数列专题突破三数列通项公式的求法.docx

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1、专题突破三数列通项公式的求法求数列的通项公式， 是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置, 本专题就来谈谈数列通项公式的求法.一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1由数列的前几项，写出通项公式：(1)3,5,3,535，；1234 5(2)2，3,4,5，6，5133381(3)2，2,匚，8，16，111112，6,12,20，30，解(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5所以它的一个通项公式n*为 an= 4+ ( 1)n, n N .数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1,n*所以它的一个通项公式为an=, n N .n

2、 + 11111(3)数列可化为 1 + 1,2+ 2，3 + 4，4+ 8 5 + ，1 *所以它的一个通项公式为 an= n + -, n N .2 数列可化为1 11 X 2，2X 3，1 1 13X 4，4X 5，5X 6,所以它的一个通项公式为1an=，n n + 1反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列) 联想基本数列，再考察它与基本数列的关系需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项 归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一.跟踪训练1由数列的前几项，

3、写出通项公式：(1)1 , - 7,13, 19,25,;131794，7，2，13, 16，;81524(3)1， 5，7，- ?，解(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为n 1*an= (- 1) + (6n 5)，n N .13579数列化为才，7，5，13，16'分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式、 2n 1*为 an=， n N .3n + 12 22 13 1(3)数列化为一厂，一542 1752 19 ，,所以数列的一个通项公式为an= ( 1)n+ 1，n N*.2n+ 1、利用递推

4、公式求通项公式命题角度1累加、累乘例2 (1)数列an满足a1= 1，对任意的n N都有an+1 = a1 + an+ n，求通项公式;2n、已知数列 an满足a1= 3，an+1=an，求an.解 (1) - an+1 = an+ n + 1，二 an+1 an= n +1，即 a2 a1 = 2，a3 a2= 3，an an 1= n(n >2).等式两边同时相加得an a1= 2+ 3 + 4 + + n(n >2)，n(n+ 1 )即 an= a1 + 2+ 3 + 4 + + n = 1+ 2+ 3 + 4 + + n= -2，n2.又a1= 1也适合上式,n n+1*a

5、n=2, n N .an+1 n由条件知 a =，分别令n = 1,2,3,，n 1,ann+1代入上式得(n 1)个等式，累乘,a2 a3 aia1 a2 a3an 1(n> 2).an 12.2一=，又 ai = , - - an= , n2.ai n33n2 2 *又ai= 3也适合上式， an= 3， n N.反思感悟 形如an+1= an+ f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步 将递推公式写成an+1- an= f(n)；第步 当n2时，依次写出an an -1,，a2 ai，并将它们累加起来；第三步得到an a1的值，解出an；第四步 检验a1是否满足所求

6、通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式累 乘法类似.跟踪训练2 数列an中，a1= 2, an+1 a“= 2n，求an的通项公式.解 因为 a1 = 2, an + 1 an= 2，所以 a2 a1 = 2, a3 a2 = 2, a4 a3= 2 ,，an a*-1 = 2 , n2，以上各式累加得，an a1 = 2 + 2 + 2 + + 2 ,2(12n-1 )故an= + 2= 2n,当n= 1时符合上式，1 2所以an = 2n.命题角度2预设阶梯转化为等差(比)数列例 3 在数列an中，a1 = 2, an+1 = 4an 3n + 1, n N*.(1)证明：数列

7、an n是等比数列；求数列an的通项公式.(1) 证明 由 an+ 1 = 4an 3n+ 1 ,得 an+1 (n + 1) = 4(an n), n N .an+1 (n+ 1 )因为a1 1= 1工0,所以an nz 0，所以=4,an n所以数列an n是首项为1,公比为4的等比数列.n 1*(2) 解由(1),可知 an n = 4 - , n N ,n 1*于是数列an的通项公式为 an= 4 - + n, n N .反思感悟课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好 等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. 跟踪

8、训练3 (2018江苏泰州泰兴中学月考)在数列an中，ai= 1,3anan-1 + a. an-1= 0(n>2, n N*).1、(1)证明：数列“J是等差数列；an求数列an的通项公式.(1)证明由 3anan 1 + an an-1 = 0(n2),1 1整理得一一=3(n2),an an-11所以数列 1是以1为首项，3为公差的等差数列.1解 由(1)可得二=1 + 3(n 1)= 3n 2,an1 *所以 an =, n N .3n 2命题角度3构造等差(比)数列例 4 已知数列an中，a1= 1, an+1= 2an+ 3,求 an.解 递推公式 an+1 = 2an+ 3

9、 可以转化为 an+1 t = 2(an t)，即 an+1 = 2an t,贝V t = 3.故递推公式为 an+1+ 3= 2(an+ 3).bn +1 an+ 1 + 3令 bn= an+ 3,贝U b1 = a1+ 3= 4,且 = 2.bnan+ 3所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.所以 bn = 4X 2“-1 = 2+,即卩 an= 2+ 3( n N ).反思感悟 形如an+1= pan+ q(其中p, q为常数，且pq(p 1)丰0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设递推公式可改写为 an+ 1+ t = p(an + t)；第二步由待定系数法，解得t=

10、J;p 1第三步写出数列an+p一的通项公式；第四步写出数列an通项公式.跟踪训练4已知数列an满足an +1 = 2an+ 3X 5n, a1= 6,求数列a*的通项公式.解设 a*+1 + XX 5 + = 2(an + AX 5 ), 将an+1 = 2an+ 3X 5n代入 式，得 2an+ 3 X 5n+ XX 5n + 1 = 2an+ 2 XX 5n, 等式两边消去2an,得3 X 5n+ XX 5n+ 1= 2 X 5n,两边除以5n，得3+ 5 X= 2 X贝U X= 1,代入式得 an+1 5n+1= 2(an 5n).由 ai 51 = 6 5 = 1 丰 0 及式得 a

11、n 5n* 0,an+1 5n+1则厂=2，an 5 则数列an 5n是以1为首项，2为公比的等比数列, 则 an 5n= 2n-1，故 an= 2n-1 + 5n(n N*).、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式例5已知数列an的前n项和为Sn,若Sn = 2an 4,n N ,贝Van等于( 答案 A 解析 因为Sn= 2an 4，所以n2时，Sn 1 = 2an-1 4，两式相减可得 Sn Sn 1 = 2an 2ann+ 1nn 1B. 2 C. 2a1, 即卩 an= 2an 2an-1,整理得 an= 2an1，因为 S = a1 = 2a1 4，即 a1= 4,所以 =2.所

12、 an1以数列an是首项为4，公比为2的等比数列，贝y an= 4X 2n1 = 2n+二故选A.反思感悟已知Sn= f(an)或Sn= f(n)的解题步骤：第一步 利用Sn满足条件p，写出当nA 2时，Sn 1的表达式；第二步 利用an= Sn Sn 1( nA 2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步 若求出nA 2时的an的通项公式，则根据 a1= S1求出a1，并代入nA 2时的an的 通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例 3形式的问题.n 1*跟踪训练5 在数列 an中，a1= 1,a1 + 2a2+3a3

13、+ + nan=an+1(nN)，求数列an 的通项公式an.n + 1解 由 a1 + 2a2+ 3a3+ nan= an+1,得当 n2 时，a1 + 2a2 + 3a3 + + (n 1)an-1 = 2an,ann- 2n+ 1两式作差得 nan = 2an+1 得(n+ 1)a n+1 = 3na n(n2),即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且 a1= 1, a2= 1，于是2a2= 2，故当n2 时，nan= 2 3n2于是an =1, n=1,2 3n-2, n> 2，n N*.|达标检测”亠 4n 11 .已知数列an满足 a1 = 1, an = an-1(

14、n2)，贝U an =.答案1nn 1解析 因为an= an 1(n2),n 21所以 an1 =an2,，a2 = a1.n 12以上(n 1)个式子相乘得12 n 1ai 1an= a1 2 3 n = n = n1 当n= 1时，a1 = 1也满足 an =;. 综上an =1n .已知各项都为正数的数列 an满足a1 = 1 , a2 (2an + 1 1)an 2an+ 1= 0 ,则 an的通项公式是.答案an= 2*-1 解析 由 an (2an+1 1)an 2an + 1 = 0,得 2an+ I(an+ 1) = an(an+ 1).an + 1 11因为an的各项都为正数

15、，所以 =2，故an是首项为1,公比为3的等比数列， an 22因此an =3. (2018 日照高二检测)在数列an中，a1 = 1, a2= 2,且 an+1 an= 1 + (- 1)n(n>2)，则 a10答案 10解析由题意，知a10 a9=1 + ( 1) ,a9 a8 = 1 + ( 1) ,a8a7 =1 + ( 1),，a3 a2=1 + ( 1)2，累加上述各式，可得 a10 a2 = 8.又因为a2 = 2,所以ae= 10.4. 已知数列an的前n项和Sn= 2n2 3n.求an的通项公式.解因为 Sn= 2n2 3n, 所以当n2时，2 2Sn 1 = 2(n

16、1) 3( n 1) = 2n 7n + 5,所以 an = Sn Sn 1= 4n 5, n2, 又当 n= 1 时，a1 = S1 = 1,满足 an= 4n 5, 所以 an = 4n 5, n N .5. 已知数列an的前n项和Sn= 1+入n,其中 存0.证明如是等比数列，并求其通项公式.考点 an与Sn关系题点 由Sn与an递推式求通项1解由题意得a = S1 = 1 +入1,故入工1, a1 =,玄产0.1入由 Sn= 1 + 入 n, B +1 = 1 + 入 n+1,得 an+1 =入 n+1 入 a,即 an+1 (- 1)=入 n.由玄产0,入工0得an* 0,an+ 1

17、所以 =an所以an是首项为 ，公比为的等比数列，1 入匚1所以 an = - 卜13. 已知数列an的首项为a1= 1，且满足an+1 = ?an+歹，则此数列的通项公式, n N .1入占1丿针对训练 一、选择题1 .已知数列an中，a1 = 2, an+1 = a*+ 2n(n N),贝y a1oo的值是()A . 9 900 B . 9 902 C. 9 904 D . 11 000考点递推数列通项公式求法题点 an +1= pan + f(n)型答案 B解析 a100= (a100 a99)+ (a99 a98)+ + (a2 a” + a1=2(99 + 98 + + 2 + 1)

18、 + 299 X 99 + 1=2 X+ 2= 9 902.2 .已知数列an中，才1, an+ 1 =怎，则这个数列的第门项为()A . 2n 1 B . 2n + 11C.2 n 11D.2 n+ 1考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 C解析t an+1 = , a1 = 1, = 2.1+ 2anan+1 an 1 = 1 + (n 1) 2= 2n 1,-a=n an等于()2n 1CdCn- 1D n(n+ n = 1 时，a1 = 1 a1，解得 a1 = ?, )D.2考点递推数列通项公式求法题点an+1= pan + f(n)型答案C解析 11n+ 1&c

19、 an+1 = an+ 歹， 2 + an+1 = 2 an+ 2,即 2n+ 1an + 1 2nan= 2.又 21ai= 2,数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列, 2nan= 2 + (n 1)x 2 = 2n,4. 已知数列an满足a：i= a2+ 4，且ai= 1, an>0，则an等于()A. 4n 3 B. 4n C. 4n 1 D. 8n答案 A解析 an+1 an = 4, 二数列a)是等差数列，且首项 a?= 1，公差d= 4,2-a*= 1 + (n 1) 4 = 4n 3.又 an>0 , - an= ："4n 3.一得 an+1 = a

20、n+1 + a*,所以 a*+1 =an.5. 已知数列an满足：Sn= 1 an(n N *),其中Sn为数列an的前n项和，则an的通项公 式an等于()nA21 n1 2nnB. 2C. 2D. 2答案B解析因为Sn= 1 an,所以Sn + 1 = 1 an + 1 ,11 1所以an是首项为2，公比为2的等比数列，所以 O - 1 .U 1 - |1 1所以昂-22 2.6 某种细胞开始时有 2个，一小时后分裂为 4个并死去1个，两小时后分裂为 6个并死去1个，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为()A 2 1 B 2+ 1 C 2 - 1 D 2 + 1答案 Ba1-2

21、，an+ 1 1解析由题意得- 2,| an+ 1 2an 1,an 1- an 2n1 + 1, a101 2101-1+ 1 2100+ 1.二、填空题7. 如果数列an的前n项和Sn 2an 1，则此数列的通项公式环.考点 an与Sn关系题点 由Sn与an递推式求通项答案2n 1解析 当 n 1 时，S 2a1 1, a1 2a1 1, - a1 1.当 nA 2 时，an Sn Sn 1 (2an 1) (2an 1 1), an 2an- 1, an是首项为1，公比为2的等比数列，- an 2n 1, n N*.8. 等比数列an中，a1, a2, a3分别是下表一、二、三行中的某一

22、个数，且a?, a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列an的通项公式为 答案 an 2 3n 1解析 当a1 3时，不合题意； 当a1 2时，当且仅当 a2 6, a3 18时，符合题意;当ai= 10时，不合题意.因此 ai = 2, a2= 6, a3= 18. 所以公比q= 3,故an= 2 3n-1.n + ian=9 .在数列 an中，ai= 1, an+ 1= an，则数列an的通项公式考点递推数列通项公式求法题点累乘法求通项答案n n = 1时，a1= 1也符合此式.解析当n2时,an anT an=an1 an2a3

23、 a2a1a2 a1n n 1n 1 n 2=n2 1 n,10. 已知数列an满足 an+1 = 3an+ 2,且 a1= 1,贝V a* =考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 2 x 3n 1 1解析 设 an+1 + A= 3(an+ A),化简得 an+1 = 3an + 2A.又 an+1 = 3an+ 2,二 2A = 2, 即卩 A = 1.an+ 1 + 1-an+ 1 + 1 = 3(an+ 1)，即=3.an+ 1数列an+ 1是等比数列，首项为 a1+ 1 = 2,公比为3.则 an+ 1= 2 x 3n 1,即卩 an= 2x 3n 1 1.2 111.

24、若数列an的前n项和Sn = 3an+ 3,则an的通项公式是an考点 an与Sn关系题点 由Sn与an递推式求通项答案(2)n1解析当n= 1时，a1= 1；2 2当 n2 时，an= Sn Sn 1 = 38“一 3玄“-1,故一 =- 2,故 an = ( 2)n-1.an 1三、解答题12. 已知数列an的首项为1, Sn为数列 5的前n项和，且Sn+1 = q&+ 1,其中q>0, n N . 若2a2，a3，a2+ 2成等差数列，求an的通项公式.考点等比数列的通项公式题点判断数列为等比数列后求通项解 由Sri+1= qSi + 1可知当n>2时，Sn= qSi

25、 1+ 1，两式相减可得 an+1 = qan,又n= 1时，S2= qS1+ 1,即 a1+ a2= qa1+ 1，解得 a2= q* 0,an+ 1an* 0, = q（n2）.an又乎=q, an是公比为q的等比数列.a 1根据2a2, a3, a2+ 2成等差数列, 由等差数列性质可得 2a2+ a2 + 2 = 2a3,2 1 即 2q2 3q 2 = 0,解得 q = 2 或 q = j, 由 q>0 可知，q= 2,所以 an= 2n 1, n N*.1 、13 .已知 Sn = 4 an 2门-2,求 an 与 Sn.考点an与Sn关系 题点 由Sn与an递推式求通项1解

26、 Sn= 4 an n 2,2 1-Sn 1 = 4 an 1 n 3, n2,2 1 1当 n2 时，Sn Sn 1 = an = an 1 an+ n 3 n 2.2 2 -an= 2an -1+ 1 n 12nan 2n 1an1= 2, 二2nan是等差数列，d = 2,首项为2ai. c1-a = S1 = 4 a 一 1 = 2 a，2- 1ai = 1,2nan= 2 + 2(n 1) = 2n.1 1 1 n +2-Sn= 4 an产=“ 厂产= an*15.已知数列an的首项 a1= 1, an+1= (n N ).（1）证明：数列¥1 是等比数列.求an的通项an

27、.4an1an+2 11(1)证明因为an+1=二二'所以a+=盂=4+怎. 产.0探究与拓展an考点递推数列通项公式求法题点其他递推数列问题答案an= 32"T解析由题意知an>0，将an+1 = an两边取对数得lg an+1 = 2lg an，即lg an+ 1时=2，所以数列lg14.若数列an中，a1 = 3且a*+1= a$n是正整数），则它的通项公式 an为an+ 2an + 1?n 1n 一 1所以an+ 111 = 1(1 1)2= 2 2 .又 ai= 1,1 1 1所以二11an是以lg a1= lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an= (lg a1)2n = lg 3,即an= 31 1 1 1an2所以数列°二一；是以2为首项，1为公比的等比数列.”,”111 fVn 11(2)解由(1)知a>2=2-2=孑n亠11112即=刁+ 2，所以an= 一an 222+ 2