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1、线性代数必考知识点1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：、和 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式：将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则 ；将 顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则 ；将 主对角线翻转后（转置） ，所得行列式为，则 ；将 主副角线翻转后，所得行列式为，则 ；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元
2、素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为 阶主子式；7.证明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0 是其特征值；2、矩阵1.是 阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵） ；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；， 总有唯一解；与 等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是 中某两组基的过渡矩阵；2.对于阶矩阵：无条件恒成立；3.4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，
3、其中均、 可逆：若 ，则：、；、；、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用： （初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 ，则 可逆，且 ；、对矩阵做初等行变化，当变为 时， 就变成 ，即： ；、求解线形方程组：对于个未知数
4、个方程 ，如果 ，则 可逆，且；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定： 左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵， 乘 的各行元素；右乘，乘 的各列元素；、对调两行或两列，符号，且，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或某列，符号,且 ，如：；5.矩阵秩的基本性质：、；、；、若，则；、若、 可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是 矩阵，是 矩阵，且，则：（）、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；、若、 均为阶方阵，则；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩
5、阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；、8.关于矩阵秩的描述：、， 中有阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话）、， 中有阶子式全部为0；、， 中有阶子式不为0；线性方程组：，其中为 矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有 个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为 元方程；10. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程
6、的方程组构成 元线性方程：、 ；、（向量方程，为 矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性表出）、有解的充要条件：（ 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.个 维列向量所组成的向量组： 构成矩阵；个 维行向量所组成的向量组： 构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关有、无非零解； （齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3.矩阵与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；( 例14)4.； (例 15)5.维向量线性相关的几何意义：、 线性相关；、 线性相关
7、坐标成比例或共线（平行） ；、 线性相关共面；6.线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则必线性相关；若 线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 维向量组的每个向量上添上个分量，构成 维向量组 ：若 线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；向量组能由向量组线性表示，则；向量组能由向量组线性表示有解；向量组能由向量组等价8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与 同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等
8、价：（ 、 可逆）；9.对于矩阵与 ：、若与 行等价，则与 的行秩相等；、若与 行等价，则与 同解，且与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；10. 若 ，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ ）其中为 ，且 线性无关， 则 组线性无关；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证
9、法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵，存在，、 的列向量线性无关；、对矩阵，存在，、 的行向量线性无关；线性相关存在一组不全为0 的数 ，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设 的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或 （定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、 正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：；;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、与 等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；、与 合同，其中可逆；与 有相同的正、负惯性指数；、与相似；5.相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则 为二次型矩阵；7.元二次型为正定：的正惯性指数为；与 合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0； (必要条件 )