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1、第第1414章章 周期性激励下电路的稳态响应周期性激励下电路的稳态响应 14.1 周期性非正弦电流 本章重点 14.2 周期函数的谐波分析 傅里叶级数 14.3 周期电流的有效值、电路的平均功率 14.4 周期性非正弦电流电路的计算 14.5 周期性激励下的三相电路 本章重点 定性判断周期性非正弦电流（电压）的谐波分量。 周期性非正弦电流（电压）的有效值、电路的平均功率。 周期性非正弦电流电路的谐波分析法。 返回目录 14.1 周期性非正弦电流 一、周期性非正弦激励（nonsinusoidal periodic excitation） 和信号（signal）举例 1. 发电机（generato
2、r）发出的电压波形，不可能是完全 正弦的。tu(t)2. 当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。 二极管整流电路 非线性电感（nonlinear inductance）电路 +DR+_ t0u2t0uSi3. 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号 二、周期性非正弦电流电路的分析方法 谐波（harmonic）分析法 周期性非正弦电源分解成傅里叶级数（Fourier series） 利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用在电路上产生的响应。将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。 返回目录尖脉冲f(t)0方波0f(t)锯齿波f(t)0狄里赫利条件: 一、周期函数分解为傅里叶级数 14.
3、2 周期函数的谐波分析傅里叶级数 式中T为周期，k = 0, 1, 2, 3 （k为正整数） （1）函数在一周期内极大值与极小值为有限个。 （2）函数在一周期内间断点为有限个。 （3）在一周期内函数绝对值积分为有限值 。 即 任何满足狄里赫利条件的周期函数f(t)可展开成傅里叶级数 周期函数傅里叶级数展开式为 还可表示成下式 将同频率 与 合并，或即f(t)在一周期内平均值 求傅里叶系数（Fourier coefficient）的公式： 两种表示式中系数间的关系： 直流分量 谐波分量 基波 二次谐波 高次谐波（higher harmonic） k 2次的谐波 奇次谐波（odd harmonic
4、） k为奇次的谐波 偶次谐波（even harmonic） k为偶次的谐波 k次谐波 一个周期内的表达式 求周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 例 0则 解毕！ 奇函数，波形对称于原点 正弦函数是奇函数(a)1. 根据函数奇偶性来判断 二、 波形的对称性（symmetry）与傅里叶系数的关系 此类函数的傅里叶级数展开式只包含正弦函数项，不 包含余弦函数项和常数项。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T(b) 偶函数，波形对称于纵轴。 余弦函数是偶函数 此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不 包含正弦函数项，可能有常数项。f(t)0tT-Tf(t)0tT-T(a) 半波对称横轴 2. 根
5、据半波对称性质判断 此类函数的傅里叶级数展开式只包含奇次函数项，不 包含偶次函数项，没有常数项。f(t)0tT-T3. 平移纵轴（改变时间起点），可以改变函数的奇偶性，但 不能改变半波对称性质。0-T返回目录14.3 周期电流的有效值、电路的平均功率 一、非正弦周期电流、电压的有效值 设根据周期函数有效值定义 将 i 代入，得 （1） I02直流分量平方 上式积分号中 i2项展开后有四种类型： 直流分量与各 次谐波乘积（不同频率各次 谐波两两相乘）（2）各次谐波分量平方 （3）（4）由此可得 其中，I1、I2 ， 分别为各次谐波电流（正弦电流）的有效值。 同理，非正弦周期电压可分解为 其有效值
6、 （2） 有效值相同的周期性非正弦电压（或电流）其 波形不一定相同。注意 ： （1）周期性非正弦电流（或电压）有效值与最大值 一 般无 倍关系。例 t0i1(t)i3(t)t0i1(t)i3(t)i (t)i (t)=二、周期性非正弦电流电路的平均功率 平均功率定义公式与正弦电流相同。 若 瞬时功率 平均功率 则ui 相乘之积分也可分为四种类型 （1）（3）同频电压、电流分量 乘积之和的积分直流分量与各次谐波 分量乘积之和的积分直流分量乘积之积分 （2）=0=0其中 （4）则平均功率 周期性非正弦电流电路平均功率等于直流分量产生的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率电压电流相乘才形成
7、平均功率）。不同频电压、电流分量 乘积之和的积分=0有效值 例 已知：求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。+-返回目录解 14.4 周期性非正弦电流电路的计算 采用谐波分析法的步骤如下： （2）根据叠加定理，分别计算直流分量和各次谐波激励 单独作用时产生的响应。 （b） 各次谐波单独作用时均为正弦稳态电路，可采用相 量法计算。要注意电感和电容的阻抗随频率的变化而变化。 （1）将周期性非正弦电源，分解为傅里叶级数，根据要 求取有限项。 （a）直流分量单独作用相当于解直流电路。（L短路、C 开路） （3）将计算结果以瞬时值形式相加（各次谐波激励所产生 的相量形式的响应不能进行相加，因其频率
8、不同）。例 图示电路为全波整流滤波电路。其中Um=157V。L=5H, C =10F, R=2000，=314rad/s。加在滤波器上的全波整流电压 u 如图所示。求：（1）电阻R上电压uR及其有效值UR 。 （2）电阻R消耗的的平均功率。uLCRuRt0u解 （1） 上述周期性非正弦电压分解成付氏级数为: 取到四 次谐波（2） 计算各次谐波分量单独作用时产生的响应 （a）100V直流电源单独作用。（L短路、C开路） uRuR单独作用（用相量法） （b）二次谐波jXLRjXC（c） 四次谐波单独作用 jXLRjXC则 返回目录14.5 周期性激励下的三相电路 对称三相电源 傅立叶级数分解各相之
9、间的相位差 k 120ok=1 时 120o k=2 时 240o k=3 时 360o 正序 负序 零序 k = 1 , 4 , 7, k = 2 , 5 , 8 , k = 3 , 6 , 9 , 讨论奇谐波函数 k = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 正序 零序 负序 k = 1 , 7 , 13 正序 k = 3 , 9 , 15 零序k = 5 , 11 , 17 负序有 有 有 有 零 有 有 有 有零 无 无 无 无 有 有 有 有 正序 零序 负序 线电流 电源端 负载端 线电压 线电压 相电压 相电压 中点电压 一 、YY（负载对称） 1 . 无中线 +_+
10、NnZZZ-eAeCeB线电流：无零序 电源端 相电压：有正序、负序、零序 线电压：无零序 负载端 相电压：无零序 线电压：无零序 中点电压：只有零序 有 有 有 有 零 有 有 有 有 零 有 无 有 无 有 有 有 有 正序 零序 负序 线电流 电源端 负载端 线电压 线电压 相电压 相电压 中线电流 2 . 有中线 +_+NnZZZ-eAeCeB线电流：有正序、负序、零序 电源端 相电压：有正序、负序、零序 线电压：无零序 负载端 相电压：有正序、负序、零序 线电压：无零序 中点电压：零 中线电流：只有零序 二、 连接 A+x+BCyzeCeAeBA+x+BCyzABCeAeBeCZZZ开口电压正序、负序 为零（ 对称） 零序 不为零闭合三角形中正序、负序 电压和为零（ 对称） 零序电压形成环流线电压中无零序(实际电源有内阻抗） 线电流中无零序 思考:负载端相电流有无零序?