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1、数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知 ann(nN) ，则数列an的最大项是n2 1562、在等差数列 an 中，若 a4a6a10a1290 ，则 a101 a1433、已知等比数列an，若154，则 a3 的值为a1,a4、数列 an 中， a32 ， a51 ，则数列 1 是等差数列，则 a11an15、在数列 an 和 bn 中， bn 是 an 与 an 1 的等差中项， a12且对任意 nN 都有3an 1an0 ，则数列 bn 的通项公式为_6、设等差数列an 的公差 d 不为 0， a19d ， ak是 a1 与 a2 k 的等比中项，则k7、等差数列 an 的
2、前 n 项和为 Sn ，若 S4 10, S515 ,则 a4 的最大值为8、正数数列 an 中，已知 a12 ，且对任意的s,tN,都有 asatast 成立，则11L1a1a2a2 a3anan 19、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a4 a28, a3a526 ，记 TnSn，如果存在正整数 M ，使得对一切正整数n ， Tnn2M 都成立则 M 的最小值是 _10、已知无穷等比数列 an 中，各项的和为 S ,且 lim3( a1a2Lan )S 4, 则实n数 a1 的围11、设正数数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且存在正数 t ，使得对于所有自然数n ，有tSn
3、antSnt ，则实数 t 的取值围为2成立，若 limann2n1(1n2)，则 lim Sn12、数列 an 的通项公式为an1n(n3, nN)n)313、已知数列 an 的通项公式为 an2n1 1，则 a1Cn0a2Cn1a3C n2 Lan 1Cnn2an(0an1 )614、数列 an 满足 an 12，若 a1，则 a2007 的值为 _172an1(an1)215、在数列 an 中，如果对任意nN都有an 2an 1k (k为常数 )，则称 an 为等an1 an差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0；等差数列一定是等差比数列；若 an3n2
4、 , 则数列 an 是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列 an 的公差为 d ，前 n 项的和为 Sn ，当首项 a1 和 d 变化时 a2a8 a11 是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A. S7B. S8C. S13D. S1517、在等差数列 an 中， a1 0,5 a517a10 ，则数列 an 前 n 项和 Sn 取最大值时， n的值为（）A.12B.11C.10D. 9a1118、设 an 为等差数列，若1 ，且它的前n 项和 Sn 有最小值，那么当Sn 取得最小正值时，na10（）A.11B.17C.19
5、D. 2019、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S5S6,S6S7S8 ,则下列结论中错误的是（）A.d0B.a70C .S9S5D .S6 和 S7 均为 Sn 的最大值20、已知数列、都是公差为的等差数列， 其首项分别为 a1 、b1 ，且 a1b1 5 ， 11N*设 an bn 1a, bcnabn（ nN * ），则数列 cn 的前 10项和等于（）A. 55B. 70C. 85D .10021、已知等差数列 nuuuruuuruuurA, B, C 三点共线an的前项和为Sn ，若 OBa200 OCa1 OA，且（该直线不过原点O ），则 S200 =（）A. 10
6、0B. 101C. 200D. 20122、已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ，且 An7n45 ，则使Bnn3得 an为整数的正整数n 的个数是（）bnA.2B. 3C .4D. 5三、解答题23、设数列an的前n 项和为Sn ，已知a1a ， an 1Sn3n ， nN *（ 1）设 bnSn3n，求bn的通项公式；（ 2）若 an 1an ， nN * ，求 a 的取值围24、数列 an满足 a1 a ， a2a （ a 0 ），且 an 从第二项起是公差为6 的等差数列，an1n 2时，用 a 与 n 表示anSn2S6Sn是与与的前 n 项和（
7、）当；（ ）若在S7 两项中至少有一项是Sn 的最小值，试求a 的取值围；25、数列 an 中， a11an ) 在直线 y x 上，其中 nN ；，点 ( n,2 an 12（ 1）设 bnan 1an1, 求证 : 数列 b是等比数列；n（ 2）求数列an的通项；（ 3）设 Sn、 Tn 分别为数列an 、 bn的前 n 项和，是否存在实数，使得数列SnTn为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。n26、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， p 为非零常数，满足条件： a1 1； Sn4an Sn 1pan 1(n 2) ； lim Sn32n（ 1）求证：数列 an 是等
8、比数列；（ 2）求 an 的通项公式；n（ 3）若 cnt n(lg 3lg t )lg an 1 ( t0) ，且数列 cn 中的每一项总小于它后面的项，数 t的取值围.27、已知数列 求数列 若 bn 若 cnana2a3an6n9,( r 0) ( n1, n N ) 。满足 a1r 2L Ln1rran的通项公式；(3n3，求 bn2)an ，且 r的最大值；an | sin n | (n4，求 lim T2n1, nN ) ，记 Tnc1c2 c3cn。2nT2 n128、在 xOy 平面上有一系列点P1 x1 , y1, P2 x2 , y2,L , Pnxn , yn ,L, 对
9、每个自然数 n ，点 Pn 位于函数y x2x0 的图象上 .以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切 ,且圆 Pn 与圆 Pn 1 又彼此外切 .若 x1 1,且 xn 1xnnN .（ 1）求证 :数列1是等差数列；xn（ 2）记 Sn 为数列1的前 n 项和，试判断方程：sin211 sin11 Sn 是否有解？xnxnxnxn说明理由。（ 3）设 bn(1) n 11，数列 b的前 n 项和为 Sn ，求 Sn 。xn xn 1n29、函数 fx是这样定义的：对于实数x ，如果存在整数m ，使得 x m1，那么就有2f xm 。（ 1）求函数fx的定义域 D ，并画出它在 x D
10、 I 3,3上的图象；2n（ 2）已知数列 an210，求 f a1f a2 fa3Lfan；5（ 3）已知等比数列an的首项是 a11，公比为 q ，又 fa1fa2fa3 4，求公比 q的取值围。数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知 ann(nN) ，则数列an的最大项是1225n1562、在等差数列 an 中，若 a4a6a10a1290 ，则 a101 a1415a1,a433、已知等比数列an，则a3 的值为2，若154、数列 an 中， a32 ， a51 ，则数列 1是等差数列，则 a110an15、在数列 an 和 bn 中， bn 是 an 与 an 1 的等
11、差中项， a12 且对任意 nN都有3an 1an0 ，则数列 bn 的通项公式为_b4( 1 )n _n36、设等差数列an 的公差 d 不为 0， a19d， ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项，则k47、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S4 10, S515 ,则 a4 的最大值为48、正数数列 an 中，已知 a1 2 ，且对任意的 s,tN,都有 asatast 成立，则11L1na1a2a2 a3=4(n1)anan 19、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a4 a2 8, a3 a526，记TSn，如果存在正nn2整数 M ，使得对一切正整数n ，
12、 TM 都成立则M的最小值是 _2_n10、已知无穷等比数列 an 中，各项的和为 S ,且 lim3( a1a2Lan )S4, 则实n数 a1 的围(0,2) U (2,4)11、设正数数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且存在正数 t ，使得对于所有自然数n ，有tSantSn32)成立，若 limt ，则实数 t 的取值围为 (,n2nan212、数列 an 的通项公式为 an2n1(1 n2)，则 lim Sn551n18(n3, nN)n)313、已知数列 an 的通项公式为 an2n1 1，则 a1Cn0a2Cn1a3C n2 Lan1Cnn2n3n2an(0an1 )6314
13、、数列 an 满足 an 12，若 a1，则 a2007 的值为 _17_2an1an1)7(215、在数列 an 中，如果对任意nNan2an 1k (k为常数 )，则称 an 为等都有anan 1差比数列，k 称为公差比 .现给出下列命题：等差比数列的公差比一定不为0；等差数列一定是等差比数列；若 an3n2 , 则数列 an 是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为（ 1）（3）（ 4）二、选择题16、等差数列 an 的公差为 d ，前 n项的和为 Sn ，当首项 a1 和 d 变化时 a2a8 a11 是一个定值，则下列各数中也为定值的是（C ）
14、A. S7B. S8C. S13D. S1517、在等差数列 an 中， a1 0,5 a517a10 ，则数列 an 前 n 项和 Sn 取最大值时， n的值为（A ）A.12B.11C.10D. 9a1118、设 an 为等差数列，若1 ，且它的前n 项和 Sn 有最小值，那么当Sn 取得最小正值时，na10（D）A.11B.17C.19D. 2019、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S5S6,S6S7 S8 ,则下列结论中错误的是（C ）A.d0B.a70C .S9S5D .S6 和 S7 均为 Sn 的最大值20、已知数列 an、 bn 都是公差为 1的等差数列， 其首项
15、分别为a1 、b1 ，且 a1b1 5 ，a1 , b1 N * 设cnabn （ nN * ），则数列 cn 的前 10项和等于（C）A. 55B. 70C. 85D .10021、已知等差数列 的前 n 项和为uuuruuuruuurA, B, C 三点共线anSn，若a200 OC，且OBa1 OA（该直线不过原点O ），则 S200 =（A）A. 100B. 101C.200D. 20122、已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ，且An7n45，则使Bnn3得 an为整数的正整数 n 的个数是（D）bnA.2B. 3C .4D.5三、解答题23、设数
16、列an 的前 n 项和为Sn ，已知 a1a ， an 1Sn3n ， nN * （ 1）设 bnSn3n ，求 bn的通项公式；（ 2）若 an 1an ， nN * ，求 a 的取值围解： (1) 依题意， Sn 1Snan 1 Sn3n ，即 Sn 12Sn3n ，由此得 Sn 13n 12( Sn3n ) 因此，所求通项公式为bn Sn 3n(a 3)2n 1 ， n N * （ 2）由 知 Sn3n( a 3)2n 1 ， nN * ，于是，当 n2 时， anSnSn 1 3n(a3) 2n 13n 1( a 3)2n 223n1(a3)2n 2 ，2n 2 12g 3n 2an
17、1an4 3n 1(a 3)2 n 2a 3 ，2当 n2时，3n 2aan12a3 0n 1g2a5 又 a2a13a1 综上，所求的 a 的取值围是5，24、数列an满足 a1a ， a2a （ a 0），且an 从第二项起是公差为6 的等差数列，Sn是an的前 n1n 2时，用a 与 n 表示an与Sn2S6与项和（ ）当；（ ）若在S7 两项中至少有一项是Sn 的最小值，试求a 的取值围；解：（1）由已知，当 n2时， ana6(n2) ，即 an 6n( a12)Sna1a2Lana (n 1) ( a)(n 1)(n 2) 63n22(a9)n2a6Sn3n2( a 9)n 2a
18、6 (n N )（2）解法一：由已知，当n 2时， an 是等差数列，公差为6 ，数列 an递增若 S6a6024a0是 Sn 的最小值，则，即30a，得a700若 S7a7030a0是 Sn 的最小值，则，即36a，得a80024a3030a36 当 S6 与 S7 两项中至少有一项是Sn 的最小值时，a 的取值围是 24 , 36（2）解法二： 在 S6 与 S7两项中至少有一项是Sn 的最小值， 5.5a97.56解得 24a36，从而 a 的取值围是 24 , 3625、数列 an 中， a11( n,2 an 1 an ) 在直线 y x 上，其中 nN ；，点2（ 1）设 bnan
19、 1an1, 求证 : 数列 bn 是等比数列；（ 2）求数列an的通项；（ 3）设 Sn、 Tn 分别为数列an 、 bn 的前 n 项和，是否存在实数，使得数列SnTn为等差数列？若存在，试求出；若不存在，则说明理由。n解：（1）由已知得：a11an n, 2an 12Q a23 , a2a113113 ,4424又 bnan 1an1, bn 1an 2an 1 1,bn 1an 2an 11an 1( n 1) ann 1an 1an11 .2an2an 12bnan 1an1an 11an1 2 bn 是以3为首项，以1 为公比的等比数列 .42（ 2）由（ 1）知， bn31)n1314(22n ,2an 1an13 1n , a2a1 13 1 ,2222a3a2131anan 1 131222 ,22n 1 ,将以上各式相加得：ana1(n 1)31112(22n 1 ),2211ana1n132(12n 1 )1(n1)31)3n2.212(12n12n1223ann2.