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1、固体理论课后习题参考答案第1-18题固体理论（李正中：第二版）首先，本习题集主要贡献属于恩师谢老师。授之于鱼，不如授之于渔。在这 里为防止抄袭作为作业，不提供答案。 索求答案者，均不回复，请见谅。由于水 平有限，恳请各位前辈批评指正。由于一学期学习的内容不多，还有很多习题（超 导、强关联和无序等）没有解答。如有慷慨者，可联系以供大家学习。第一题：1+设女与十均为BZ中波矢"二工码疋二工貨也川|心眄徒N.*i i试直接证明下列正交关系旷辽評""2 X弘川"工=弘利用a和b关系，可计算k*l的数值。再进行分类讨论（相等和不相等）：2）'伙1为心WB乙
2、即一容rtj 泞1工尸认芒-厂）4 E exp feI3Z士送野（U同样进行分类讨论。此题两个公式特别重要，后面用得很多，请大家熟记。 第二题：耳设为正点阵的周期函数，还明当火不等于倒格矢厲肘f(r)rdrO因为f为正点阵的周期函数，所以f(叶l)=f(r).I fr)eik rdr =/(r -l)eikrdr=/(r)e<rd(r -Z)=严订阳膚 fI卅血(1_厂证“)=0若k不等于倒格矢K易证上式为0.第三题3证明 no* = (2k)j= Qbl (&2 X &3)= Qbl 62 x -ry (ai x Ct2 jXb I b'2 1 a I !2 O
3、. I ： Q-j 第四题4.试用平面波法论证布洛赫函数其中倉为简约波矢冬K为倒格矢，斤为带指标*根据布洛赫定理，u为格点周期函数，可用平面波展开KG+k (r)=工弧(Ki" J十K"K'=52 ak A") e'(-K，'+fe)r = ti?n.fc (r)K,f第五题5,设晶格周期场V = Ot试应用布洛赫定理求简约区（BZ）中单电子 的能H和狀态波雷数*并作出能带曲线的一维示意图.首先写出晶体单电子薛定谔方程（V=0）再根据讥（r） = Akeik r 其中斤=j2mE护,易证满足布洛赫定理，再根据周期性边界条件3 推导出杞=匸1
4、=1 “k的取值仅限于简约区归一化后可算岀波函数和能级一维情况卜，t/6 < k < TT/d能带曲线为抛物线口第六题&讨论在均匀外电场捜中质为带电豪为和频率为3的一 维谐抿子系统.试EE用玻色算子艰与G表示的哈密顿为 /=&0/（。十。十+） 4- A （at召"）其中入« Mi:仙 ： n : intB Hi = fa rii 首先写出谐振子系统的哈密顿量D?代入H即得第七题7. 讨论二维密排六角晶格的格波特 性.设a为晶搐常数./代表最近邻原子 间的线弹性力席数，其简约区BZ如下图 所示,求BZ中工线（包括r,Af A）和T 线（包括rK点
5、）上的匕（1）动力矩阵（£） = ?（2）格波频率叫（巌）和极化矢量 ?首先画出二维密排六角晶格及其倒格矢及第一布里渊区0利用仇狄)=一/%(0邙写出(0) <1>( 1)6(2) G 3 )(4)哄5)(6) 再根据。歸佝=寺口如严尺1 i算岀D蛙伙),Dxyk)rDy£ gDjc)Dxy (S) = Dyx (E) = >/3/3/2辰亠Dyy (E)=立 sm 曲 D(E)eE = -2(S)e(r) 可以常而.ka -)= 77siny® (另)=II 皂2 (£)=sin 25 (工)为纵波*3(E)为横波。2. E线ku/k
6、x = 1 /vS*水妨令斤工=/3ky =乩则Dxx (E) =5/2-M 22竺=厝也12同样的方法可算出丁线自己可以设定其他方向算一下。多练习就掌握啦。 第八题8. 设工方骷体的弹性疲方程为其中q为弹性隸奴、求沿“口】方向的格波频率气(的和极化矢h由晶格振动波动方程£Pli 3可求硯各牛力向的弹性WK-再有功力学连胖Da3出)=一 C“玄#"*# *# 越出p MD列(W.D疔仏)，D/k)*£(111)/向可令杓=ku kz k.,Qi + 2C2 + 4Cii=气p严* =心I为纵波W踣足重根两个横波*自己可以算100110等其他方向第九题9. 设艮波纵
7、光学模的哈密顿密度为轻二号吧斗如冷1- 5松£y >22 矶Jt中 & = - "Jr疝 I + 4?t/2I « £. t= (c0 e« )<u 晒与W为纵、横波频率.试将系统的哈密顿量血=jdr写成标准二次 址子化形式.先把E和r代入哈密顿密度，可计算出= J寺卩凭+ 口加叙一鲁+再利用W和u的关系(261)，然后利用简正坐标，产生和湮灭算符，可是 H 二次量子化。第十题10. 利用色散关系式(2.230)计算一维双原子链的声子态密度.并 作出声子频谱的示意图”这道题纯属计算，注意公式较复杂可令(fi + /2)+点i
8、汽伙)=a2土也-牆鬆UY。皿)再利用a , y#(丄)=需 /§3 丄kdk2汀J77 / 口分别讨算臣学支和光学支的态密復第十一题11.求立方爺格(Bc.bccJcc)铁磁休中磁振子(magnons)的抵温tt热容根据量子化的自旋波哈密顿量，低温时，系统激发自旋波引起的附加能量为E二龙也曲厂=龙阿斎kk b0.1123/4第十二题12”讨论S = y的两个自旋系统，设其哈密顿董为'藏if 舍厂试证明：是賂r的本征态;01Jv不是郵的本征态*首先写出两个自旋系统哈密顿量的算符表示H = m (cgqc厂 +c/ cuc cr +q卧把(1)和(2)两个态代入薛定谔方程即可这
9、证明第十三题13.若用II 0 >2SNi描述铁磁自徒晶格系统的蹑低激发态，试严格证明<41(S?3| + S?Sf) 14 > =爷£»s Jt'(< /*)并求系统的元激发能量處I其中艸为格点数，S为格点上的自旋值, 而10>为铁磁慕态*确+禅品=£矿V + VV )再利用 §+ = I、/2S-a+a) a. S = a+ ) Q 站- af) af = N-S £ 严叽 a" = NT" £ 严域kk同时把|K>代入.进一步化简可证.注意中问会用到第一题公式和,工
10、COS&7)第十四题14. 证明在外磁场B= Bx和各向异性晶场丈Bai中(其中直子格取“点号上子格取号)反铁磁体的自旋波量子为脑< =2 ZI门S彳7訂縣戸 "2 这里n-i为'i易写出外磁场和各向异性晶场的塞曼能项(3.5.31)。加上无外场的哈密顿量可 写成(3.5.32)。对52式进行HP变换和傅里叶变换，然后算出算子的运动方程， 求出Bogoliubov变换关系，算出u和V。代入H可算出自旋波量子。同时本题也 可以利用第六节介绍的方法求解(365-3610)。第十五题15. 试刖口 “变换方法求 H = Ea T a + £（ （a 41 a
11、 + 斗備） 的元激发严格解.其中。与为玻色算子.址与E,为常数，且Ec>首先算出算符的运动方程，可构造 Bogoliubov变换ct= ua va. a = uava99可得u 1代入H使交叉项为0.可计算出u和v。H字十 jEl - 4£? 29 十 + )第十六题16. 设磁振子与声子互作用系统的哈密顿景为H+十人（+ a：林）I*其中为磁振子能= 讷为声子能量5“），创为瞪撮子算 符*心为声子算符，叫为耦合系数.试求（1）使H对角化的变换（变换形式及对角化条件）；（2）当= 时.互作用系统的元激发能鬣-首先算出算符的运动方程，可构造Bogoliubov 变换U和v的平方
12、和为1,再把新组合的算子代入H,交叉项为0,可计算另一个 U和v关系。余下过程纯属计算故省略。第十七题17. 已窃骨W个元胞复式晶搐的电子TBA哈密顿*为H -+IF刁 S（町九"+ *>*»）其中曾与$是克胞中触（原子周围的前/电子算符，晶格配位败设 为乙试将H对侑牝，井求出能带电子的能就首先做傅里叶变换引入各个子格（局域电子算符）的简正坐标表示1/2亠a；i=N_l/2e-ikRiQ+bj = r1/2力厂力昨加，bj = 丁I/2刀芒乌bjJtk变换后Ofc和bk満足玻色对易关系#代入也再利用消除交叉项和利用U和”关系，可是H对角化和求岀色散关系，第十八题18,
13、 设超流玻色系统的哈孫顿嘏近似为H =I coq （ b；b + A *_ |） + 吗（bb-卜 +） !t其中cun =+用«S - N*心= ,Vk > 0,（）表示求和时k “ 试将月对角化，求岀其元激发能量（取庙=】单位）井讨论元激发 谱中是否存在能隙？解题方法同第15，16题。以=ukbk - W %=讪-gb七o-k = ffkh-k 一 vka-k = 以力七一 心加、 如仗心"其它等于0確-= 1代入H后会得到u和v另一个关系式。同时也可以利用 P83或P168-169类似的方法。22.证明三维电子气的等离激元的长波色散曲线为其中首先有等离激元的介电
14、系数牛丄)(ga+ 2 (<7Q 实部Ry (gw) =1 -岂屮V g 半耳”(方_ "Xi：qa)二' g (1 一 H苟丨d 2 v&q ) 一 d 2 + 亠g)无规柑近似的响战方程 %为外扰动总和)一 U时.右QsQHdf) -U其中菲零的门60的解对隔系统的尤激发，所以对元激发有(q) = o对九>域胛区域.Im書(ga)总为零.说明擱荡是无陌尼的代衷电子的集体掘断 Rx (gw)=学工力严工=0在氏波近似卜' 对上式作展开f（Q）4丄畑n A F =*r护工5(异2皿)求利中第项为零g为冬温度时的费米分布=1 =it35.设在晶格常数
15、a的一维晶格中瓦尼尔麦象的电子算符G满足 运动方程ifit/ 瞪 AC# - B ( C； * J + G * 试求：(!)电子能量与波矢的关系E (Jt);(2) 能带宽度和带顶空穴及带底电子的有效质ilh(3) A= 0时能带电子的态轉度p(E).首先计算算符的海森堡方程iF心Ch H 设 H = , HmnCnCnCH - HCf = g - B (C + g)nCCnCi = ACt 一 B (G-1 + C屮mtrt工 HlnCn =丄0 一 B （C-1 + Gl ）nHin谨函数用巨尼尔誨数表示井论入薛定欝方程可得elk!a f （x - la） = Eh严叮匕 一 b）一 B
16、(51l.r? +- 1.n )H-v两边乘以广仗一血）并对t积分俐用瓦尼尔函数的正交性 坯=工心）0 咖一 B（6屮川 + &+）=A 2Bcoska余下（2）和（3）根据带顶和带低的特点就很容易计算啦。第三十六题3试用微扰论证明r = 0 K时弗留里希极化子在a « 1时的自能-土 aresin （k/y）民x创叽 一HfTTT-其中矶二舅宀（琴）当yQ时上式简化为式32叭T=0寸没有声子激发（5413），设电子声子相互作用很弱，可用微扰计算H（有一个声子激发）。可计算出微扰矩阵元（5414-17）易知一级微扰为0.F _ .(47reF)2 2m r dq1(2-)3
17、戸，/，亠/+2k(4疋Ff 2m f <lqI= £fc" (Zsr)3 J 歹护+ *-2bg汀=/凹| r广蚀J 瘁決J q2 +a -2fc q 7o 9s Jo q2 + 7? - 2k?COs0dx*dq (，十工 )+ 1-一 dt =;亡0沪f/ 炉卫2. r 亠=r2nrctan ”“Ms：2-j-3-aroin (k =)/-I肩-炉工2人二2tt rldx_ 顼' L Ji - (曲严 k所以Et =恥一哎1 arcsin (化 “)£q / Tik再利H3 arcsinx = r +卜.即可弼tfl结果第三十八题3乱试将习翹6
18、中一维带电谐振子的哈密顿崖时角化并求出位移 掠子变换W - e9Hes的母网数5.实现对角化，要通过正则变换将振动坐标的原点移到平衡点。A°+広只霊寻求满足下式的变换（位移振子变换） esaes = a 假设町J利用公式1 r+血S +页|可得 eae3 = a + £ esa+es = ” + /*“厂一巧一町esaes /-SgS =aa.S. S + A2 方上第三十九题39.设电子与声子&作用系统的哈密顿樹为H = EflC* C + C* £工气+ u；）+ :血；伽 + 丁）其中（：为费密算子由叫为玻色算子.垃为实址1试用付移振子变换证 明H町
19、写成下列对角形式畫H = esHes=（£° -孕爲）l c * 严，（叭+i） 并求出变换鸽母函数S* *H =Ho + HHo = EoCTC + X twq (咖g + *)R =c：c 刀q + 4)qH = esHes =Hq + (Q + HQ.S) + | " + %S)S + 适选择s,使乩+HoS = 0,则准至Hr -阶的哈密顿为 方=局+訥.S设S = (79(去5 +凤必) Aq. Bq待定9Ho. S=GC 工 g (_.耳5 + Bqa)gHi + Ho. S = 0,即 GC力+ at)= CP工沁q (Aqaq - Bqa)入谶 B宀證 S = CtC工證(aq - a：)q q代入刀一步一步计算即可化简成对角形式