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1、多元积分与线面积分1.设有半球体 ： x2 y2 z2 4 ， z 0 ， 内任意一点的密度 z ，求： (1)此半球体的质量； (2)此半球体的重心 .2.设 uu(x, y) 具有二阶连续偏导数，试证明：C其中 C 是 D 的边界， n 是 C 的外法向单位向量 .112 dy .3.计算 I0 dx x sin y4.设 f (t ) 为连续函数， F (t)zf (x2y2 )dV ，limF (t )t2 .t 0u(2 u2u)dxdy.dsx 2y2nD为： 0zh, x 2y2t 2 ，求已知球面x2y2z22及柱面 x2y2Rx，求球面在柱面内部部分的面积 .5.R6.计算
2、I(x 2y)ds ,其中 L 是以 (0,0)、 (1,0)、 (1,1)为顶点的三角形的边界 .L7.计算曲线积分ydxxdy,其中 L为圆周(x1)2y22, L 的方向为逆时针方向 .x2y2L8.利用高斯公式计算曲面积分 Iz2 dxdyxzdydz其中为旋转抛物面 zx 2y2 被平面 z2 所截下部分的外侧 .9.求x 2y2 dv, 其中为zx2y 2 与 z1所围的空间区域 .10.已知曲线积分1(xdyydx)A ， 其中 ( x)可导且 (1)1,L是绕L(x)y 2原点 (0, 0) 一周的任意正向光滑闭曲线，试求出( x)及常数 A .11.已知 f (0)1,试确定
3、可微函数 f ( x), 使曲线积分(1,1)yf ( x)dy 与路径无关，并求积分值 .tan xf ( x)dx2( 0,0)cosx12.计算积分 I(xzyz)dydz ( xzyz)dzdx( 2xyy 2 z) dxdy .其中，是曲面 zx2y 2在平面 zh(h0) 下面的那一部分的下侧 .13.设 rx iy jzk , rr , 求使 divgrad f (r )0 的 f ( r ).14.计算 : Ix 2 dydzy 2 dzdxz2 dxdy ,1.设有半球体： x2y2z24 ， z0 ， 内任意一点的密度z ，求： (1)此半球体的质量； (2)此半球体的重心
4、 .解：（ 1）（方法 1） Mdvzdv 2 分202 d22 sin dr4 5 分0 d0 r cos r（方法 2） Mdvzdv2zdxdy2z2 ) dz4.（ 10 分）dzz(400D z（ 2）根据题意，有 x y 0 ，z1zdv1z2dv 2 分MM2 d( r cos ) 2r 2 sin16 5 分（方法 1） z12ddr1642（方法 2） zM0dz001z2 (4z2 )dzM151512z2dxdy216416M 0D zM 0M1515因此，重心坐标为(0,0, 16) 1 分152.设 uu(x, y) 具有二阶连续偏导数，试证明：uds(2u2uC n
5、x2y2 )d x d. yD其中 C 是 D 的边界， n 是 C 的外法向单位向量 .证明：记为 n 与 x 轴正向的夹角，为曲线的逆时切方向与 x 轴正向的夹角 .则 uu cosu sin=u sinu cos 4 分nxyxy于是udsusin dsudsuu分nC xcosdydx 3CyC xy(2 u2 u)dxdy. 3 分x2y2D3.计算 I112 dy .0 dx x sin y1dyy2 dx 4分解： Isin y0010 y sin y 2 dy 3 分12 11分cos y0(1 cos1). 3224.设 f (t ) 为连续函数， F (t)zf (x2y2
6、 )dV ，为： 0zh, x 2y2t 2 ，求limF (2t ) .t0t解： F (t)2t2 ) drh0d rf (rzdz 5 分00h 2trf (r 2 )dr 3 分0limF (t )limh 2 tf (t 2 ) 4 分t0t 2t 02t1 h 2 f (0). 3 分25.已知球面 x2y 2z2R2 及柱面 x 2y 2Rx，求球面在柱面内部部分的面积 .解：设 S 为该面积， S1 为球面在第一卦限部分的面积，则对22zR2x 2y 2 , 1zzR2R,4分xyx2y 2S4S14Rdxdy 3 分R2x2y 2D4 02 dRsinRrdr 4 分0R2r
7、 2=4R2 2(1cos)d4R2 (1).4 分026.计算 IL(x 2y)ds ,其中 L 是以 (0,0)、 (1,0)、 (1,1)为顶点的三角形的边界 .(x 2y)ds12 dx13分解：xOA03( x2y)ds1y)dy13分(1AB02( x2y)ds( x2x) 2dx2 3分1OB06I 52 1分67.计算曲线积分ydxxdy(x1)2y22, L 的方向为逆时针方向 .x2y2 , 其中 L为圆周L解：(0,0)在L 内部， Py, Qxx 2y2x 2y 2Px 2y 2Q4分y(x 2y 2 ) 2xl : x2y 22 (021), 逆时针l与 L所围区域为
8、 D，根据格林公式：（ QP )dxdyPdxQdy0 4分DxyLl故原式 =ydxxdy(l :xcos, ysin,02 )4分lx2y 2coscos2sin(sin) 3 分d2028.利用高斯公式计算曲面积分Iz2 dxdy xzdydz其中为旋转抛物面 zx 2y2 被平面 z2 所截下部分的外侧 .解：x 2y 22 3 分：z2,方向朝上，根据高斯公 式：Izdvz2 dxdy 4 分2224dxdy 4 分0d0rdrr 2 zdzD22 1(4r4)rdr816 4 分0239.求x 2y2 dv, 其中为zx2y 2 与 z1所围的空间区域 .解： zx2y 2x2y
9、21,故 D : x2y21z1x2y 2 dv2 d1 r 2dr1 dz00r212 (1r )dr0r.610.已知曲线积分1(xdy ydx) A ， 其中 ( x)可导且 (1)1,L是绕L(x)y 2原点 (0, 0) 一周的任意正向光滑闭曲线，试求出( x)及常数 A .解：如图，设 l1l 2是平面上任意一条不过 原点也不含原点的正向闭曲线，并作辅助路径 l3 .于是PdxQdyA,PdxQdyAPdxQdy 0l1 l3l2l3l1 l 2其中 Py, Qx( x)y 2( x)y2故在不含原点的任意单连通区域内积分与路径无关，所以PQ ,( x, y)(0,0),即 x(
10、x)2 ( x)yx( x) cx 2 ,由 （1） 1，得 ( x) x2取 L : x2y21, Axdyydx2x2 y21x2y211.已知 f (0)1,试确定可微函数 f ( x), 使曲线积分(1,1)tan xf (x)ydxf (x)dy2(0,0)cosx与路径无关，并求积分值 .解： Ptan xf ( x)y,Qf ( x)cos2 xPtan xf ( x)f( x)Qycos2xx解f( )sec2xf(x)tanxsec2 ()xxf ( x)esec2 xdx(esec2 xdxtan xsec2 xdxC)= tan x1 ce tan x由 f (0)1C1C0,故f ( x) tanx 1曲线积分为(1,1)ydx(tan x1)dy (取特殊路径 )11(0, 0)cos2 x=0dx(tan11)dytan1100