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1、刚体的运动学与动力学问题文/ 沈晨编者按 中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会 2000 年第十九次会议对全国中学生物理竞赛内容提要作了一些调整和补充，并决定从 2002 年起在复赛题与决赛题中使用提要中增补的内容为了给准备参赛的学生提供有关信息，帮助选手们尽快熟悉与掌握竞赛提要增补部分的物理知识，给辅导学生参赛的教师提供方便，本刊编辑部特约请特级教师沈晨老师拟对相对集中的几块新补内容划分成“刚体的运动与动力学问题”、“狭义相对论浅涉”、“波的描述和波现象”、“热力学定律”四个专题，分别介绍竞赛涉及的知识内容，例说典型问题与方法技巧，推介竞赛训练精题、名题和趣题本刊将从本期开始连载四期，供老师
2、们参考中学物理教学参考编辑部约请笔者就复赛和决赛中新增补的内容作专题讲座，如何进行教学，笔者自身也正在探索之中，整个资料还只是一个雏形，呈献给大家是希望与广大同行交流切磋，以及能为更多的物理人才的脱颖而出作一点微薄的努力一、竞赛涉及有关刚体的知识概要1. 刚体在无论多大的外力作用下，总保持其形状和大小不变的物体称为刚体刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可将其视为刚体，刚体内各质点之间的距离保持不变是其重要的模型特征2. 刚体的平动和转动刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同的，这种运动叫做平动研究刚体的平动时，可选取刚体上任意一
3、个质点为研究对象刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫做转动，而所绕的直线叫做转轴若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动刚体的任何一个复杂运动总可看做平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理3. 质心 质心运动定律质心这是一个等效意义的概念，即对于任何一个刚体（或质点系），总可以找到一点，它的运动就代表整个刚体（或质点系）的平动，它的运动规律就等效于将刚体（或质点系）的质量集中在点，刚体（或质点系）所受外力也全部作用在点时，这个点叫做质心当外力的作用线通过刚体的质心时，刚体仅做平动；当外力作用线不通过质心时，整个物体的运动是随质心的平动及绕质心的
4、转动的合成质心运动定律物体受外力F 作用时，其质心的加速度为 ，则必有，这就是质心运动定律，该定律表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此点时应有的运动4. 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量与该质点到转轴的距离的平方的乘积的总和，即 从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况我们可以利用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量5. 描述转动状态的物理量对应于平动状态参量的速度、加速度、动量、动能（ 1 2 ）；描述刚体定轴
5、转动状态的物理量有：角速度 角速度的定义为在垂直于转轴、离转轴距离处的线速度与角速度之间的关系为角加速度角加速度的定义为在垂直于转轴、离转轴距离处的线加速度与角加速度的关系为 角动量角动量也叫做动量矩，物体对定轴转动时，在垂直于转轴、离转轴距离处某质量为的质点的角动量大小是，各质点角动量的总和即为物体的角动量，即 （） 转动动能 当刚体做转动时，各质点具有共同的角速度 及不同的线速度，若第个质点质量为 ，离转轴垂直距离为 ，则其转动动能为（，整个刚体因1 2） （ 1 2） 转动而具有的动能为所有质点的转动动能的总和，即 （ 1 2）（ ） （ 12 ） 6. 力矩 力矩的功冲量矩如同力的作用
6、是使质点运动状态改变、产生加速度的原因一样，力矩是改变刚体转动状态、使刚体获得角加速度的原因力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，即类似于力的作用对位移的累积叫做功，力矩的作用对角位移的累积叫做力矩的功恒力矩的作用使刚体转过角时，力矩所做的功为力矩和角位移的乘积，即与冲量是力的作用对时间的累积相似，力矩的作用对时间的累积叫做冲量矩，冲量矩定义为力矩乘以力矩作用的时间，即7. 刚体绕定轴转动的基本规律转动定理刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与合外力矩大小成正比，与转动惯量成反比，即 如同质点运动的牛顿第二定律可表述为动量形式，转动定理的角动量表述形式是转动动能定理合外力矩对刚体所做的功
7、等于刚体转动动能的增量，即（ 12 ） （ 1 2） 该定理揭示了力矩作用对角位移的积累效应是改变刚体的转动动能角动量定理转动物体所受的冲量矩等于该物体在这段时间内角动量的增量，即 该定理体现了力矩作用的时间积累效应是改变刚体转动中的动量矩角动量守恒定律当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变，此即角动量守恒定律该定律适用于物体、 物体组或质点系当不受外力矩或所受合外力矩为零的情况在运用角动量守恒定律时，要注意确定满足守恒条件的参照系如果将上述描述刚体的物理量及刚体的运动学与动力学规律与质点相对照（如表1 所示），可以发现它们极具平移对称性，依据我们对后者的熟巧，一定可以很快把握刚体转
8、动问题的规律表 1质点的直线运动刚体的定轴转动位移角位移速度角速度 加速度角加速度 匀速直线运动匀角速转动 匀变速直线运动匀变速转动 （ 12 ） （ 1 2） 2 2牛顿第二定律转动定理 动量定理角动量定理 （恒力） 动能定理转动动能定理（ 12） （ 12） （ 1 2） （ 1 2） 动量守恒定律角动量守恒定律常量常量二、确定物体转动惯量的方法物体的转动惯量是刚体转动状态改变的内因，求解转动刚体的动力学问题，离不开转动惯量的确定确定刚体的转动惯量的途径通常有：1. 从转动惯量的定义来确定对于一些质量均匀分布、形状规则的几何体，计算它们关于对称轴的转动惯量，往往从定义出发，运用微元集合法，
9、只需要初等数学即可求得例 1 如图 1 所示，正六角棱柱形状的刚体的质量为，密度均匀，其横截面六边形边长为试求该棱柱体相对于它的中心对称轴的转动惯量图 1分析与解这里求的是规则形状的几何体关于它的中心对称轴的转动惯量从转动惯量的定义出发，我们可将棱柱沿截面的径向均匀分割成（）个厚度均为（2 ）·（）、棱长为的六棱柱薄壳，确定任意一个这样的薄壳对中心轴的元转动惯量，然后求和即可，有 图 2现在，先给出一矩形薄板关于与板的一条边平行的轴的转动惯量板的尺寸标注如图2 所示，质量为且均匀分布，轴与板的距离为，沿长为的边将板无限切分成条长为、宽为的窄条，则有板 （）·（）·
10、（）（）（）（ 3）回到先前的六棱柱薄壳元上， 如图 1 所示，由对称性可知其中第个薄壳元的 2 ， 2薄壳元对轴的转动惯量是12 板，即 =12（2 ）（2）（ 2）（ 13）（ 2）式中， 是六棱柱体的密度，即 6×（ 1 2）· ·（ 2） 2 3则六棱柱体对中心对称轴的转动惯量为 12·（）·（2 ）·（ 2 ）（）·（2 ）（ 13）（ 2） 12·（4）·（）· 34112（ 53）（ 53）（1）（ 12 ）（ 53）（1）·（ 1）4） 5122. 借助于平行轴定理在刚
11、体绕某点转动时，需对过该点的轴求转动惯量，借助于平行轴定理，可以解决这样的问题：已知刚体对过质心的轴的转动惯量，如何求对不通过质心但平行于过质心转轴的轴的转动惯量平行轴定理：设任意物体绕某固定轴的转动惯量为，绕过质心而平行于轴的转动惯量为 ，则有 ，式中 d 为两轴之间的距离，为物体的质量图 3证明：如图3 所示，为过刚体质心并与纸面垂直的轴，为与它平行的另一轴，两轴相距为，在与轴垂直的平面内以质心为原点，过的直线为轴，建立坐标系代表刚体上任一微元的质量，它与轴及轴的距离依次为 和 ，微元与质心连线与轴方向的夹角为 ，由转动惯量的定义知，刚体对轴的转动惯量应为 （ 2 ） 2 上式中第一项即为
12、刚体对质心的转动惯量 ；第二项 ，是 刚体的总质量；而第三项中 ， 是质量元在平面坐标系内的坐标，按质心的定义，有 0 ，所以 在上述例 1 中，我们已求得正六棱柱关于其中心轴的转动惯量，利用平行轴定理，我们还可求得六棱柱相对于棱边的转动惯量为（ 5 12） （ 1712 ） 3. 运用垂直轴定理对任意的刚体，任取直角三维坐标系，刚体对、z 轴的转动惯量分别为、 、，可以证明2，是质元到坐标原点的距离2 2 ，即 图 4证明：如图 4 所示，质元 的坐标是 、 、 ，显然， 而刚体对、轴的转动惯量依次为 ）， ）， （ ） （则 2 （ ） 2 这个结论就是转动惯量的垂直轴定理，或称正交轴定理
13、这个定理本身及其推导方法对转动惯量求解很有指导意义例 2 从一个均匀薄片剪出一个如图 5 所示的对称的等臂星此星对轴的转动惯量为求该星对 轴的转动惯量和 轴都位于图示的平面中，和都可看做是已知量图 5分析与解设星形薄片上任意一质元到过中心而与星平面垂直的轴距离为 ，则星对该轴的转动惯量为 = ，由于对称性，星对轴及同平面内与轴垂直的轴的转动惯量相等，均为已知量；同样，星对 轴及同平面内与 轴垂直的 轴的转动惯量亦相等，设为 ，等同于垂直轴定理的推导，则 2 ， 2 ，于是有4. 巧用量纲分析法根据转动惯量的定义，其量纲应为，转动惯量的表达式常表现为 形式，是刚体的质量，是刚体相应的几何长度，只
14、要确定待定系数，转动惯量问题便迎刃而解例 3 如图 6 甲所示，求均匀薄方板对过其中心且与轴形成角的轴的转动惯量图 6分析与解如图 6（甲所示为待求其转动惯量的正方形薄板，设其边长为，总质量为，对轴的转动惯量为，过中心将板对称分割成四个相同的小正方形，各小正方形对过各自质心且平行于的轴的转动惯量为16 （ 4）·（ 2 ）如图 6 乙所示，小正方形的轴与轴距离为或，由平行轴定理， 它们对轴的转动惯量应分别为（ 16）（ 4 ）（两个质心与轴距离为的小正方形）或（16）（ 4 ）（两个质心与轴距离为的小正方形），则有下列等式成立，即2 （16）（ 4 ） 2 （ 16）（ 4）整理可得
15、（ 32 ）（）而由几何关系，可得（2）·（2 ）（ 4 ），（ 2）·（2 ）（ 4 ），故有（3 2）（ 8）（4 ） （ 4 ），则 1 12于是求得正方形木板对过其中心的轴的转动惯量为（1 12 ），且与角 无关5一些规则几何体的转动惯量一些规则几何体的转动惯量如表2 所示表 2三、刚体运动问题例析根据今年将实行的新提要，刚体运动问题应该要求运用质心运动定理、角动量定理及角动量守恒定律等刚体基本运动规律来求解刚体转动的动力学与运动学问题下面就此展示四个例题例 4 在平行的水平轨道上有一个缠着绳子且质量均匀的滚轮，绳子的末端固定着一个重锤开始时，滚轮被按住，滚轮与重锤
16、系统保持静止在某一瞬间，放开滚轮过一定的时间后，滚轮轴得到了固定的加速度，如图 7 甲所示假定滚轮没有滑动，绳子的质量可以忽略试确定：（ 1）重锤的质量和滚轮的质量之比；（ 2）滚轮对平面的最小动摩擦因数图 7分析与解 与处理质点的动力学问题一样，处理刚体转动的力学问题，要清楚了解力矩与转动惯量对刚体运动的制约关系（1）当滚轮轴亦即滚轮质心纯滚动而达到恒定的加速度时，其角加速度为，为滚轮的半径滚轮可看做质量均匀的圆盘，其关于质心的转动惯量为（1 2），分析滚轮受力情况如图7 乙所示，可知以轮与水平轨道的接触点为瞬时转动轴考察将比较方便，因为接触点处的力对刚体的这种转动不产生影响关于轴，对滚轮形
17、成转动力矩的只有绳子上的张力，张力可以通过重锤的运动来确定：相对于接触点，滚轮的质心的水平加速度为，重锤相对滚轮质心的线加速度也为，且方向应沿绳子向下，这两个加速度是由重锤所受到的重力与绳子拉力提供的，重锤的加速度为这两个加速度的矢量和由牛顿第二定理，有 ，（ ），则再研究滚轮，注意到点到张力的作用线之距离的几何尺寸，滚轮对轴的转动惯量可用平行轴定理转换为（ 32） ，对滚轮运用转动定律，有（）（ 1（）（ 32 ） ·（）解之得 3 2（） （ 2）对滚轮应用质心运动定理，滚轮质心加速度为，方向水平，则应有 ， ，其中 ， ，那么，动摩擦因数满足在上面解答中，确定滚轮与重锤的相关加
18、速度是本题的“题眼”所在例 5 如图 8 甲所示，在光滑地面上静止地放置着两根质量均为，长度均为的均匀细杆，其中一杆由相等的两段构成，中间用光滑的铰链连接起来，两段在连接点可以弯折但不能分离在两杆的一端，各施以相同的垂直于杆的水平冲量试求两细杆所获得的动能之比图 8分析与解 本题的求解方向是通过质心的动量定理与刚体的角动量定理，求得杆的质心速度及绕质心的角速度，进而求出杆由于这两个速度所具有的动能如图 8乙所示，设杆1 在冲量作用下，质心获得的速度为，杆的角速度为 ，由质心的动量定理，得 ，由刚体的角动量定理，得· 2 （ 1 12）则杆 1 的动能为 1（ 12）（ 1 2） （
19、1 2）（）（ 1 2）（ 2 ）（2）（ 2）32 如图 8丙所示为杆 2的左、右两段受力情况，当在杆2 左端作用冲量时，在两段连接处，有一对相互作用的冲量 与 ，它们大小相等，方向相反由于两段受力情况不同，各段的质心速度及角速度均不同，但在连接处，注意到“不分离”的条件，左段的右端与右段的左端具有相同的速度现对两段分别运用动量定理和角动量定理，对杆2 左段，有 （ 2） ，（ ）·（4）（ 96） ，对杆 2 右段，有 （ 2 ） 2 ， · 4（96） 由连接处“不分离”条件得左、右两段的速度与角速度的关系是 1 ·（4） ·（ 4） 2 ，由以上
20、各式，可得 18， 6 ， 1 5 2 ， 2 2，于是可计算杆 2 的动能为 2）（ 12）·（ 2）（ ） 2 （ 1 2）·（ 2）（ 12 7易得 1、 2 两杆的动能之比为 47本题求解中，抓住杆2 左、右两段连接处速度相同的相关关系，全盘皆活例 6形状适宜的金属丝衣架能在如图9 所示的平面里的几个平衡位置附近做小振幅摆动在位置甲和位置乙里，长边是水平的，其它两边等长三种情况下的振动周期都相等试问衣架的质心位于何处？摆动周期是多少？（第13 届试题）图 9图 10分析与解本题涉及刚体做简谐运动的问题，即复摆的运动规律一个在重力作用下绕水平轴在竖直面内做小角度摆动的
21、刚体称为复摆或物理摆我们先来推导复摆的周期公式如图 10 所示，设为转轴（悬点），质心与转轴距离 （等效摆长） 为，质量为，对转轴的转动惯量为， 最大偏角 5°由机械能守恒定律，可得（ 1 ）（ 12 ） 是刚体的质心通过平衡位置时的角速度对摆长、质量的理想单摆而言，有（ 1 ）（ 12 ） （ 12 ）（ ） （ 12）（ ） 式中 是摆球（质点）通过平衡位置时的角速度，是振幅（=）， 是摆球振动的圆频率可知 将式变形为（ 1 ）（ 12 ） （ 1 2 ）（·）（ 1 2）（ ） ，比较式，即对复摆与单摆作等效变换，可得复摆小幅振动（亦为谐振）的圆频率为 ，那么复摆的周
22、期公式为 2图 11由题设条件确定衣架的质心位置及转动惯量，依据复摆周期公式，即可确定三种情况下相同的摆动周期如图11 所示，质心到转轴、的距离设为、，由图9 甲所示衣架的平衡位置可知，质心必在衣架长边的中垂线上，在三种情况下衣架对转轴、的转动惯量依次为 ， ， 式中 为所设衣架对质心的转动惯量，是衣架总质量因为三种情况下的周期相同，故有（ ）（ ），即（ ）（）0 ，显然，则可知 ；又有（ ）（ ），即（ ）（）0 ，此式中因，故（ - ） 0，则必有，即质心位于之中点衣架周期为 =2 2根据图 9 标注的尺寸可知 5， 21 6，代入后得1. 03本题是国际物理奥林匹克的一道赛题，题意简洁
23、，解答方法也很多，笔者给出的这种解法应该说比较严密且巧妙最后，我们再尝试解答另外一道比较繁难的国际物理奥林匹克竞赛试题，该题涉及动量矩守恒定律的运用例 7 如图 12 所示，一个质量为，半径为的均匀圆盘在光滑水平面内以速度沿轴方向平动，圆盘中心至轴的垂直距离为圆盘与另一静止的、其中心位于坐标原点的均匀圆盘相碰圆盘的质量与相同，半径为 假定碰撞后两圆盘接触处的切向速度分量（垂直于连心线方向的速度）相等，并假设碰撞前后两圆盘沿连心线方向的相对速度大小不变在发生碰撞的情况下，试求：（ 1）碰后两圆盘质心速度的分量和分量，结果要以给定的参量、 、和表示；（ 2）碰后两圆盘的动能，结果要以给定的参量、和
24、表示（第 24 届试题）分析与解（1）本题情景是质量相同的运动圆盘与静止圆盘在水平面上发生非弹性斜碰碰撞前后，质心动量守恒系统不受外力；对点的角动量守恒外力冲量矩为零；动能不守恒碰撞后两圆盘接触处的切向速度分量相等，必有摩擦力存在，动能有损失本题给出诸多的附加条件，除了根据动量守恒与角动量守恒列出基本方程外，还必须根据附加条件给出足够的补充方程，并适当选用速度分量，方可最终得解图12图13如图 13 所示，设碰撞时两盘质心连线与轴成角，由几何关系可知 =（ + ） 对系统，在法向与切向动量均守恒，即 ， ，式中， 、 、 、 是、盘碰撞后沿切向与径向的质心速度；系统对点的角动量守恒即 （ ）
25、，该式中， （ 1 2） 2， （ 12 ） 2， 、 为两盘碰撞后的角速度（待定）注意碰撞后盘既有转动又有平动，对点的角动量由两部分组成，而盘质心在点，故角动量仅为 上述三个方程涉及六个未知量，需列出补充方程根据两盘接触处切向速度相同有 ，根据两盘法向相对速度不变有 对盘，由动量定理和角动量定理，摩擦力的作用是· ，· · ，即 由上述六个方程，解得 3 ， 3 ， （ 5 6） ， （ 1 6 ） ， 0， 碰后两盘的质心速度的分量分别为 （5 6）， （1 6），碰后两盘的质心速度的分量分别为 （ 5 6） ， （ 56 ） ，其中 （ ）， （ ）（ 2）
26、各圆盘的动能是各盘质心平动动能与圆盘转动动能之和，这里不再赘述，答案是38（），（ 1 2）12（）（1（ 11四、竞赛训练题1如图 14 所示，质量为的均匀圆柱体的截面半径为，长为2试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴（如图中的、 轴）的转动惯量2如图图14图1515 所示，匀质立方体的边长为，质量为 试求该立方体绕对角线轴的转动惯量3椭圆细环的半长轴为，半短轴为，质量为（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为 ，试求该环绕短轴的转动惯量4在一根固定的、竖直的螺杆上有一个螺帽，螺距为，螺帽的转动惯量为，质量为假定螺帽与螺杆间的动摩擦因数为零，螺帽以初速度 向下移动， 螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g5如图16 所示，两个质量和半径均相同的实心圆柱轮，它们的质心轴互相平行，并用一轻杆相连，轴与轴承间的摩擦忽略不计两轮先以共同的初速度 沿水平方向运动，两轮的初角速度为零，如图16 甲所示然后同时轻轻地与地面相接触，如图16 乙所示，设两轮与地面之间的动摩擦因数分别为和 （ ）试求两轮均变为纯滚动所需的时间及纯滚动后的平动速度大小图16图176如图 17 所示，光滑水平地面上静止地放着质量为、长为的均匀细杆质量为的质点以垂直于杆的水平初速度 与杆的一