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1、平方根（基础）责编：杜少波【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】【高清课堂：389316平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2二a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是 0）； a的算术平方根记作a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被 开方数要点诠释：当式子有意义时，a 一定表示一个非负数，即 ,a > 0, a > 0.2. 平方根的定义如果X2 =a，那么x叫做a的
2、平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算 a （ a > 0）的平方根的符号表达为 _a（a _ 0），其中 a是a的算术 平方根知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：（1）定义不同；（2）结果不同：二'、.a和:a2 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2 ）被开方数都是非负数；（3） 0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根知识点
3、三、平方根的性质a a 0拓2千a |=0 a = 0、a a v 0、a 二 a a - 0知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：,62500-250 ,625=25 , 6.25 =2.5， 一 0.0625 =0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念A. 5是25的算术平方根B.I2C. -4的平方根是一4D.0是I的一个平方根的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A因为,25 = 5，所以本说法正确;B. 因为土 J =&#
4、177; 1,所以I是I的一个平方根说法正确;C. 因为± J（如 =± J16 = ± 4，所以本说法错误；D. 因为_.,0 = 0,.0 = 0，所以本说法正确;【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题. 举一反三：(2)表示的算术平方根,(3)【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：(1)-9没有平方根.( )(2)= 4 .()(3)（-丄）2的平方根是丄（）1010(4)-24是丄的算术平方根.（）525【答案】V；x；V； x,提示：（2） J16=4 ； （4）-是的算术平方根525 2、填空：（1） -4是
5、的负平方根.(4)若x = 3,贝y x =，若二 x2 = 3，贝y x =【思路点拨】(3)/丄就是1的算术平方根=11，此题求的是-的算术平方根.*818199【答案与解析】(1)16 ; (2)1 ；1 1(3)- 9± 316 143【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化举一反三：【变式1】下列说法中正确的有():3是9的平方根.9的平方根是 3.4是8的正的平方根.A. 1个 B . 2个 【答案】B；提示：是正确的【变式2】求下列各式的值：(1)3、25(3),0.04 -，0.25-8是64的负的平万根.C . 3个 D . 4
6、个(2) ,8,36(4036 i 4Y121【答案】(1) 15; (2) 15; ( 3)- 0.3 ; (4)55C3、使代数式J丙有意义的x的取值范围是 .【答案】x > -1 ;【解析】x +1 > 0,解得x > -1.【总结升华】 当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即,a >0, a >0.举一反三：【变式】(2016春?庐江县期末)已知(2x + y ) +Jx+2y + 3 = 0，求x2y的平方根. 【答案】解：旳=°,x+2y+>0'x=l解得，L “y= - 2I x -2y=1 - 2X( - 2) =5,
7、 5的平方根是土：.类型二、利用平方根解方程4、(2015春？鄂州校级期中)求下列各式中的x值2(1) 169x2=1442(2) (x- 2)- 36=0.【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x -2）看成一个整体，移项后,根据平方根定义求解.【答案与解析】2解：（1）169x =144，两边同时除以169,得2144x169开平方，得.12x=一 132（2） （x- 2）- 36=0,移项，得 （x - 2） 2=36开平方，得 x- 2=± 6,解得：x=8或x= - 4.【总结升华】 本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个.类型三、平方根的应用3倍，面积是1323平方米.求5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 长和宽各是多少米？【答案与解析】长为3 x,x 3 X = 1323解：设宽为x ,由题意得，23 x =1323x - -21x = - 21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数