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1、定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试高二（理科）数学试题注意事项：1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。) 1.已知 f(x)=,则的值是（）A.- B.2 C. D.-22.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.必要非充分条件 D.充要条件3.若复数是实数，则x的值为( )A. B.3 C. D.4.设
2、f（x）=xcosxsinx，则（ ）A.f（3）+f（2）0 B.f（3）+f（2）0C.f（3）+f（2）=0 D.f（3）f（2）05.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )A.B.C.D.6.已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（ ）A.2+ i B.2i C.1+ i D.1i7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D.8.已知a为实数,若复数 为纯虚数,则 的值为( )A.1 B.0 C. D.9.曲线在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 10.“杨辉三角”又称“贾宪
3、三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A. B. C. D. 11.设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则（ ）A. B. C. D. 12.函数的示意图是（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.计算： （ x）dx= 14.若 , ，且为纯虚
4、数，则实数的值为 . 15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。16.记当时，观察下列等式：，可以推测， 三、解答题(共6小题 ,共70分) 17. (10分) 已知复数x2+x2+（x23x+2）i（xR）是420i的共轭复数，求x的值18. (12分) 已知函数.（）求的单调区间；（）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.19. (12分) 已知函数.(1)求函数的单调区间；(
5、2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.20. (12分) 已知数列，为该数列的前项和（1）计算；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明21. (12分) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积22. (12分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为元，推销费用为元，预计当每包药品销售价为元时，一年的市场销售量为万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的
6、 (1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价的函数关系式，并指出其定义域；(2) 当每包药品售价为多少元时，年利润最大，最大值为多少？参考答案1.A【解析】f(x)= ， =故选A2.C【解析】对于可导函数f（x）=x3 ， f（x）=3x2 ， f（0）=0， 不能推出f（x）在x=0取极值，故导数为0时不一定取到极值，而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，此点处的导数一定为0故应选 C3.A【解析】 ， 因为复数是实数，所以。选A.4.A【解析】f（x）=xcosxsinx，函数是奇函数 f（x）=xsinx，x（，），f（x）0，函数是减函数如图：f（3）+f（2）0 故
7、选：A5.D【解析】导函数 ， 则函数单调递增，导函数 ， 则函数单调递减，而不等式等价于或 ， 结合图象可知不等式的解集为.选D。6.A【解析】由z（1+i）=1+3i，得 ， 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案7.D【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是 8.C【解析】复数 为纯虚数，可得a=1， ，故答案为：C.9.B【解析】对函数求导可得， 根据导数的几何意义， ，即=()=+52+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.故选B.10.B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,第2015行公差
8、为，故第1行的第一个数为： ，第2行的第一个数为： ，第3行的第一个数为： ，第行的第一个数为： (n+1)2n2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是.11.A【解析】，即，设，则，当时， 恒成立，即在上单调递增， ， ，故选A.12.C【解析】，令y=0得x=，当x时,y时,y0，y= (2x1)在(, )上单调递减,在(,+)上单调递增，当x=0时,y= (01)=1,函数图象与y轴交于点(0,1)；令y= (2x1)=0得x=,f(x)只有1个零点x=，当x时,y= (2x1)时,y= (2x1)0，综上，函数图象为C.故选C.13.【解析】由定积分的几何意义知 dx是由y= 与直线x=
9、0，x=1所围成的图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的 ，故 dx= ， （x）dx= = ， （ x）dx= 故答案为： 14.【解析】为纯虚数15.1和3【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是1和3，故甲1和316.【解析】通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次
10、项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A-B解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，A+B=1解得B=-，所以A-B=+=，故答案为：17.解：复数420i的共轭复数为4+20i，x2+x2+（x23x+2）i=4+20i，根据复数相等的定义，得，解得x=318.() 单调递增区间为，单调递减区间为；() .【解析】 () 2分令，解得或. 4分当时， ；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为6分（）令，即设，即考察函数与何时有三个公共点 8分令，解得或.当时， 当时， 在单调递增，在单调递减 9分10分根据图象
11、可得. 12分19.(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.【解析】(1)，函数的定义域为.当时，则在上单调递增，当时，令，则或(舍负)，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)解法一：由得，原命题等价于在上恒成立，令，则，令，则在上单调递增，由，存在唯一，使，.当时，为增函数，当时，为减函数，时，又，则，由，所以.故整数的最小值为2.解法二：得，令，时，在上单调递减，该情况不成立.时，当时，单调递减；当时，单调递增，恒成立，即.令，显然为单调递减函数.由，且，当时，恒有成立，故整数的最小值为2.综合可得，整数的最小值为2.20.(1) (2) ，证明见解析.【解析】（1）（2）猜想，用数学归纳法证明如下：当时，猜想成立； 假设当时，猜想成立，即，当时， 故当时，猜想成立由可知，对于任意的，都成立21.（1）解：f（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c， 根据f（x）=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）解：S= = 22.（1）（2）【解析】 (1)由题意， (2) 当时， ， 在上恒成立，即为减函数，所以， 万元当时， ，当时，当时， ，即在上为增函数，在上为减函数，所以， 万元- 14 -