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1、241向量在平面几何中的应用教学设计万顺(高一数学组)一、教学目标1 知识与技能：运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2. 过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法3. 情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决三、教学方法本小节主要是例题教学， 要让学生体会思
2、路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 教学中，创设问题情境，弓I导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导 学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。四、教学内容安排:教学 环节教学内容师生互动设计意图复 习 准 备课前复习任务(由学生总结 成书面材料)(1) 向量的线性运算是怎样 的？(2) 平面向量共线的含义及 条件是什么？(3) 平面向量的基本定理及 向量的坐标运算有哪些？(4) 平面向量的数量积中有 哪些主要内容？讨论：(1 )若0为细BC重心，则 r T T片OA+OB+OC=0(2 )水渠横断面是四边形ABCD , DC = *AB ,且
3、 | AD |= | BC|,则这个四边形 为等腰梯形类比几何元素之 间的关系，你会想到向量运算 之间都有什么关系？让学生回 顾学过的知识 有力于本节课 的进行新 课 引 入平移、全等、相似、长度、 夹角等几何性质可以由向量 线性运算及数量积表示出 来：例如，向量数量积对应 着几何中的长度如图：平 行四边行ABCD中，设强 =a, AD =丄贝则片AC=AB+BC = a+b （平 移）片*= AB AD = a b , 棺=孑=|财|2 （长 度）.向量ad , AB的夹角 为 N DAB讨论（让学生回顾学过的知 识，有利于本课的顺利进行）： （1）向量运算与几何中的结 论"若a=
4、b，则简=石|,且 + +a,b所在直线平行或重合"相 类比，你有什么体会？ （2） 由学生举出几个具有线性运 算的几何实例.（3）向量平行、 垂直的判疋方法让学生掌 握用向量方法 解平面几何问 题的步骤： 建立平面几何 与向量的联系， 用向量表示问 题中涉及的几 何兀素，将平面 几何问题转化 为向量.通过向量运算 研究几何运算 之间的关系，如 距离、夹角等. 把运算结果" 翻译"成几何 关系.应 用 举 例例1:如图2-55，已知平行 四边形ABCD中，E、F在对 角线BD上，并且 BE=FD求 证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当 的基底，把四边形
5、AECF的一 组对边表示出来问题1 证明AECF是平行四 边形的方法有什么？ 学生思考，回答问题2选择合适的方法，问 如何转化为向量条件表示？ 学生思考，回答，完成证明（选 一名学生板书）问题3由学生总结解题方法通过分步 设问，引导学生 展开思维过程， 让学生体会分 析、解决问题的方法例2:求证平行四边形对角 线互相平分.小结：法一注重向量的坐标 运算和解析法的运用：法二 选取基底 AB和AD，设未 知数，列向量方程，解方程 组的待定系数得结论，体现 了方程思想的运用。问题4如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两 条对角线互相平分, 可以证明AM' =MC,BM =MD，或
6、1 11TAM =AC,BM = BD。2 2前一种方法可以建立平面直 角坐标系，将向量用坐标表示 后即可；后一种方法就是课本 提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给 出证明过程本题所用 方法比较特殊， 学生不易想到， 教师在分析学 生提供的思路 的基础上，点出 方法，又不直接 说怎么做，引导 学生再去探索， 让学生体验思 路的形成过程， 学会分析问题 的方法。例3:已知正方形ABCD（图 2-57），P为对角线 AC上任 意一点，PE丄AB于点E,PF丄BC于点F,连接DP EF。求证DP丄EF。小结：结合图形特点，选定问题5如何证明？能否用坐 标法完成？学生思考，回答老师点评学生思 路：要
7、证明两条直线（段）互 相垂直，可以证明两向量数量 积为0。将向量用坐标表示后 进行向量的数量积运算即可。师生共同讨论交流， 由教 师指导学生给出证明过程本题用坐 标法。用向量坐 标法证明比较 简单，可见选定 方法是关键，学 生可从中体会， 形成思维习惯。正交基底，用坐标表示向量 进行运算解决几何问题，体 现几何问题代数化的特点， 数形结合的数学思想体现的 淋漓尽致。向量作为桥梁工 具使得运算简练标致，又体 现了数学的美。有关长方形、 正方形、直角一角形等平行、 垂直等问题常用此法。课练习1.求证：平行四边形 两条对角线的平方和等于四 条边的平方和.由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积进一步巩固所 学知识，归纳方 法堂练习练习2.如图，ABCD中， 点E、F分别是 AD、DC边 的中点，BE、BF分别与AC 交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系 吗？猜想：AR、RT、TC之间的关系？利用平面向量基本定理以及向量的运算证明归纳 小结本节主要研究了用向量知识 解决平面几何冋题；掌握向 量法和坐标法，以及用向量 解决平面几何问题的步骤师生交流共同完成帮助学生 总结知识，归纳 方法布置 作业练习：课本108 B组第5题 作业：习题学生独立元成巩固所学 方法，规范解题 步骤