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1、魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形.敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长 1.3米的正方 形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者 并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做. ”秋先生拿出他事先画好的 两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图 1.2）的尺寸把地毯裁成四块， 然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了.魔术大师是从 来不会错的，你放心做吧！ ”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是
2、宽0.8米长2.1米.魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么 回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？图I怛2过了几个月，魔术师秋先生乂拿来一块地毯， 长和宽都是1.2米，只是上面 烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿.秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼 拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米.敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要 求不合理，根本无法做到.秋先生乂拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好.敬师傅照着做了，结果真 的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却 消失了.魔术师
3、拿着 补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗图412图3你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某 个比例（例如10： 1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型， 实际量一量，看看秘密藏在什么地方.这种做模型（或做实验）的方法，是科技 工作者和工程技术人员通常采用的方法.这种方法要求操作和测量都非常精确， 否则你就发现不了秘密.例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘 米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大丁1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？
4、 r4i8 用 / A 8图6数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法一数学计算，即通 过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处.现在我们先来分析第一个魔术。比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为I , U, m, IV （图 1.6）,而将图1.3中相应的四块分别记为，IT , UT , （图1.7）.现 在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏” ？ 也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图 1.7中的F为 直角三角形EDB，如果DE = 5时，点E是否恰好落在矩形ABCO的对角线 0B上？同样，如果FG二5时
5、，点G是否恰好落在0B上？让我们通过计算 来回答这个问题.图7如图1.8建立直角坐标系，以0C所在直线为轴，Q4所在图8直线为y轴，单位长度表示0.1米，丁是有o （0,0）, & （0,21）, B （8, 21） , C （8, 0） , H （0, 13） , G （5, 13） , E （3, 8） , D （8, 8）.如何判断E和6是否恰好落在直线0B上呢？ 一种办法是B , G 的坐标代入直线0B的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算0E ,OB , 0G的斜率，比较它们是否相等.下面用后一种方法进行讨论.,_82113比较之,设线段0E的斜率为灼，则有卯一2 ,
6、" 8，" 5 .8 2113的斜角由3 85得灼 > 灼>, 即0E的斜角4丁 0B的斜角，0B乂大丁 0G的斜角，可见归和G都不在对角线0B上，它们分别落在0B的?21-8 13?21-13 8上 攵 两侧（图1.8） ： 乂由踮8-35 ,时8-53得灼广灼，灼米皿，即砌0G , GBHOE .可知将图1.6中的四 块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形一二（图1.8）.正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的O21OGBE的面积.记E （3, 8）到对角线0B （8）的距离为d ,j_|21x03+（-8）x0.8|
7、_ 0 1"旧函新诙米，I。牛如如+（21）际 米，=2%qb = 2xlx|OS|xrf = 0 01 米？把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为 7.05米（约2.247米）的 极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一 “火眼金睛” .如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起 来，即5, 8, 13, 21,这列数有什么规律呢？相邻两数之和， 正好是紧跟着的第三个数.按照这个 规律，5前面应该是（8-5 = ） 3, 3前面应是（
8、5-3=） 2, 2前面应是（3- 2 =）1, 1前面应是（2 1 = ） 1, 21后面应为（13+ 21 = ） 34, 34后面应为（21 + 34=） 55,等等，丁是得到数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项.我们称这个数列为斐波那契数列.魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5, 8, 13,21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能 玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3, 5, 8, 13来试一试.把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边
9、长为5和13的矩 形（图 1.10）.8图10这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65,凭空增加了 1个单位面积.通过完全类似的计算，我们发现图 1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩 形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形.不过这次不是一个重叠的平行四 边形，而一具平行四边形空隙（图1.11） .这就是拼成的矩形比原来的下方形 面积“增大”的秘密所在.我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而乂多一个单位面积.这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因 此失去一个单位面积），有
10、时乂会出现一个细长的平行四边形空隙 （因此多出一 个单位面积）.面积何时变不，何时变大，有没有规律呢?我们把斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,这里K = 1 ,执T ,4 = 2，川=3 , K ，且具有递推关系兀+如二必S = LZ3，）考察以孔为边长的正方形面积与以K-i及孩 为两边长的矩形面积之间 的关系.随着n从小到大依次取2, 3, 4, 5,我们得到当乾二 2 时有 F = 1x2-1 ,即；当”二3 时有23 =1x3+1 ,即& =4 4+1 ；当- 时有0x5-1 ,即&；当乾二5时有5, = 3x8+1 ,即&am
11、p;顼A+1 ；从中我们发现，随着«的奇偶变化，在上述关系式中，加 1和减1交替出 现.对丁数列的第R项兴，当”是大丁 1的奇数时有代二、，此 时正方形的面积比矩形小1.写成统一的表示式就是 矿顼1弗+（-1广（334,）.将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列11235£135,行，祈，如 直l=E1 = o_618O33该数歹0的极限 f2是一个定数（无理数）,这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”.相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前 400前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分
12、为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项. ”欧几里得把它收入几何原本之 中，并称它分线段为中外比.据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画 家达芬奇取的，从此就广为留传，直至今日.AM _ MB对丁长度为。的线段迎1 ，使而茹 的分点"称为“黄金分割点” 应二臣山由CL61%也二!翎0.618（图1.12） .设M=T，则 2.2即黄金分割比.从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学 价值.在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的.难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构， 往往是按黄金分割比设计的.甚至连人 体自身的形体美，即最优
13、美的身段，也遵循着黄金分割比.据说“维纳斯”雕像 以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的 比，都近丁 0.618, 丁是人们就把这个比作为形体美的标准.芭蕾舞女演员腰以 下部分的身长与身高之比，一般约在 0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是 脚尖点地，使腰以下部分的长度增长810厘米，以图展示符合0.618身段比例 的优美体形（图1.13）,给观众以美的艺术享受.图13黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义. 工厂里广泛使 用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618 法” .图M在实际应用时，黄金分割比可用斐
14、波那契数列中相邻前后两项的比作为近似 值来代替.n越大，比值L+i越近似黄金分割比.我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术， 其秘密在哪里呢？补洞用的那一 小块面积是从哪里来的呢？根据识破第一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无 洞正方形的各个尺寸(图1.14)是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正 方形的各个尺寸(图1.15 )是否全都准确无误码？在图1.15中分割正方形四边 的尺寸是取定的，用不着怀疑.值得怀疑的是中间的那条分割线 UVW ,它的尺 寸可靠吗？其中所二3是正确的，“ W二7 ”及“伽二10 ”对吗？而它们正是新拼正方形两边上线段 欢 及CD的尺寸.如图1.15所示，分 别以直
15、线。又和0P 冲 轴和轴建立坐标系，丁是有° (0, 7) , £ (12, 12),楸(7, 0) , V (7, 3),要得到 抑 及/四 的长度，只须求出点/ 的坐标即可.U是直线QS与直线科队的交点.直线 命 的方程是JC _ /-712 "12-7，即为一1小+84 = 0 ；直线所的方程是二7 .两方程联立解得v9-VWU7=6-交点U的坐标为(7, 12). 丁是得到12 ，因而 12 .这就gll是说，在新拼正方形（图1.14 ）中，左边上的线段AB的长不是7而是祁，9右边上的线段CD的长不是10而是12 .这样，新拼图形的左边EB长为11 r 1
16、1Ji A “1165 = 11万口9 已二 11邛尸 心口 112 12，右边以 长为1212，上下两边EC=BF = 2 ,因12x11 此新拼图形不是边长为12的正方形，而是一个 12的长方形，比原来的有12x= 1洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的12 ） .两者的面积相差12 （单位面积），而这正好等丁那个洞的面积.这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的 就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前, 秘密马上就被揭穿了.我们也可以用平面几何方法算出图1.15中的线段 W 实际长多少.过U作PS "行线交跃丁"（图1.15）,则凡AFQS雄MSU , 丁是有PS MU 1251T-T = TTT- = MS - 2 PQ昭，即5场，得 12 , 丁是世二近2-8财二9-2土二6旦1212 .