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1、小专题（九）与等腰三角形的性质与判定相关的证明类型1证明线段或角的数量关系1.如图， ABC 中，AB = AC ,D是BC的中点，E, F分别是AB , AC上的点，且AE = AF ,求证：DE = DF.证明：连接AD. AB = AC , D 是 BC 的中点，/ EAD = Z FAD.在厶AED和厶AFD中，j-AE = AF ,/ EAD = Z FAD ,AD = AD , AED 也厶 AFD( SAS). DE = DF.2.已知，如图， ABC 中，AB = AC ,AD丄BC于D, BE丄AC于E, AD和BE交于H ,且BE =AE.求证:AH = 2BD.证明:/
2、AD 丄 BC, BE 丄 AC ,/ BEC = Z ADB = 90° ./ EBC = Z EAH./ BE = AE , AHE 也厶 BCE. AH = BC./ AB = AC , AD 丄 BC, BC = 2BD. AH = 2BD.3. 如图，在厶ABC中，AB = AC , / BAC = 90° , D为AC的中点，AE丄BD于F,交BC于E, 求证：/ ADB =Z CDE.证明：过点 C作CG丄AC交AE的延长线于 G,贝y CG / AB , BAF = Z G.又 AF 丄 BD , AC 丄 CG,/ BAF + Z ABF = 90
3、6; , / CAG +Z G= 90° ./ ABF = Z CAG.在厶ABD和厶CAG中，j-Z ABF =Z CAG ,AB = AC ,.Z BAD =Z ACG = 90° , ABD 也厶 CAG(ASA). AD = CG, Z ADB =Z G.又 D 为 AC 中点， AD = CD. CD = CG./ AB = AC , / ABC =Z ACB.又 AB / CG , / ABC =Z GCE. Z ACB =Z GCE. CDE CGE(SAS). Z CDE = Z G. Z ADB =Z CDE.4. 如图，在厶 ABC 中，/ ABC =
4、2/ C, AD 平分/ BAC ,求证：AB + BD = AC.证明：延长 CB至E,使BE = BA，则/ BAE = Z E.又/ ABC = 2 / C = 2/ E,./ E=Z C. AE = AC./ AD 平分/ BAC , / BAD =Z DAC./ BAE = Z E, / E=Z C,/ BAE = Z C.又/ EAD =Z BAE +Z BAD ,/ EDA = Z C+Z DAC ,/ EAD = Z EDA. AE = DE.AC = DE = BE + BD = AB + BD.类型2证明线段的位置关系5. 如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A, B不
5、重合）,分别以AC , BC为边在直线 AB的 同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE , AE与CD相交于点 M , BD与CE相交于点N,连接MN.求证：(1) ACM DCN ;(2)MN / AB.证明： / ACD和厶BCE都是等边三角形 AC = DC, BC = EC,Z ACD = Z BCE = 60°vZ ACD +Z DCE + Z ECB = 180° ,/ DCE = 60° ./ ACE = Z DCB = 120 ° .在厶ACE和厶DCB中，<AC =DC,/ ACE = Z DCB ,CE = CB , AC
6、E DCB( SAS)./ EAC = Z BDC.在厶ACM和厶DCN中，j-Z MAC =Z NDC ,AC = DC ,.Z ACM =Z DCN = 60° , ACM DCN( ASA).(2)由(1)知厶 ACM DCN , CM = CN.又tZ MCN = 60° , CNM为等边三角形，Z NMC = 60° Z NMC =Z ACM = 60° . MN / AB.6. 如图，在厶 ABC 中，AB = AC，点 D , E, F 分别在边 BC, AB , AC 上，且 BD = CF, BE = CD ,G是EF的中点，求证：DG
7、丄EF.证明：连接 ED, FD. / AB = AC , Z B = Z C.在厶BDE和厶CFD中,BD = CF,/ B =Z C,BE = CD , BDE CFD(SAS). DE = DF.又 G是EF的中点， DG 丄 EF.类型3判断三角形的形状7. 已知：如图，0A平分/ BAC , / 1 = 7 2求证： ABC是等腰三角形.证明：过点 0作0D丄AB于D, 0E丄AC于E,则厶BOD和厶COE都是直角三角形./ 0A 平分/ BAC , 0D 丄 AB , 0E 丄 AC , 0D = 0E./ 1 = 7 2, 0B = 0C. RtA B0D 也 RtA C0E(H
8、L). 7 AB0 =7 AC0. 7 ABC = 7 ACB. AB = AC. ABC是等腰三角形.8. 已知 ABC 中，7 BAC = 90° , AB = AC , D 为 BC 的中点.(1) 如图1 , E, F分别是AB , AC上的点，且BE = AF ,试判断 DEF的形状，并说明理由；(2) 如图2,若E, F分别为AB , CA的延长线上的点，仍有BE = AF.请判断 DEF是否仍具有 (1)中的形状，并说明理由.图I图2解：（" DEF为等腰直角三角形.理由：连接 AD ,易证 BDE ADF , DE = DF , / BDE =Z ADF.又/ BAC = 90° , AB = AC, D 为 BC 的中点， AD 丄 BC.ADB = 90° ./ EDF =Z EDA +Z ADF =Z EDA +Z BDE = Z ADB = 90° DEF为等腰直角三角形.是，理由略.