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1、13.3.1等腰三角形的性质,第一课时,学习目标：1.理解并掌握等腰三角形的性质,2.能利用等腰三角形的性质证明线段或角的相等关系学习重点：等腰三角形的性质及其应用学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用,A,B,C,等腰三角形:,有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,想一想：,动手做一做,ABC有什么特点?,探究一,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的角有什么性质吗?,大胆猜想
2、,猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,已知： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,已知： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作顶角的平分线AD，则1=2,
3、AB=AC ( 已知 ),1=2 ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,1,2,已知： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的高线AD，则BDA=CDA=90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法三：作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中,用符号语言表示为：,在ABC中， AC=AB（ 已知） B=C （等边对等角）,等
4、腰三角形的两个底角相等,等腰三角形的性质1：,得出结论：,（等边对等角）,等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为:,75, 30,70,40或55,55,35,35,小试牛刀,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为:,3.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为:, 顶角+2底角=180, 顶角=1802底角, 底角=（180顶角）2,0顶角1800底角90,结论:在等腰三角形中,探究二:,刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么?,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,=90,(简写成“三线合一”),性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边
5、上的高互相重合.,小组讨论,性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。,1. 根据等腰三角形性质2填空,在ABC中， AB=AC，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,知一线得二线 “三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。,小试牛刀,1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以。3、等腰三角形的顶角平
6、分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,（X）,（X）,（）,（X）,（）,明辨是非,例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,1、图中有哪几个等腰三角形？,应用新知，体验成功。,ABC ABD BDC,2、有哪些相等的角？,ABC=ACB=BDC A=ABD,3、这两组相等的角之间还有什么关系？,BDC=2 A ABC+ACB+ A=180 ,例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,x,x,2x,2x,2x,解：AB=AC，
7、BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD(等边对等角)设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, ABC= C= BDC=2x, 在ABC中，A+ABC+C=180 x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中， A=36，ABC=C=72,例3、如图，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE,轴对称图形,两个底角相等，简称“等边对等角”,顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一”,等腰三角形,学习的数学思想及方法:分类讨论和一题多解。,解决等腰三角形问题时常用的辅助线,谈谈你的收获！,A,A,B,C,B,C,等腰三角形常见辅助线,再见,