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1、第三节数列的极限西北师范大学数学与统计学院汪媛媛引言 ：极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法- 割圆术 , 就是极限思想在几何学上的应用 . 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4 世纪）在庄子 .天下篇一书中对“截丈问题”，有一段名言： “一尺之棰 , 日截其半 , 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列极限的定义.分布图示
2、 极限概念的引入 数列的极限数列极限的严格定义例1例2例5例6 收敛数列的有界性 极限的唯一性 子数列的收敛性 内容小结 习题1-3 数列的定义 例 3 例7 例8 例 9 课堂练习 返回 例4教学目的：1理解极限的概念，了解极限的N ,定义；2会用极限的严格定义证明极限.；3了解极限的性质；教学重难点： 理解掌握数列极限的概念内容要点一、 数列的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术， 就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆， 首先作内接正六边形，把它的面积记为A1 ；再作内接正十二边形，其面积
3、记为 A2 ；再作内接正二十四边形，其面积记为A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正 62 n 1 边形的面积记为An nN 。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1 A2 A3. An .它们构成一列有次序的数。当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An 作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n 取得如何大，只要n 取定了， An 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为n，读作 n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数
4、值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1 A2 A3 . An . 当 n时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数x1 ，第二个数x2 ， 这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n 有一个确定的数xn ，那么，这列有次序的数x1x2x3. xn .就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项 xn 叫做数列的一般项。例如：(1)123，n， ；，2n， ；234n1(2)2 4 81111，n1，
5、；(3)，；12482n(4)11114n1n 1，(5)2， ，n23都是数列的例子，它们的一般项依次为n1n 1 nn 1n11。， ， ，n 122nn以后，数列x1x2x3. xn .也简记为数列xn 。注：打印错误：L 等为省略号。 。二、 数列的极限如果数列 xn ，当 n 无限增大时，数列xn 的取值能无限接近常数l ，我们就称l 是 xn 当n 时的极限，记作lim xnl，n它的解析1定义：如果数列 xn 与常数 a 有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小） ，总存在正整数 N ，使得对于nN 时的一切 xn ，不等式xna都成立，则称常数a 是数列 xn 的极限，或者
6、称数列xn 收敛于 a ，记为lim xna，n或xnan。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然lim 10，n nlim n11。n nN 论证法，其论证步骤为：（ 1）对于任意给定的正数, 令| xna |；（ 2）由上式开始分析倒推,推出n() ；（3）取 N ( )，再用N 语言顺述结论 .下面我们将学习数列极限的性质：三、 极限的唯一性性质 1（极限的唯一性）数列 xn 不能收敛于两个不同的极限。四、 收敛数列的有界性性质 2（收敛数列的有界性）如果数列xn 收敛，那么数列xn一定有界。五、 子数列的收敛性性质 3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列xn 收敛于 a ，那么它的
7、任一子数列也收敛，且极限也是a 。例题选讲例 1 (E01) 下列各数列是否收敛, 若收敛 , 试指出其收敛于何值 .(1)2 n; (2)1; (3)( 1) n 1 ; (4)n 1 .nn解(1)数列 2 n即为2,4,8,.,2n ,.易见 , 当 n 无限增大时 , 2n 也无限增大 , 故该数列是发散的;1(2) 数列即为1,1,1,., 1 ,.23n易见 , 当 n 无限增大时 ,1无限接近于 0, 故该数列是收敛于 0;n(3) 数列 ( 1) n 1 即为1, 1,1,1,.,( 1) n 1 ,.易见 , 当 n 无限增大时 ,(1) n 1 无休止地反复取1、 -1 两
8、个数 ,而不会接近于任何一个确定的常数 ,故该数列是发散的;(4) 数列 n 1 即为n0, 1, 2, 3,., n1,.234n易见 , 当 n 无限增大时 , n1 无限接近于 1, 故该数列是收敛于 1.n例 2 (E02) 证明 limn(1) n 11.nn证由 | xn 1 |n(1) n 111，故对任给0, 要使 | xn 1|, 只要1,nnn即 n1 .所以，若取 N1 , 则当 n N 时，就有n( 1) n 1.1n即lim n( 1) n 11.n n例 3 设 xn C (C 为常数 ) ，证明 lim xn C .n证因对任给0, 对 于 一 切 自 然 数 n
9、, 恒 有 | xnC|C C| 0 .所以，lim xnC. 即：常数列的极限等于同一常数 .n注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的0, 寻找 N , 但不必要求最小的 N .例 4 证明 lim qn0, 其中 | q | 1.n证任给0, 若 q0, 则 lim q nlim 00;若 0| q | 1, 欲使 | xn0 | | q n | ,nn必须 n ln | q | ln, 即 nln, 故对任给0,若取 NlnN 时，就有, 则当 nln | q |ln | q | q n0 |, 从而证得 lim q n0.n例 5 设 xn0, 且 lim xn a0, 求证
10、 limxna.nn证任给0, 由| xna | xna | xna | ,xnaa要使 | xna |, 即要 | xna |a ,lim xna,对 0a0,N0, 当 nN 时， | xna | a ,n从而当 nN 时，恒有 |xna |, 故 limxna.n例 6 用数列极限定义证明lim 52n2 .n13n3证由于 52n217173( n1), 只要173, 解得13n33(13n)9n9nn1710,取 N171nN 时，9. 因此，对任给的9, 则3352n2成立，13n3即lim 52n2 .n13n3例 7 (E03) 用数列极限定义证明limn 221.2nnn1证
11、由于n2213nnn2(n3)，要使n221, 只要n 2n 1n2n 1n2nn2n 12, 即 n2 , 因此，对任给的0,取 N2, 当 nN 时，有nn221, 即 limn221.22nn1nnn1例 8 (E04) 证明：若 lim xnA, 则存在正整数N , 当 nN 时，不等式| xn | A |成立 .n2证因 lim xnA, 由数列极限的N 定义知，对任给的0,存在 N0, 当 nN 时，n恒有 | xnA |, 由于 | xn | A| xnA |,故 nN 时，恒有| xn| A|,从而有 | A| xn| A |, 由此可见，只要取| A | ,则当 nN 时，|A|. 证毕.2恒有| xn |2例 9 (E05) 证明数列 xn(1) n 1 是发散的证设 lim xna, 由定义，对于1 ,N0, 使得当 nN 时，恒有 | xna |1,n22即当 nN 时， xna1 , a1, 区间长度为1.而 xn 无休止地反复取1， 1 两个数，22不可能同时位于长度为1 地区间 . 因此改数列是发散的 .证毕 .注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛.课堂练习11设 p0, 证明数列xnn p的极限是0.