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1、2.3复数的三种表示形式通过前面的学习，我们知道在电工学关于交流电的 研究中，电流、电压等物理量都可用正弦型函数来描述, 但是解题时的计算过程却相当复杂。当复数用三角形式 表示后，处理这类问题就变得十分简捷，从而确立了复 数在交流电研究中的地位。在电工学中，正弦交流电的电压为u = Umsm（a）t +（pu）, 而复数U（t） = Um cos（初+ 0）+i Um sin（初+础 的虚部恰好 是电压的表达式，因此可考虑利用复数的运算法则进行正弦 交流电的有关计算。复数的三种表示形式 复数的三角形式e 复数的极坐标形式复数的指数形式复数的三角形式其屮，厂=J/ +b? ,cosO =冬, b
2、匕'sin& = , tan0 = （QHO） ra任何一个复数Z=Q+方i都可以表示成z=r(cose+isin0)的形式。我们把r(cose+isin0)叫做复数的三角形式。 对应于复数的三角形式，把z=a+b叫 做复数的代数形式。例1将复数V3+i表示成三角形式。解：因为, b,所以厂=J(Q+1=2,arg(75 + i) = £即y3+i = 2(cos + z sin )6 6例2将复数2(cos- + isin)表示成代 数形式。解："T + isin辛)7171=2cos 仗)+ i sin(/r) =2(cos + i sin )33
3、9;亠庚、=2(11)2 2=1 + a/3z例3复数一2（込扌+ isi吟是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式。解：不是复数的三角形式。z = -2(cos + zsin)44=2(-cos-/sin)44=2cos(t + + i sin(7F + )44= 2(cos + zsin)44复数的极坐标形式如图所示，设复数 z = d +历的模为厂，辐 角为0,则复数z=d+ 冬还可以用zrze来表 示，止匕时厂cosO, b = rsin<9o我们把乙=3称为复数的极坐标形式。例1将复数z =箱-i用极坐标形式表示出来。解：因为Z = a/3-i的模 尸=J(巧
4、5; +(_1)2 =2辐角-24半O O所以"2Z虫7T例2将复数"3Z-F化为三角形式和代数形式。分析：因为冷的模是3,辐角是送解：“送冗71= 3cose-) + Zsin(-)= 3(cos-zsin)2 2=3(0 - /)=3i复数的指数形式根据欧拉公式e"=cos + isin，任何一个复数 Z=(cos0+isin<9)都可以表示成z = re10的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。其中厂为复数的模，底数e=2.71828. 指数中的i为虚数单位，0为复数的辐角， 例如:为无理数，幕 单位为弧度。rr5” . . 5”/ iV2(cos+ 2sin)=° 6 66、厶匕兀 龙.帀i石coszsin = e '77例1把复数 £ (cos 150°+i sin 150°)表示为指数形式 和极坐标形式。2解： -(cosl50: +i sin 150) =(cos + i sin )2 2 6 62>/3=Z2 62 Tl解:例2把复数0.78e表示为三角形式和极坐标形式。0.78e_i¥ =0.78 cos(-) + isin(-)271= 0.78Z 3