率。系统不出现过载失真的条件是，即，因此得到另外，最小编码电平为。所以

21、输入信号幅度范围为斜变信号方式的译码器输出信号波形如下图实线所示7-27为了测试一个DM系统，在系统的输入端馈送峰-峰值为1 V的10 kHz正弦波信号，并以10倍于奈奎斯特速率的抽样速率对信号进行抽样。试问：为了预防出现斜率过载噪声并且使量化噪声最小，所需的量化台阶为多大？如果接收机的输入端带限于200 kHz，那么量化信噪比是多少？解：对峰-峰值为1 V的10 kHz正弦波信号，信号最大振幅为Amax=0.5 V，其奈奎斯特速率为，实际抽样速率为。为预防出现斜率过载，应有因此量化台阶应满足而量化噪声功率，欲使量化噪声功率最小，应使量化台阶取最小值，因此V已知抽样频率，信号频率f=10 kH

22、Z，输入端带限频率。因此根据教材式（7.80），可以得到量化信噪比为7-28设语音信号的动态范围为40dB，语音信号的最高截止频率，若人耳对语音信号的最低信噪比要求为16dB，试计算DM编码调制时，对频率为的信号而言，满足动态范围的采样频率是多少？解：由DM的信噪比公式知欲使最低信噪比为16dB，应有，由此解得满足最低信噪比要求时采样频率应为。动态范围，而，故。 已知，由此解得。同时应满足最低信噪比要求，可得满足动态范围的采样频率为。7-29对信号进行简单DM增量调制。试证明，在既保证不过载，又保证信号振幅不小于编码电平的条件下，量化台阶和抽样频率的选择应满足： 。证明：要保证不过载，应有；另

23、外，要保证信号振幅不小于编码电平，应有。综上：。得证。7-30对信号进行简单增量调制，采样频率为40kHz，量化台阶为。 若，试求发生过载的条件； 若编码时二进制码0和1出现概率分别为1/3和2/3。试问系统的平均信息速率为多少？ 系统可能的最大信息速率为多少？解：发生过载的条件是：信源熵即每符号平均信息量为，而传码率为因此系统的平均信息速率为。对二进制，每符号最大平均信息量H(x)=log22=1bit/符号。在传码率RB一定的情况下，系统可能的最大信息速率Rbmax=RB×H(x)40kbit/s。7-31按照将DM作为DPCM特例的分析方法，利用DM的量化信噪比公式（即：，差值

24、为M个电平，编码为N位），证明DPCM的量化信噪比为 并将DPCM与DM及PCM的性能进行比较。证明：对于DPCM信号，量化误差信号在上均匀分布，故量化噪声功率为。译码器的“积分器”输出的斜变波形信号阶梯变化的最小周期为，即信号最高频率为（是抽样间隔）。因此可认为的功率谱在上均匀分布，其功率谱可表示为若接收端LPF的截止频率为，则系统的最终输出量化噪声功率设信号，则信号功率。由不发生过载条件知，可得到信号的最大（临界）功率为因此可以得到量化信噪比为得证。比较：DPCM：； DM：； PCM：。其中是抽样频率，是信号频率，是接收端低通滤波器的截止频率，N是每个抽样值的编码位数。7-32给定某信号

25、的波形、抽样频率及量化台阶，试画出简单DM的编码过程。解：简单DM的编码过程如下图所示，其中：为输入的模拟信号，为相应阶梯波，为采样周期，为量化台阶 7-33在忽略接收机噪声的情况下，求DM和PCM系统的输出信噪比（量化信噪比）及。设输入的是频率的单音频信号，低通滤波器的截止频率，信道带宽为，且。解：已知，。通常取，则有由教材式（7.54）和，可得。因此7-34若要求DM和PCM系统的输出信噪比（量化信噪比）都为30dB，且=4000Hz，f=800Hz，试比较DM和PCM系统所需的带宽。解： （这里），将代入，可以求得：由可以解得，故。7-35有一电话信道带宽B=3000Hz，信噪比S/N=400（即26dB），假定信道为带限高斯信道。试求： 信道容量C； 说明此信道能否有效地支持对数字PCM编码的语音信号的传输。 假定传输速率是信道容量的40%，试问哪种信源编码方式可以压缩信号带宽以适应 该电话信道的带宽限制？解：数字PCM的传码率满足：，而一般的数字PCM中N78，语音信号最高频率fH4kHz，故，不能支持。若，查教材表7.7，可采用RPE-LTP进行压缩。 20 / 20文档可自由编辑打印